2019年高中數(shù)學(xué) 第4章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 4.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 4.3.2 函數(shù)的極大值和極小值講義（含解析）湘教版選修2-2.doc

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4．3.2　函數(shù)的極大值和極小值 [讀教材填要點] 1．極值與極值點 (1)極大值點與極大值： 設(shè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有定義，x0是(a，b)內(nèi)的一個點，若點x0附近的函數(shù)值都小于f(x0)(即f(x)＜f(x0)，x∈(a，b))，就說f(x0)是函數(shù)y＝f(x)的一個極大值，x0稱為f(x)的一個極大值點． (2)極小值點與極小值： 設(shè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有定義，x0是(a，b)內(nèi)的一個點，若點x0附近的函數(shù)值都大于f(x0)(即f(x)＞f(x0)，x∈(a，b))，就說f(x0)是函數(shù)y＝f(x)的一個極小值，x0稱為f(x)的一個極小值點． 極大值和極小值統(tǒng)稱極值，極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點． 2．極大值與極小值的判斷 (1)如果f(x)在(a，x0]上遞增，在[x0，b)上遞減，則f(x)在x＝x0處取到極大值； (2)如果f(x)在(a，x0]上遞減，在[x0，b)上遞增，則f(x)在x＝x0處取到極小值． 3．極值的求法 (1)求導(dǎo)數(shù)f′(x)； (2)求f(x)的駐點，即求f′(x)＝0的根； (3)檢查f′(x)在駐點左右的符號，得到極大值或極小值． [小問題大思維] 1．導(dǎo)數(shù)為0的點都是極值點嗎？ 提示：不一定．y＝f(x)在x＝x0及附近有定義，且f′(x0)＝0，y＝f(x)是否在x＝x0處取得極值，還要看f′(x)在x0兩側(cè)的符號是否異號．例如f(x)＝x3，由f′(x)＝3x2知f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的極值點． 2．函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有幾個極小值點？ 提示：由圖可知，在區(qū)間(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)內(nèi)f′(x)>0；在區(qū)間(x1，x2)，(x3，b)內(nèi)f′(x)<0.即f(x)在(a，x1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(x1，x2)內(nèi)單調(diào)遞減，在(x2，x3)內(nèi)單調(diào)遞增，在(x3，b)內(nèi)單調(diào)遞減． 所以函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個極小值點，極小值點為x＝x2. 3．函數(shù)y＝f(x)在給定區(qū)間上一定有極值點嗎？極大值是否一定比極小值大？ 提示：(1)在一個給定的區(qū)間上，函數(shù)可能有若干個極值點，也可能不存在極值點；函數(shù)可以只有極大值，沒有極小值，或者只有極小值沒有極大值，也可能即有極大值，又有極小值． (2)極大值不一定比極小值大，極小值也不一定比極大值小． 求函數(shù)的極值 求下列函數(shù)的極值： (1)f(x)＝x4－2x2；(2)f(x)＝x2e－x. [自主解答]　(1)函數(shù)f(x)的定義域為R. f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)． 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－1或x＝1. 列表： x (－∞，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極小值  極大值  極小值  從表中可以看出： 當(dāng)x＝0時，函數(shù)有極大值，且f(0)＝0； 當(dāng)x＝－1或x＝1時，函數(shù)有極小值， 且f(－1)＝f(1)＝－1. (2)函數(shù)的定義域為R. f′(x)＝′＝ ＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x＝－e－xx(x－2)． 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 列表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)  極小值  極大值  由上表可以看出：當(dāng)x＝0時，函數(shù)有極小值，且f(0)＝0； 當(dāng)x＝2時，函數(shù)有極大值，且f(2)＝. 求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的步驟 (1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)； (2)令f′(x)＝0，求出全部的根x0； (3)列表，方程的根x0將整個定義域分成若干個區(qū)間，把x，f′(x)，f(x)在每個區(qū)間內(nèi)的變化情況列在這個表格內(nèi)； (4)判斷得結(jié)論，若導(dǎo)數(shù)在x0附近左正右負(fù)，則在x0處取得極大值；若左負(fù)右正，則取得極小值． 要注意函數(shù)的定義域． 1．求函數(shù)f(x)＝－2的極值． 解：函數(shù)f(x)的定義域為R. f′(x)＝＝－. 