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單元檢測七 不等式、推理與證明(提升卷)
考生注意：
1．本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共4頁．
2．答卷前，考生務(wù)必用藍(lán)、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級、學(xué)號填寫在相應(yīng)位置上．
3．本次考試時間100分鐘，滿分130分．
4．請在密封線內(nèi)作答，保持試卷清潔完整．
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．若a
C．|a|>－b D.>
答案 A
解析 因為a0，即>，A不成立；－a>－b>0，>，B成立；－a＝|a|>|b|＝－b，C成立；當(dāng)a＝－3，b＝－1時，＝－，＝－1，故>，D成立．
2．不等式≤0的解集為( )
A.
B.
C.∪(3，＋∞)
D.∪[3，＋∞)
答案 C
解析 不等式≤0可化為
∴解得x≤－或x>3，
∴不等式≤0的解集為∪(3，＋∞)．
3．下面幾種推理過程是演繹推理的是( )
A．某校高三有8個班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測各班人數(shù)都超
過50人
B．由三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)
C．平行四邊形的對角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對角線互相平分
D．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝，由此歸納出{an}的通項公式
答案 C
解析 因為演繹推理是由一般到特殊，所以選項C符合要求，平行四邊形對角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對角線互相平分．
4．“1＋≥0”是“(x＋2)(x－1)≥0”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 由1＋≥0，得≥0，等價于(x－1)(x＋2)≥0，且x≠1，解得x≤－2或x>1.由(x＋2)(x－1)≥0，得x≤－2或x≥1，所以“1＋≥0”能推出“(x＋2)(x－1)≥0”，“(x＋2)(x－1)≥0”推不出“1＋≥0”，故“1＋≥0”是“(x＋2)(x－1)≥0”的充分不必要條件，故選A.
5．若3x＋2y＝2，則8x＋4y的最小值為( )
A．4B．4C．2D．2
答案 A
解析 因為3x＋2y＝2，所以8x＋4y＝23x＋22y≥2＝2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝2y，即x＝，y＝時等號成立，故選A.
6．(2018山西省實驗中學(xué)質(zhì)檢)已知a，b為正實數(shù)，且a＋b＋＋＝5，則a＋b的取值范圍是( )
A．[1,4] B．[2，＋∞)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
答案 A
解析 ∵a，b為正實數(shù)，∴2≥ab，
∴≥.
∵a＋b＋＋＝5，∴(a＋b)＝5≥(a＋b)，化為(a＋b)2－5(a＋b)＋4≤0，解得1≤a＋b≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，∴a＋b的取值范圍是[1,4]，故選A.
7．若直線l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圓C：(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面積相等的兩部分，則＋的最小值為( )
A．10B．8C．5D．4
答案 B
解析 由題意知，已知圓的圓心C(－4，－1)在直線l上，所以－4a－b＋1＝0，所以4a＋b＝1.所以＋＝(4a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝，b＝時，等號成立．所以＋的最小值為8.故選B.
8．在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)隨機地取一點M，則點M恰好落在第二象限的概率為( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 如圖，不等式組所表示的平面區(qū)域為一直角三角形，其面積為3＝，其中在第二象限的區(qū)域為一直角三角形，其面積為11＝.所以點M恰好落在第二象限的概率為＝，故選C.
9．(2018河南名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知變量x，y滿足則z＝3y－x的取值范圍為( )
A．[1,2] B．[2,5] C．[2,6] D．[1,6]
答案 D
解析 畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示(△ABC邊界及其內(nèi)部)．
因為z＝3y－x，所以y＝x＋z.當(dāng)直線y＝x＋在y軸上的截距有最小值時，z有最小值；當(dāng)在y軸上的截距有最大值時，z有最大值．由圖可知，當(dāng)直線y＝x＋經(jīng)過點A(－1,0)，在y軸上的截距最小，zmin＝0－(－1)＝1；經(jīng)過點C(0,2)時，在y軸上的截距最大，zmax＝32－0＝6.所以z＝3y－x的取值范圍為[1,6]，故選D.
10．小王計劃租用A，B兩種型號的小車安排30名隊友(大多有駕駛證，會開車)出去游玩，A與B兩種型號的車輛每輛的載客量都是5人，租金分別為1000元/輛和600元/輛，要求租車總數(shù)不超過12輛，不少于6輛，且A型車至少有1輛，則租車所需的最少租金為( )
A．1000元 B．2000元
C．3000元 D．4000元
答案 D
解析 設(shè)分別租用A，B兩種型號的小車x輛、y輛，所用的總租金為z元，則z＝1000x＋600y，其中x，y滿足不等式組(x，y∈N)，作出可行域，如圖陰影部分(包括邊界)所示．
易知當(dāng)直線y＝－x＋過點D(1,5)時，z取最小值，所以租車所需的最少租金為11000＋5600＝4000(元)，故選D.
