2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 課時分層作業(yè)15 曲線的交點 蘇教版必修4.doc

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課時分層作業(yè)(十五)　曲線的交點 (建議用時：40分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、填空題 1．曲線x2＋y2＝9與曲線x2＝8y的交點坐標(biāo)是________． [解析]　由得y2＋8y－9＝0， 解得y＝1或y＝－9. ∵y≥0，∴y＝1，代入x2＝8y， ∴x2＝8，x＝2， ∴交點坐標(biāo)為(2，1)． [答案]　(2，1) 2．拋物線x2＝－4y與過焦點且垂直于對稱軸的直線交于A，B兩點，則AB＝________. [解析]　由直線AB過焦點且垂直于對稱軸知，AB為通徑，所以AB＝2p＝4. [答案]　4 3．直線l與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，AB中點坐標(biāo)為(3,2)，則直線l的方程是________． [解析]　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y＝4x1，y＝4x2， 相減，得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)， 又因為y1＋y2＝4，所以kAB＝＝1. 所以直線l的方程為y－2＝x－3，即x－y－1＝0. [答案]　x－y－1＝0 4．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，F(xiàn)(，0)為其右焦點，過F垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2，則橢圓C的方程為________. 【導(dǎo)學(xué)號：71392141】 [解析]　由題意，得解得 所以橢圓C的方程為＋＝1. [答案]?。? 5．過拋物線y2＝2x的焦點作一條直線與拋物線交于A，B兩點，它們的橫坐標(biāo)之和等于2，則這樣的直線有__________條． [解析]　設(shè)該拋物線焦點為F，則AB＝AF＋FB＝xA＋＋xB＋＝xA＋xB＋1＝3＞2p＝2.所以符合條件的直線有且僅有兩條． [答案]　2 6．曲線y＝x2－x＋2和y＝x＋m有兩個不同的公共點，則實數(shù)m的取值范圍是________． [解析]　由消去y ，得x2－2x＋2－m＝0.若有兩個不同的公共點，則Δ＝4－4(2－m)>0，∴m>1. [答案]　(1，＋∞) 7．直線4kx－4y－k＝0與拋物線y2＝x交于A，B兩點，若AB＝4，則弦AB的中點到直線x＋＝0的距離等于________． [解析]　直線4kx－4y－k＝0，即y＝k，即直線4kx－4y－k＝0過拋物線y2＝x的焦點.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，則弦AB的中點的橫坐標(biāo)是，弦AB的中點到直線x＋＝0的距離是＋＝. [答案]　 8．已知直線y＝2x＋b與曲線xy＝2相交于A，B兩點，若AB＝5，則實數(shù)b等于________. 【導(dǎo)學(xué)號：71392142】 [解析]　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 聯(lián)立方程組消去y，整理得2x2＋bx－2＝0. ① ∵x1，x2是關(guān)于x的方程①的兩根， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝－1. 又AB＝，其中k＝2，代入則有AB＝＝5， ∴b2＝4，則b＝2. 故所求b的值為2. [答案]　2 二、解答題 9．如圖268, 斜率為1的直線l過橢圓＋y2＝1的右焦點，交橢圓于A，B兩點，求弦AB的長． 圖268 [解]　設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由橢圓方程知a2＝4，b2＝1，c2＝3，所以F(，0)，直線l的方程為y＝x－.將其代入x2＋4y2＝4，化簡整理，得5x2－8x＋8＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 所以AB＝|x1－x2| ＝ ＝＝. 10．直線l：y＝ax＋1與雙曲線3x2－y2＝1有兩個不同的交點， (1)求a的取值范圍； (2)設(shè)交點為A，B，是否存在直線l使以AB為直徑的圓恰過原點，若存在，就求出直線l的方程；若不存在，則說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號：71392143】 [解]　(1)由方程組可得(3－a2)x2－2ax－2＝0， 由方程有兩實數(shù)根， 則 解得－＜a＜且a≠， 故所求a的取值范圍是(－，－)∪(－，)∪(，)． (2)設(shè)交點坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由(1)知，x1＋x2＝，x1x2＝， 由題意可得， OA⊥OB(O是坐標(biāo)原點), 則有x1x2＋y1y2＝0， 而y1y2＝(ax1＋1)(ax2＋1)＝a2x1x2＋a(x1＋x2)＋1， ∴ (a2＋1)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0， 于是可得(a2＋1)＋a＋1＝0， 解得a＝1，且滿足(1)的條件， 所以存在直線l使以AB為直徑的圓恰過原點，直線l的方程為y＝x＋1或y＝－x＋1. [能力提升練] 1．過點P(4,1)的直線l與橢圓＋＝1有且只有一個公共點，則直線l的方程為________． [解析]　若直線l不存在斜率，則方程為x＝4；把x＝4帶入軌跡方程可得y＝1，即直線l和橢圓有兩個公共點，不合題意．∴設(shè)直線l的斜率為k，則方程為y＝kx－4k＋1，帶入軌跡方程并整理得(1＋2k2)x2＋4k(1－4k)x＋16(2k2－k－1)＝0. ∵直線l與橢圓只有一個公共點， ∴Δ＝16k2(1－4k)2－64(1＋2k2)(2k2－k－1)＝0，解得k＝－2， ∴直線l的方程為y＝－2x＋9. [答案]　y＝－2x＋9 2．雙曲線x2－4y2＝λ(λ≠0)截直線x－y－3＝0所得弦長為，則雙曲線方程為________． [解析]　聯(lián)立方程消去y得3x2－24x＋(36＋λ)＝0， 設(shè)直線被雙曲線截得的弦為AB，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么 所以AB＝＝＝＝， 解得λ＝4，所求雙曲線方程是－y2＝1. [答案]?。瓂2＝1 3．已知以F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點的橢圓與直線x＋y＋4＝0有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為________. 【導(dǎo)學(xué)號：71392144】 [解析]　根據(jù)題意，設(shè)橢圓方程為＋＝1(b＞0)，則將x＝－y－4代入橢圓方程， 得4(b2＋1)y2＋8b2y－b4＋12b2＝0，∵橢圓與直線x＋y＋4＝0有且僅有一個交點， ∴Δ＝(8b2)2－44(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)(b2－3)＝0，∴b2＝3，長軸長為2＝2. [答案]　2 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓M：＋＝1(a＞b＞0)右焦點的直線x＋y－＝0交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為. (1)求M的方程； (2)C，D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值． [解]　(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則＋＝1， ① ＋＝1， ② ①－②得 ＋＝0. 設(shè)P(x0，y0)，因為P為AB的中點，且OP的斜率為，所以y0＝x0，即y1＋y2＝(x1＋x2)， 又因為＝－1，所以a2＝2b2，即a2＝2(a2－c2)，即a2＝2c2，又因為直線x＋y－＝0過橢圓右焦點，∴c＝， 所以a2＝6，所以M的方程為＋＝1. (2)因為CD⊥AB，直線AB的方程為x＋y－＝0，所以設(shè)直線CD的方程為y＝x＋m，將x＋y－＝0代入＋＝1，得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝， 不妨令A(yù)(0，)，B，所以可得AB＝. 將y＝x＋m代入＋＝1，得3x2＋4mx＋2m2－6＝0，設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)，則x3＋x4＝－，x3x4＝， 則CD＝＝. 又因為Δ＝16m2－12(2m2－6)＞0，即－3＜m＜3，所以當(dāng)m＝0時，CD取得最大值4，所以四邊形ACBD面積的最大值為ABCD＝.