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1. 當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)  －3  －1  所以當(dāng)x＝－1時，函數(shù)有極小值，且f(x)極小值＝－3； 當(dāng)x＝1時，函數(shù)有極大值，且f(x)極大值＝－1. 極值的逆運用 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1時有極值0.求a，b的值． [自主解答]　∵f(x)在x＝－1時有極值0且 f′(x)＝3x2＋6ax＋b. ∴即 解得或 當(dāng)a＝1，b＝3時，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0， 所以f(x)在R上為增函數(shù)，無極值，故舍去． 當(dāng)a＝2，b＝9時， f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)． 當(dāng)x∈(－∞，－3)時，f(x)為增函數(shù)； 當(dāng)x∈(－3，－1)時，f(x)為減函數(shù)； 當(dāng)x∈(－1，＋∞)時，f(x)為增函數(shù)． 所以f(x)在x＝－1時取得極小值，因此a＝2，b＝9. 若將“在x＝－1時有極值0”改為“在x＝－1和x＝3處有極值”，如何求解？ 解：f′(x)＝3x2＋6ax＋b， ∵－1,3是f(x)的極值點， ∴－1,3是f′(x)＝0的兩個根． 即－1,3是3x2＋6ax＋b＝0的兩根． 由根與系數(shù)的關(guān)系知 解得a＝－1，b＝－9. 解決此類問題通常是利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在極值點處的取值等于零來建立關(guān)于參數(shù)的方程，從而求出參數(shù)的值．需注意的是，可導(dǎo)函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)值等于零只是函數(shù)在該點處取得極值的必要條件，所以必須對求出的參數(shù)值進(jìn)行檢驗，看是否符合函數(shù)取得極值的條件． 2．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝1時取得極值，且f(1)＝－1. (1)求常數(shù)a，b，c的值； (2)判斷x＝1是函數(shù)的極小值還是極大值，并說明理由． 解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c， 由f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0. 又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1. ∴a＝，b＝0，c＝－. (2)由(1)可得f(x)＝x3－x， ∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)． 當(dāng)x＜－1或x＞1時，f′(x)＞0； 當(dāng)－1＜x＜1時，f′(x)＜0， ∴函數(shù)f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函數(shù)， 在(－1,1)上為減函數(shù)． ∴當(dāng)x＝－1時， 函數(shù)取得極大值f(－1)＝1； 當(dāng)x＝1時，函數(shù)取得極小值f(1)＝－1. 含參數(shù)的函數(shù)的極值問題 設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋a. (1)求f(x)的極值； (2)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點． [自主解答]　(1)f′(x)＝3x2－2x－1＝(x－1)(3x＋1)． 令f′(x)＝0，則x＝－或x＝1. 當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)變化情況如下表： x － 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  所以f(x)的極大值是f＝＋a，極小值是f(1)＝a－1. (2)函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋a ＝(x－1)2(x＋1)＋a－1. 由此可知x取足夠大的正數(shù)時有f(x)＞0，x取足夠小的負(fù)數(shù)時有f(x)＜0， 所以曲線y＝f(x)與x軸至少有一個交點． 結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知， 當(dāng)f(x)的極大值＋a＜0， 即a∈時它的極小值也小于0， 因此曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點，它在(1，＋∞)上； 當(dāng)f(x)的極小值a－1＞0，即a∈(1，＋∞)時它的極大值也大于0， 因此曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點，它在上． 所以當(dāng)a∈∪(1，＋∞)時， 曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點． 在本例(2)中，若將“曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點”改為“曲線y＝f(x)與x軸有三個交點”呢？ 解：由于曲線y＝f(x)與x軸有三個交點， ∴f(x)極大值>0且f(x)極小值<0. 即解得－0恒成立， 即函數(shù)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增， 此時函數(shù)沒有極值點． 