2018年秋高中數學 課時分層作業(yè)15 反證法 新人教A版選修2-2.doc

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課時分層作業(yè)(十五)　反證法 (建議用時：40分鐘) [基礎達標練] 一、選擇題 1．用反證法證明“三角形中至少有一個內角不小于60”，應先假設這個三角形中(　　) 【導學號：31062157】 A．有一個內角小于60 B．每一個內角都小于60 C．有一個內角大于60 D．每一個內角都大于60 B　[由反證法的證明命題的格式和語言可知答案B是正確的，所以選B.] 2．用反證法證明命題“設a，b為實數，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設是(　　) A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個實根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個實根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個實根 A　[依據反證法的要求，即至少有一個的反面是一個也沒有，直接寫出命題的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根的反面是方程x3＋ax＋b＝0沒有實根，故應選A.] 3．用反證法證明數學命題時，首先應該做出與命題結論相反的假設．否定“自然數a，b，c中恰有一個偶數”時正確的假設為(　　) A．自然數a，b，c都是奇數 B．自然數a，b，c都是偶數 C．自然數a，b，c中至少有兩個偶數 D．自然數a，b，c中至少有兩個偶數或都是奇數 D　[反證法證明時應假設所要證明的結論的反面成立，本題需反設為自然數a，b，c中至少有兩個偶數或都是奇數．] 4．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關系為 (　　) A．一定是異面直線　　　 B．一定是相交直線 C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線 C　[假設c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線，故選C.] 5．設x，y，z都是正實數，a＝x＋，b＝y(tǒng)＋，c＝z＋，則a，b，c三個數 (　　) A．至少有一個不大于2 B．都小于2 C．至少有一個不小于2 D．都大于2 C　[若a，b，c都小于2，則a＋b＋c<6①， 而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6②， 顯然①，②矛盾，所以C正確．] 二、填空題 6．用反證法證明“若函數f(x)＝x2＋px＋q，則|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于”時，假設內容是________. 【導學號：31062158】 [解析]　“|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于”的反面是“|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于”． [答案]　|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于 7．用反證法證明命題“若x2－1＝0，則x＝－1或x＝1”時，應假設________． [解析]　反證法的反設只否定結論，或的否定是且，所以是x≠－1且x≠1. [答案]　x≠－1且x≠1 8．完成反證法證題的全過程． 題目：設a1，a2，…，a7是由數字1,2，…，7任意排成的一個數列，求證：乘積p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)為偶數． 證明：假設p為奇數，則________均為奇數． 因奇數個奇數之和為奇數，故有奇數＝________＝________＝0. 但奇數≠偶數，這一矛盾說明p為偶數． [解析]　由假設p為奇數可知a1－1，a2－2，…，a7－7均為奇數，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0為奇數，這與0為偶數矛盾． [答案]　a1－1，a2－2，…，a7－7　(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) 　(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7) 三、解答題 9. 已知x，y>0，且x＋y>2. 求證：，中至少有一個小于2. 【導學號：31062159】 [證明]　假設，都不小于2， 即≥2，≥2. ∵x，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x. ∴2＋x＋y≥2(x＋y)， 即x＋y≤2與已知x＋y>2矛盾． ∴，中至少有一個小于2. 10．設函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均為整數，且f(0)，f(1)均為奇數．求證：f(x)＝0無整數根． [解]　假設f(x)＝0有整數根n， 則an2＋bn＋c＝0， 由f(0)為奇數，即c為奇數， f(1)為奇數，即a＋b＋c為奇數，所以a＋b為偶數， 又an2＋bn＝－c為奇數， 所以n與an＋b均為奇數，又a＋b為偶數， 所以an－a為奇數，即(n－1)a為奇數， 所以n－1為奇數，這與n為奇數矛盾． 所以f(x)＝0無整數根． [能力提升練] 1．已知a、b、c∈(0,1)．則在(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a中， (　　) 【導學號：31062160】 A．不能同時大于 B．都大于 C．至少一個大于 D．至多有一個大于 A　[法一：假設(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于. ∵a、b、c都是小于1的正數，∴1－a、1－b、1－c都是正數.＞＞＝， 同理＞，＞. 三式相加，得 ＋＋＞， 即＞，矛盾． 所以(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a不能都大于. 法二：假設三個式子同時大于，即(1－a)b>， (1－b)c>，(1－c)a>，三式相乘得 (1－a)b(1－b)c(1－c)a>3① 因為02；④a2＋b2＜2. 其中能推出“a，b中至少有一個大于1”的條件是________(填序號)． [解析]　假設a，b均不大于1，即a≤1，b≤1.則①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a，b中至少有一個大于1”，故選③. [答案]　③ 5．等差數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3. (1)求數列{an}的通項an與前n項和Sn； (2)設bn＝(n∈N*)，求證：數列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數列. 【導學號：31062161】 [解]　(1)設公差為d，由已知得 ∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)． (2)證明：由(1)得bn＝＝n＋. 假設數列{bn}中存在三項bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比數列，則b＝bpbr， 即(q＋)2＝(p＋)(r＋)， ∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0. ∵p，q，r∈N*， ∴ ∴2＝pr，(p－r)2＝0， ∴p＝r，這與p≠r矛盾． 所以數列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數列．