11．(2018云南曲靖一中月考)設(shè)實數(shù)x，y滿足則x2＋y2的最小值為( )
A．4B.C.D．0
答案 B
解析 不等式組所對應(yīng)的平面區(qū)域為圖中陰影部分所示(包括邊界)．
x2＋y2的幾何意義為可行域內(nèi)的點與原點距離的平方．由圖可得x2＋y2的最小值為原點到直線x＋2y－4＝0距離的平方，即(x2＋y2)min＝2＝.
12．已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的不等式[f(x)]2＋af(x)<0恰有1個整數(shù)解，則實數(shù)a的最大值是( )
A．2B．3C．5D．8
答案 D
解析 作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示．
關(guān)于x的不等式[f(x)]2＋af(x)<0，當(dāng)a>0時，－a1時，不等式的解集為{x|1b>c；
④若不等式2x－1>m(x2－1)對滿足|m|≤2的所有m都成立，則x的取值范圍是.
其中正確的命題為______________．(把你認(rèn)為正確的都填上)
答案?、佗?
解析 對于①，∵－≤(x＋y)≤，≤(x－y)≤，∴2x－y∈[1,9]，所以①正確；對于②，當(dāng)a＝－5，b＝3時，a2>b2，所以②錯誤；對于③，c＝0.5>0，a＝log3＝－log53<0，b＝log5＝－log35<0，且log53a>b，所以③錯誤；對于④，令f(m)＝m(x2－1)－(2x－1)，
則原問題等價于f(m)＝m(x2－1)－(2x－1)<0對滿足|m|≤2的所有m恒成立，所以解得0的解集為{x|x<1或x>b}．
(1)求a，b的值；
(2)當(dāng)c∈R時，解關(guān)于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0(用c表示)．
解 (1)由已知得1，b是方程ax2－3x＋2＝0的兩個實數(shù)根，且b>1，a>0，
所以解得
(2)由(1)得原不等式可化為x2－(2＋c)x＋2c<0，
即(x－2)(x－c)<0，
所以當(dāng)c>2時，所求不等式的解集為{x|20，b>0，求ab的最大值；
(2)當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)≤1恒成立，且2a＋3b≥3，求z＝的取值范圍．
解 (1)因為f(x)＝(3a－2)x＋b－a，f＝，
所以a＋b－＝，即a＋b＝8.
因為a>0，b>0，
所以a＋b≥2，即4≥，所以ab≤16，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝4時等號成立，
所以ab的最大值為16.
(2)因為當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)≤1恒成立，且2a＋3b≥3，
所以且2a＋3b≥3，即
作出此不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示(含邊界)．
由圖可得經(jīng)過可行域內(nèi)的點(a，b)與點(－1，－1)的直線的斜率的取值范圍是，
所以z＝＝＋1的取值范圍是.
19．(13分)2019年某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，已知該設(shè)備全年需投入固定成本2500萬元，每生產(chǎn)x百輛新能源汽車，需另投入成本C(x)萬元，且C(x)＝由市場調(diào)研知，若每輛新能源汽車售價5萬元，則全年內(nèi)生產(chǎn)的新能源汽車當(dāng)年能全部售完．
(1)求該企業(yè)2019年的利潤L(x)萬元關(guān)于年產(chǎn)量x(單位：百輛)的函數(shù)解析式(利潤＝銷售額－成本)；
(2)2019年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤．
解 (1)當(dāng)01 500，所以當(dāng)x＝100，即2019年年產(chǎn)量為100百輛時，該企業(yè)所獲利潤最大，且最大利潤為1 800萬元．
20．(13分)已知函數(shù)f(x)＝的圖象在點(－1，f(－1))處的切線方程為x＋y＋3＝0.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)設(shè)g(x)＝lnx，求證：g(x)≥f(x)在x∈[1，＋∞)上恒成立；
(3)已知0.
(1)解 將x＝－1代入切線方程x＋y＋3＝0，
得y＝－2，
所以f(－1)＝＝－2，化簡得b－a＝－4.
又f′(x)＝，
f′(－1)＝＝＝＝－1，
故b＝－2，a＝2，所以f(x)＝.
(2)證明 由已知及(1)得所證即ln x≥在x∈[1，＋∞)上恒成立，化簡得(x2＋1)ln x≥2x－2，即證x2ln x＋ln x－2x＋2≥0在x∈[1，＋∞)上恒成立．
設(shè)h(x)＝x2ln x＋ln x－2x＋2，
則h′(x)＝2xln x＋x＋－2，
因為x≥1，所以2xln x≥0，x＋≥2，即h′(x)≥0，
所以h(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，則h(x)≥h(1)＝0，
所以g(x)≥f(x)在x∈[1，＋∞)上恒成立．
(3)證明 因為01，
由(2)知ln>，整理得>，
所以當(dāng)0.
2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 單元檢測七 不等式、推理與證明（提升卷）單元檢測 文（含解析） 新人教A版.docx
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