2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.3 二項(xiàng)式定理 1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修2-3.doc

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1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) [課時(shí)作業(yè)] [A組　基礎(chǔ)鞏固] 1．在(a－b)20的二項(xiàng)展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同的項(xiàng)是(　　) A．第15項(xiàng) B．第16項(xiàng) C．第17項(xiàng) D．第18項(xiàng) 解析：第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C，又C＝C，所以第16項(xiàng)符合條件． 答案：B 2．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為(　　) A．2n＋1 B．2n－1 C．2n＋1－1 D．2n＋1－2 解析：令x＝1，得2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2. 答案：D 3．已知n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與各二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64，則n等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：令x＝1，得各項(xiàng)系數(shù)的和為4n，又各二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n，故＝64，∴n＝6. 答案：C 4．若(1＋)5＝a＋b(a，b為有理數(shù))，則a＋b＝(　　) A．45 B．55 C．70 D．80 解析：∵(1＋)5＝1＋C＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5 ＝1＋5＋20＋20＋20＋4 ＝41＋29， ∴a＝41，b＝29，a＋b＝70.故選C. 答案：C 5．(2015年高考湖北卷)已知(1＋x)n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為(　　) A．212 B．211 C．210 D．29 解析：∵(1＋x)n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為C，C， ∴C＝C，得n＝10. 從而有C＋C＋C＋C＋…＋C＝210， 又C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C， 所以奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為C＋C＋…＋C＝29. 答案：D 6．若(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.(用數(shù)字作答) 解析：令x＝0，得a0＝(－2)5＝－32. 令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝(1－2)5＝－1， 故a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1－(－32)＝31. 答案：31 7．若n的展開式中僅第六項(xiàng)系數(shù)最大，則展開式中不含x的項(xiàng)為________． 解析：由題意知，展開式各項(xiàng)的系數(shù)等于各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)． 第六項(xiàng)系數(shù)最大，即第六項(xiàng)為中間項(xiàng)，故n＝10. ∴通項(xiàng)為Tr＋1＝C(x3)10－rr＝Cx30－5r.令30－5r＝0，得r＝6. ∴常數(shù)項(xiàng)為T7＝C＝210. 答案：210 8．若(1－2x)2 004＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 004x2 004(x∈R)，則(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 004)＝________.(用數(shù)字作答) 解析：在(1－2x)2 004＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 004x2 004中，令x＝0，則a0＝1，令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 004＝(－1)2 004＝1， 故 (a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 004) ＝2 003a0＋a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 004 ＝2 004. 答案：2 004 9．已知(1－x)8的展開式，求： (1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)； (2)系數(shù)最小的項(xiàng)． 解析：(1)因?yàn)?1－x)8的冪指數(shù)8是偶數(shù)，所以由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，中間一項(xiàng)(即第5項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)最大，該項(xiàng)為T5＝C(－x)4＝70x4. (2)二項(xiàng)展開式系數(shù)的最小值應(yīng)在各負(fù)項(xiàng)中確定． 由題意知第4項(xiàng)和第6項(xiàng)系數(shù)相等且最小，分別為 T4＝C(－x)3＝－56x3，T6＝C(－x)5＝－56x5. 10．已知(1－2x)7＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a7(x－1)7.求： (1) a0＋a1＋a2＋…＋a7； (2)a0＋a2＋a4＋a6. 解析：(1)令x＝2， 得(1－22)7＝－37＝a0＋a1＋a2＋…＋a7， ∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－37. (2)令x＝0，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝1. 又由(1)得，a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－37， 兩式相加，可得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝1－37. ∴a0＋a2＋a4＋a6＝. [B組　能力提升] 1．已知關(guān)于x的二項(xiàng)式n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，常數(shù)項(xiàng)為80，則a的值為(　　) A．1 B．1 C．2 D．2 解析：由條件知2n＝32即n＝5，在通項(xiàng)公式Tr＋1＝C()5－rr＝Carx中，令15－5r＝0得r＝3，∴Ca3＝80.解得a＝2. 答案：C 2．若(1－2x)2 015＝a0＋a1x＋…＋a2 015x2 015(x∈R)，則＋＋…＋的值為(　　) A．2 B．0 C．－1 D．－2 解析：(1－2x)2 015＝a0＋a1x＋…＋a2 015x2 015，令x＝，則2 015＝a0＋＋＋…＋＝0，其中a0＝1，所以＋＋…＋＝－1. 答案：C 3．在(1＋x)6(1＋y)4的展開式中，記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m，n)，則f(3,0)＋f(2,1)＋f(1，2)＋f(0,3)＝(　　) A．45　　　　　　　　 B．60 C．120 D．210 解析：在(1＋x)6的展開式中，xm的系數(shù)為C，在(1＋y)4的展開式中，yn的系數(shù)為C，故f(m，n)＝CC.從而f(3,0)＝C＝20，f(2,1)＝CC＝60，f(1，2)＝CC＝36，f(0,3)＝C＝4，所以原式＝20＋60＋36＋4＝120，故選C. 答案：C 4．如圖所示，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中，第________行中從左至右第14個(gè)與第15個(gè)數(shù)的比為2∶3. 第0行　　 1 第1行　　 1　1 第2行　　 1　2　1 第3行　　 1　3　3　1 第4行　　 1　4　6　4　1 第5行　 1　5　10　10　5　1 解析：由題可設(shè)第n行的第14個(gè)與第15個(gè)數(shù)的比為2∶3，故二項(xiàng)展開式的第14項(xiàng)和第15項(xiàng)的系數(shù)比為2∶3，即C∶C＝2∶3， 所以∶＝2∶3， ∴＝，∴n＝34. 答案：34 5．已知(1＋3x)n的展開式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于121，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)． 解析：由題意知，C＋C＋C＝121， 即C＋C＋C＝121， ∴1＋n＋＝121，即n2＋n－240＝0， 解得n＝15或－16(舍)． ∴在(1＋3x)15的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第八、九兩項(xiàng)，T8＝C(3x)7＝C37x7，T9＝C(3x)8＝C38x8. 6．應(yīng)用二項(xiàng)式定理證明2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)． 證明：當(dāng)n＝1時(shí)，21＋1＝4,12＋1＋2＝4， 所以2n＋1＝n2＋n＋2； 當(dāng)n≥2時(shí)， 2n＋1＝2(1＋1)n＝2(1＋C＋C＋…＋C) ≥2(1＋C＋C)＝2[1＋n＋] ＝n2＋n＋2. 所以2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)成立．