2018版高中數(shù)學(xué) 第2章 數(shù)列 2.1.1 數(shù)列學(xué)案 新人教B版必修5.doc

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2.1.1　數(shù)　列 1.理解數(shù)列的概念.(重點(diǎn)) 2.掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用.(重點(diǎn)) 3.能根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)) [基礎(chǔ)初探] 教材整理1　數(shù)列的定義及分類 閱讀教材P25第一行～P25倒數(shù)第5行，及P26例1上面倒數(shù)第一、二自然段，完成下列問題. 1.數(shù)列的概念及一般形式 2.數(shù)列的分類 類別 含義 按項(xiàng)的個(gè)數(shù) 有窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列 無窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列 按項(xiàng)的變化趨勢 遞增數(shù)列 從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列 遞減數(shù)列 從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列 常數(shù)列 各項(xiàng)相等的數(shù)列 擺動(dòng)數(shù)列 從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列 判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)1,7,0,11，－3，…，－1 000不構(gòu)成數(shù)列.(　　) (2){an}與an是一樣的，都表示數(shù)列.(　　) (3)數(shù)列1,0,1,0,1,0，…是常數(shù)列.(　　) (4)數(shù)列1,2,3,4和數(shù)列1,2,4,3是同一個(gè)數(shù)列.(　　) 【解析】　(1).因?yàn)橹灰匆欢ù涡蚺懦傻囊涣袛?shù)就是一個(gè)數(shù)列，所以1,7,0,11，－3，…，－1 000是一個(gè)數(shù)列. (2).因?yàn)閧an}代表一個(gè)數(shù)列，而an只是這個(gè)數(shù)列中的第n項(xiàng)，故{an}與an是不一樣的. (3).因?yàn)楦黜?xiàng)相等的數(shù)列為常數(shù)列，而1,0,1,0,1,0，…為擺動(dòng)數(shù)列，而非常數(shù)列. (4).兩個(gè)數(shù)列只有項(xiàng)完全相同，且排列的次序也完全相同才稱為同一個(gè)數(shù)列，數(shù)列1,2,3,4與1,2,4,3雖然所含項(xiàng)相同，但各項(xiàng)排列次序不同，故不是同一個(gè)數(shù)列. 【答案】　(1)　(2)　(3)　(4) 教材整理2　數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系 閱讀教材P25倒數(shù)第5行～P26倒數(shù)第4自然段，完成下列問題. 1.數(shù)列的通項(xiàng)公式 如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)函數(shù)式an＝f(n)來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. 2.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系 從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù)，關(guān)系如下表： 定義域 正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n}) 解析式 數(shù)列的通項(xiàng)公式 值域 自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值構(gòu)成 表示方法 (1)通項(xiàng)公式(解析法)；(2)列表法；(3)圖象法 1.下列四個(gè)數(shù)中，哪個(gè)是數(shù)列{n(n＋1)}中的一項(xiàng)(　　) A.380 B.392 C.321 D.232 【解析】　因?yàn)?920＝380， 所以380是數(shù)列{n(n＋1)}中的第19項(xiàng).應(yīng)選A. 【答案】　A 2.數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的通項(xiàng)公式是an＝(　　) A.(10n－1) B. C.(10n－1) D.(10n－1) 【解析】　1－＝0.9,1－＝0.99，…，故原數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝.應(yīng)選B. 【答案】　B 3.觀察下列數(shù)列的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)囊粋€(gè)數(shù)填空：1, ， ， ，________，，…. 【解析】　據(jù)規(guī)律填寫可知通項(xiàng)為an＝，∴a5＝3. 【答案】　3 4.數(shù)列{an}滿足an＝log2(n2＋3)－2，則log23是這個(gè)數(shù)列的第________項(xiàng). 【解析】　令an＝log2(n2＋3)－2＝log23，解得n＝3. 【答案】　3 [小組合作型] 數(shù)列的概念及分類 　已知下列數(shù)列： ①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016； ②1，，，…，，…； ③1，－，，…，，…； ④1,0，－1，…，sin，…； ⑤2,4,8,16,32，…； ⑥－1，－1，－1，－1. 其中，有窮數(shù)列是________，無窮數(shù)列是________，遞增數(shù)列是________，遞減數(shù)列是________，常數(shù)列是________，擺動(dòng)數(shù)列是________.