2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 平面解析幾何初步 2.3 圓的方程 2.3.3 直線與圓的位置關(guān)系練習(xí) 新人教B版必修2.doc

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2.3.3　直線與圓的位置關(guān)系 1.圓x2+y2=1與直線y=kx+2無公共點,則(　B　) (A)k∈(-,) (B)k∈(-,) (C)k∈(-∞,-)∪(,+∞) (D)k∈(-∞,-)∪(,+∞) 解析:圓心到直線的距離d=>1,即k2<3. 故k∈(-,). 2.(2017山西太原五中月考)過點(1,-2)作圓(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點分別為A,B,則AB所在直線的方程為(　B　) (A)y=- (B)y=- (C)y=- (D)y=- 解析:圓(x-1)2+y2=1的圓心為(1,0),半徑為1,以=2為直徑的圓的方程為(x-1)2+(y+1)2=1, 將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y+1=0, 即y=-,故選B. 3.如果直線ax+by=4與圓x2+y2=4有兩個不同的交點,那么點P(a,b)與圓的位置關(guān)系是(　A　) (A)P在圓外 (B)P在圓上 (C)P在圓內(nèi) (D)P與圓的位置關(guān)系不確定 解析:由題意得<2, 得a2+b2>4,即點P(a,b)在圓x2+y2=4外. 4.已知圓M與直線x-y=0及x-y+4=0都相切,圓心在直線y=-x+2上,則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為　 . 解析:由題意,圓心在y=-x+2上,設(shè)圓心為(a,2-a), 因為圓M與直線x-y=0及x-y+4=0都相切, 則圓心到兩直線的距離相等,即=, 解得a=0, 即圓心(0,2),且r==,所以圓的方程為x2+(y-2)2=2. 答案:x2+(y-2)2=2 5.已知圓C:x2+y2-2x-4y+1=0內(nèi)有一點P(2,1),經(jīng)過點P的直線l與圓C交于A,B兩點,當(dāng)弦AB恰被點P平分時,直線l的方程為　　　　　 　　　. 解析:圓C:(x-1)2+(y-2)2=4,弦AB被P平分,故PC⊥AB,由P(2,1), C(1,2)得kPCkl=-1,可得kl=1,所以直線方程為y=x-1. 答案:y=x-1 6.由點P(m,3)向圓C:(x+2)2+(y+2)2=1引切線,則切線長的最小值為　　　. 解析:設(shè)切點為M, 則CM⊥MP, 于是切線MP的長 |MP|==, 顯然,當(dāng)m=-2時,MP有最小值=2. 答案:2 7.若直線l:ax+by+1=0始終平分圓M:x2+y2+4x+2y+1=0的周長,則(a-2)2+(b-2)2的最小值為(　B　) (A) (B)5 (C)2 (D)10 解析:由題可知,圓心(-2,-1)在直線ax+by+1=0上, 故2a+b=1, 所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(1-2a-2)2=a2-4a+4+4a2+4a+1=5a2+5≥5. 8.圓x2+y2-4x-4y-10=0上的點到直線x+y-14=0的距離的最大值與最小值的差為(　C　) (A)36 (B)18 (C)6 (D)5 解析:圓x2+y2-4x-4y-10=0的圓心為(2,2),半徑為3,圓心到直線x+y-14=0的距離為=5>3,故圓與直線相離,所以圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是2r=6. 9.已知點A(-3,0),B(-1,-2),若圓(x-2)2+y2=r2(r>0)上恰有兩點M,N,使得△MAB和△NAB的面積均為4,則r的取值范圍是　　　　. 解析:由題意可得|AB|==2, 根據(jù)△MAB和△NAB的面積均為4, 可得兩點M,N到直線AB的距離均為2; 由于AB的方程為=, 即x+y+3=0; 若圓上只有一個點到直線AB的距離為2, 則有圓心(2,0)到直線AB的距離為=r+2,解得r=;若圓上只有3個點到直線AB的距離為2, 則有圓心(2,0)到直線AB的距離為=r-2,解得r=;綜上,r的取值范圍是(,). 答案:(,) 10.在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓心C在直線x-2y=0上的圓C經(jīng)過點A(4,0),但不經(jīng)過坐標(biāo)原點,并且直線4x-3y=0與圓C相交所得的弦長為4. (1)求圓C的一般方程; (2)若從點M(-4,1)發(fā)出的光線經(jīng)過x軸反射,反射光線剛好通過圓C的圓心,求反射光線所在的直線方程(用一般式表達(dá)). 解:(1)設(shè)圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2, 因為圓心C在直線x-2y=0上,所以有a-2b=0, 又因為圓C經(jīng)過點A(4,0),所以有(4-a)2+b2=r2, 而圓心到直線4x-3y=0的距離為d==,由弦長為4,得弦心距d=.所以有=, 聯(lián)立成方程組解得或 又因為(x-2)2+(y-1)2=5通過坐標(biāo)原點, 所以舍去. 所以所求圓的方程為(x-6)2+(y-3)2=13, 化為一般方程為x2+y2-12x-6y+32=0. (2)點M(-4,1)關(guān)于x軸的對稱點N(-4,-1), 反射光線所在的直線即為NC,又因為C(6,3), 所以反射光線所在的直線方程為=, 所以反射光線所在的直線方程的一般式為2x-5y+3=0. 11.(2017遼寧大連模擬)已知三點O(0,0),P(4,0),Q(0,2)恰好被面積最小的圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2所覆蓋. (1)試求圓C的方程; (2)若斜率為1的直線l與圓C交于不同兩點A,B.若CA⊥CB,求直線l的方程. 解:(1)由題意知△OPQ是直角三角形, 所以覆蓋它的且面積最小的圓為其外接圓, 故圓心是(2,1),半徑是, 所以圓C的方程是(x-2)2+(y-1)2=5. (2)設(shè)直線l的方程是y=x+m. 因為CA⊥CB, 所以圓心到直線l的距離是, 即=,解得m=-1. 即直線l的方程為x-y-1-=0或x-y-1+=0. 12.已知圓C:(x+2)2+y2=5,直線l:mx-y+1+2m=0,m∈R. (1)求證:對m∈R,直線l與圓C總有兩個不同的交點A,B; (2)求弦AB的中點M的軌跡方程,并說明其軌跡是什么曲線. (1)證明:圓C:(x+2)2+y2=5的圓心為C(-2,0),半徑為, 所以圓心C到直線l:mx-y+1+2m=0的距離 ||=||<. 所以直線l與圓C相交,即直線l與圓C總有兩個不同的交點. (2)解:設(shè)中點為M(x,y), 直線l:mx-y+1+2m=0恒過定點(-2,1), 當(dāng)直線CM的斜率存在時,kMC=,又kAB=, 因為kABkMC=-1,所以=-1, 化簡得(x+2)2+=(x≠-2). 當(dāng)直線CM的斜率不存在時,x=-2, 此時中點為M(-2,1),也滿足上述方程. 所以M的軌跡方程是(x+2)2+=, 它是一個以(-2,)為圓心,以為半徑的圓.