當(dāng)a>0時，令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－， 當(dāng)x變化時，f′(x)與f(x)的變化如下表： x (－∞，－) － (－，) (，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  因此，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－)和(，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－，)， 此時x＝－是f(x)的極大值點，x＝是f(x)的極小值點． a為何值時，方程x3－3x2－a＝0恰有一個實根、兩個不等實根、三個不等實根，有沒有可能無實根？ [巧思]　方程x3－3x2－a＝0根的個數(shù)，即為直線y＝a和函數(shù)f(x)＝x3－3x2圖象交點的個數(shù)，因此可借助函數(shù)的單調(diào)性和極值畫出函數(shù)f(x)＝x3－3x2的圖象，然后借助圖象判斷根的個數(shù)． [妙解]　令f(x)＝x3－3x2，則f(x)的定義域為R， 由f′(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2. 所以當(dāng)x＜0或x＞2時，f′(x)＞0； 當(dāng)0＜x＜2時，f′(x)＜0. 函數(shù)f(x)在x＝0處有極大值0，在x＝2處有極小值－4， 如圖所示，故當(dāng)a＞0或a＜－4時，原方程有一個根； 當(dāng)a＝0或a＝－4時，原方程有兩個不等實根； 當(dāng)－4＜a＜0時，原方程有三個不等實根； 由圖象可知，原方程不可能無實根． 1．若函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3時取得極值，則a等于(　　) A．2　　　　　　　　　 　B．3 C．4 D．5 解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由題意知f′(－3)＝0， 即3(－3)2＋2(－3)a＋3＝0，解得a＝5. 答案：D 2.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝ (1－x)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是(　　) A．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1) B．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(1) C．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(－2) D．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(2) 解析：由題圖可知，當(dāng)x<－2時，f′(x)>0；當(dāng)－22時，f′(x)>0.由此可以得到函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極大值，在x＝2處取得極小值． 答案：D 3．若a＞0，b＞0，且函數(shù)?(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大值等于(　　) A．2　　　　　　　 　B．3 C．6 D．9 解析：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為?′(x)＝12x2－2ax－2b，由函數(shù)?(x)在x＝1處有極值， 可知函數(shù)?(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)值為零， 即12－2a－2b＝0，所以a＋b＝6. 由題意知a，b都是正實數(shù)，所以ab≤2＝2＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時取到等號． 答案：D 4．若函數(shù)f(x)＝－x3＋6x2＋m的極大值為13，則實數(shù)m等于______． 解析：f′(x)＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．由f′(x)＝0，得x＝0或x＝4. 當(dāng)x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)時，f′(x)＜0；x∈(0,4)時，f′(x)＞0， ∴x＝4時f(x)取到極大值．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19. 答案：－19 5．若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－ax－4在區(qū)間(－1,1)上恰有一個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為__________． 解析：由題意，f′(x)＝3x2＋2x－a， 則f′(－1)f′(1)<0，即(1－a)(5－a)<0，解得10；當(dāng)x∈(－2，－ln 2)時，f′(x)<0. 故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－2，－ln 2)上單調(diào)遞減． 當(dāng)x＝－2時，函數(shù)f(x)取得極大值， 極大值為f(－2)＝4(1－e－2)． 一、選擇題 1．當(dāng)函數(shù)y＝x2x取極小值時，x＝(　　) A.　　　　　　　　　 　B．－ C．－ln 2 D．ln 2 解析：令y′＝2x＋x2xln 2＝0，∴x＝－. 答案：B 2．已知函數(shù)y＝f(x)，其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)(　　) A．在(－∞，0)上為減函數(shù)　 　B．在x＝0處取極小值 C．