(填序號(hào)) 【精彩點(diǎn)撥】　緊扣有窮數(shù)列，無窮數(shù)列，遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，常數(shù)列及擺動(dòng)數(shù)列的定義求解. 【自主解答】?、贋橛懈F數(shù)列且為遞增數(shù)列；②為無窮、遞減數(shù)列；③為無窮、擺動(dòng)數(shù)列；④是擺動(dòng)數(shù)列，是無窮數(shù)列，也是周期為4的周期數(shù)列；⑤為遞增數(shù)列，也是無窮數(shù)列；⑥為有窮數(shù)列，也是常數(shù)列. 【答案】?、佗蕖、冖邰堍荨、佗荨、凇、蕖、邰? 1.與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項(xiàng)的性質(zhì)具有以下特點(diǎn)： ①確定性：一個(gè)數(shù)是或不是某一數(shù)列中的項(xiàng)是確定的，集合中的元素也具有確定性； ②可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)，而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)(即互異性)； ③有序性：一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān)，而且與這些數(shù)的排列順序有關(guān)，而集合中的元素沒有順序(即無序性)； ④數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)，而集合中的元素還可以代表除數(shù)字外的其他事物. 2.判斷數(shù)列是哪一種類型的數(shù)列時(shí)要緊扣概念及數(shù)列的特點(diǎn).對(duì)于遞增、遞減、擺動(dòng)還是常數(shù)列要從項(xiàng)的變化趨勢來分析；而有窮還是無窮數(shù)列則看項(xiàng)的個(gè)數(shù)有限還是無限. [再練一題] 1.給出下列數(shù)列： (1)2006～2013年某市普通高中生人數(shù)(單位：萬人)構(gòu)成數(shù)列82,93,105,119,129,130,132,135. (2)無窮多個(gè)構(gòu)成數(shù)列， ， ， ，…. (3)－2的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，…構(gòu)成數(shù)列－2,4，－8,16，－32，…. 其中，有窮數(shù)列是________，無窮數(shù)列是________，遞增數(shù)列是________，常數(shù)列是________，擺動(dòng)數(shù)列是________. 【解析】　(1)為有窮數(shù)列；(2)(3)是無窮數(shù)列，同時(shí)(1)也是遞增數(shù)列；(2)為常數(shù)列；(3)為擺動(dòng)數(shù)列. 【答案】　(1)　(2)(3)　(1)　(2)　(3) 由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式 　寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： (1)，2，，8，，…； (2)9,99,999,9 999，…； (3)，，，，…； (4)－，，－，，…. 【精彩點(diǎn)撥】　先觀察各項(xiàng)的特點(diǎn)，注意前后項(xiàng)間的關(guān)系，分子與分母的關(guān)系，項(xiàng)與序號(hào)的關(guān)系，每一項(xiàng)符號(hào)的變化規(guī)律，然后歸納出通項(xiàng)公式. 【自主解答】　(1)數(shù)列的項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察：，，，，，…，所以，它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(n∈N＋). (2)各項(xiàng)加1后，變?yōu)?0,100,1 000,10 000，…此數(shù)列的通項(xiàng)公式為10n，可得原數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝10n－1(n∈N＋). (3)數(shù)列中每一項(xiàng)由三部分組成，分母是從1開始的奇數(shù)列，可用2n－1表示；分子的前一部分是從2開始的自然數(shù)的平方，可用(n＋1)2表示，分子的后一部分是減去一個(gè)自然數(shù)，可用n表示，綜上，原數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝(n∈N＋). (4)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝(－1)n(n∈N＋). 1.據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，抓住以下幾方面的特征： ①分式中分子、分母的特征； ②相鄰項(xiàng)的變化特征； ③拆項(xiàng)后的特征； ④各項(xiàng)符號(hào)特征等，并對(duì)此進(jìn)行歸納、聯(lián)想. 2.觀察、分析問題的特點(diǎn)是最重要的，觀察要有目的，觀察出項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系、規(guī)律，利用我們熟知的一些基本數(shù)列(如自然數(shù)列、奇偶數(shù)列等)轉(zhuǎn)換而使問題得到解決，對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調(diào)整. [再練一題] 2.寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：18082015】 (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)1，2，3，4，…； (4)1,11,111,1 111，…. 【解】　(1)觀察數(shù)列中的數(shù)，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝n2－1(n∈N＋). (2)數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值為1,3,5,7,9，…，是連續(xù)的正奇數(shù)，并且數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N＋). (3)此數(shù)列的整數(shù)部分1,2,3,4，…恰好是序號(hào)n，分?jǐn)?shù)部分與序號(hào)n的關(guān)系為，故所求的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝n＋＝(n∈N＋). (4)原數(shù)列的各項(xiàng)可變?yōu)?，99，999，9 999，…，易知數(shù)列9,99,999,9 999，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝10n－1.所以原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(10n－1)(n∈N＋). [探究共研型] 數(shù)列的通項(xiàng)公式的意義 探究1　數(shù)列，，，，，…的通項(xiàng)公式是什么？該數(shù)列的第7項(xiàng)是什么？是否為該數(shù)列中的一項(xiàng)？為什么？ 【提示】　由數(shù)列各項(xiàng)的特點(diǎn)可歸納出其通項(xiàng)公式為an＝，當(dāng)n＝7時(shí)，a7＝＝，若為該數(shù)列中的一項(xiàng)，則＝，解得n＝8，所以是該數(shù)列中的第8項(xiàng). 探究2　已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－n2＋2n＋1，該數(shù)列的圖象有何特點(diǎn)？ 試?yán)脠D象說明該數(shù)列的單調(diào)性及所有的正數(shù)項(xiàng). 【提示】　由數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系可知，數(shù)列{an}的圖象是分布在二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋1圖象上的離散的點(diǎn)，如圖所示，從圖象上可以看出該數(shù)列是一個(gè)遞減數(shù)列，且前兩項(xiàng)為正數(shù)項(xiàng)，從第3項(xiàng)往后各項(xiàng)為負(fù)數(shù)項(xiàng). 　已知數(shù)列. (1)求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)； (2)是不是該數(shù)列中的項(xiàng)，為什么？ (3)求證：數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間(0,1)內(nèi). 【精彩點(diǎn)撥】　(1)將n＝10代入數(shù)列的通項(xiàng)公式即可.(2)由＝求得n(n∈N＋)是否有正整數(shù)解即可.(3)求函數(shù)an＝的值域即可. 【自主解答】　設(shè)f(n)＝ ＝＝. (1)令n＝10，得第10項(xiàng)a10＝f(10)＝. (2)令＝，得9n＝300. 此方程無正整數(shù)解，所以不是該數(shù)列中的項(xiàng). (3)證明：∵an＝＝＝1－， 又n∈N＋， ∴0<<1，∴00，∴an＋1>an. ∴數(shù)列{an}是遞增數(shù)列. 1.下列說法正確的是(　　) A.數(shù)列1,3,5,7，…，2n－1可以表示為1,3,5,7，… B.數(shù)列1,0，－1，－2與數(shù)列－2，－1,0,1是相同的數(shù)列 C.數(shù)列的第k項(xiàng)為1＋ D.數(shù)列0,2,4,6,8，…可記為{2n} 【解析】　A錯(cuò)，數(shù)列1,3,5,7，…，2n－1為有窮數(shù)列，而數(shù)列1,3,5,7，…為無窮數(shù)列；B錯(cuò)，數(shù)的次序不同就是兩個(gè)不同的數(shù)列；C正確，ak＝＝1＋；D錯(cuò)，an＝2n－2. 【答案】　C 2.在數(shù)列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于(　　) A.11 B.12 C.13 D.14 【解析】　觀察數(shù)列可知，后一項(xiàng)是前兩項(xiàng)的和，故x＝5＋8＝13. 【答案】　C 3.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝，則該數(shù)列的前4項(xiàng)依次為 (　　) A.1,0,1,0 B.0,1,0,1 C.，0，，0 D.2,0,2,0 【解析】　當(dāng)n分別等于1,2,3,4時(shí)，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0. 【答案】　A 4.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝，那么是它的第________項(xiàng). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：18082017】 【解析】　令＝，解得n＝4或n＝－5(舍去)，所以是該數(shù)列的第4項(xiàng). 【答案】　4 5.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n2－28n. (1)寫出數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)； (2)－49和68是該數(shù)列的項(xiàng)嗎？若是，是第幾項(xiàng)？若不是，請(qǐng)說明理由. 【解】　(1)因?yàn)閍n＝3n2－28n， 所以a4＝342－284＝－64， a6＝362－286＝－60. (2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0， ∴n＝7或n＝(舍). ∴－49是該數(shù)列的第7項(xiàng)， 即a7＝－49. 令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0， ∴n＝－2或n＝. ∵－2?N＋，?N＋， ∴68不是該數(shù)列的項(xiàng).