在(4，＋∞)上為減函數(shù) D．在x＝2處取極大值 解析：由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：x∈(－∞，0)∪(2,4)時，f′(x)>0，即x∈(0,2)∪(4，＋∞)時，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上為增函數(shù)，在(0,2)，(4，＋∞)上為減函數(shù)，所以x＝0取得極大值，x＝2取得極小值，x＝4取得極大值，因此選C. 答案：C 3．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1處取得極大值10，則的值為(　　) A．－ B．－2 C．－2或－ D．2或－ 解析：由題意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10， 即解得或 經(jīng)檢驗滿足題意，故＝－. 答案：A 4．設(shè)函數(shù)f(x)＝exsin x，x∈[0，π]，則(　　) A．x＝為f(x)的極小值點 B．x＝為f(x)的極大值點 C．x＝為f(x)的極小值點 D．x＝為f(x)的極大值點 解析：∵f(x)＝exsin x， ∴f′(x)＝ex(sin x＋cos x) ＝exsin， 由f′(x)≤0，得sin≤0， ∴2kπ＋π≤x＋≤2kπ＋2π(k∈Z)， 即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，∵x∈[0，π]， ∴f(x)在上單調(diào)遞增，f(x)在上單調(diào)遞減， ∴x＝為f(x)的極大值點． 答案：D 二、填空題 5．已知函數(shù)y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2處有極值，其圖象在x＝1處的切線平行于直線6x＋2y＋5＝0，則f(x)的極大值與極小值之差為________． 解析：∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3b， ∴? ∴f′(x)＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2， ∴f(x)極大值－f(x)極小值＝f(0)－f(2)＝4. 答案：4 6．設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝ex＋ax，x∈R有大于零的極值點，則a的取值范圍為________． 解析：y′＝ex＋a，由y′＝0，得x＝ln(－a)， 由題意知ln(－a)>0，∴a<－1. 答案：(－∞，－1) 7．函數(shù)f(x)＝ax2＋bx在x＝處有極值，則b的值為________． 解析：f′(x)＝2ax＋b，∵函數(shù)f(x)在x＝處有極值， ∴f′＝2a＋b＝0，即b＝－2. 答案：－2 8．若函數(shù)f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)內(nèi)有極小值，則實數(shù)b的取值范圍是________． 解析：f′(x)＝3x2－6b，若f(x)在(0,1)內(nèi)有極小值， 只需f′(0)f′(1)＜0， 即－6b(3－6b)＜0，解得0＜b＜. 答案： 三、解答題 9．設(shè)函數(shù)f(x)＝x2ex－1＋ax3＋bx2，已知x＝－2和x＝1為f(x)的極值點． (1)求a和b的值； (2)討論f(x)的單調(diào)性． 解：(1)f′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx ＝xex－1(x＋2)＋x(3ax＋2b)， 因為x＝－2和x＝1是f(x)的極值點， 所以f′(－2)＝f′(1)＝0， 即解方程組得 (2)因為a＝－，b＝－1， 所以f′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)． 令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝0，x3＝1. 因為當(dāng)x∈(－∞，－2)∪(0,1)時，f′(x)<0； 當(dāng)x∈(－2,0)∪(1，＋∞)時，f′(x)>0， 所以f(x)在(－2,0)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增；在(－∞，－2)，(0,1)上單調(diào)遞減． 10．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，且方程f′(x)－9x＝0的兩個根分別為1,4. (1)當(dāng)a＝3且曲線y＝f(x)過原點時，求f(x)的解析式； (2)若f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)無極值點，求a的取值范圍． 解：由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d， 得f′(x)＝ax2＋2bx＋c. 因為f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的兩個根分別為1,4， 所以(*) (1)當(dāng)a＝3時，由(*)式得 解得b＝－3，c＝12. 又因為曲線y＝f(x)過原點，所以d＝0， 故f(x)＝x3－3x2＋12x. (2)由于a＞0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)內(nèi)無極值點 ”等價于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)內(nèi)恒成立”． 由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a. 又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)． 解得a∈[1,9]． 即a的取值范圍是[1,9]．