2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1 空間向量及其運(yùn)算 3.1.5 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc

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3.1.5　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示，并會判斷兩個(gè)向量是否共線或垂直．(重點(diǎn))2.掌握空間向量的模，夾角公式和兩點(diǎn)間距離公式，并能運(yùn)用這些公式解決簡單幾何體中的問題．(重點(diǎn)，難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如下表所示： 運(yùn)算 坐標(biāo)表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 減法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 數(shù)乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 數(shù)量積 ab＝a1b1＋a2b2＋a3b3 2.空間向量的平行、垂直、模與夾角公式的坐標(biāo)表示 設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則 平行(a∥b) a∥b(b≠0)?a＝λb? 垂直(a⊥b) a⊥b?ab＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均為非零向量) 模 |a|＝＝ 夾角公式 cos〈a，b〉＝＝ 思考：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則 a∥b一定有＝＝成立嗎？ [提示]　當(dāng)b1，b2，b3均不為0時(shí)，＝＝成立． 3．向量的坐標(biāo)及兩點(diǎn)間的距離公式 在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，則 (1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)； (2)dAB＝||＝. [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)若a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，則b＝(－2,4，－2)．(　　) (2)若a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，則|a|＝|b|.(　　) (3)若a＝(0,0,1)，b＝(1,0,0)則a⊥b.(　　) (4)在空間坐標(biāo)系中，若A(1,2,3)，B(4,5,6)，則＝(－3，－3，－3)．(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4) 2．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，則4a＋2b等于(　　) A．(16,0,4)　　　　 B．(8，－16,4) C．(8,16,4) D．(8,0,4) D　[4a＝(12，－8,4)，2b＝(－4,8,0)， ∴4a＋2b＝(8,0,4)．] 3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：46342154】 A．1　 B． C．　　　D． D　[ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，且(ka＋b)(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝.] 4．若點(diǎn)A(0,1,2)，B(1,0,1)，則＝__________，＝__________________. (1，－1，－1)　　[＝(1，－1，－1)，||＝＝.] [合 作 探 究攻 重 難] 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 　(1)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)滿足條件(c－a)(2b)＝－2，則x＝________. (2)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求適合下列條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)； ①＝(－)；②＝(－)． [解析]　(1)c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，由(c－a)2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2. [答案]　2 (2)＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)． ①＝(－)＝(6,3，－4)＝，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為. ②設(shè)P(x，y，z)，則＝(x－2，y＋1，z－2)． ∵＝(－)＝，∴ 解得x＝5，y＝，z＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為. [規(guī)律方法]　1.一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)． 2．在確定了向量的坐標(biāo)后，使用空間向量的加減、數(shù)乘、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式進(jìn)行計(jì)算就可以了，但要熟練應(yīng)用下列有關(guān)乘法公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2. [跟蹤訓(xùn)練] 1．已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)．求： (1)a＋b；(2)a－b；(3)ab； (4)2a(－b)；(5)(a＋b)(a－b)． [解]　(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4) ＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)． (2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4) ＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)． (3)ab＝(2，－1，－2)(0，－1,4) ＝20＋(－1)(－1)＋(－2)4＝－7. (4)∵2a＝(4，－2，－4)， ∴(2a)(－b)＝(4，－2，－4)(0,1，－4) ＝40＋(－2)1＋(－4)(－4)＝14. (5)(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8. 利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決平行、垂直問題 　已知空間三點(diǎn)A(－2,0,2)，B(－1,1,2)， C(－3,0,4)．設(shè)a＝，b＝. (1)若|c|＝3，c∥，求c； (2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k. [思路探究]　(1)根據(jù)c∥，設(shè)c＝λ，則向量c的坐標(biāo)可用λ表示，再利用|c|＝3求λ值； (2)把ka＋b與ka－2b用坐標(biāo)表示出來，再根據(jù)數(shù)量積為0求解． [解]　(1)∵＝(－2，－1,2)且c∥， ∴設(shè)c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)． ∴|c|＝＝3|λ|＝3. 解得λ＝1. ∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)． (2)∵a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)， ∴ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)． ∵(ka＋b)⊥(ka－2b)， ∴(ka＋b)(ka－2b)＝0， 即(k－1，k,2)(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0， 解得k＝2或k＝－. [規(guī)律方法]　向量平行與垂直問題主要有兩種題型：(1)平行與垂直的判斷；(2)利用平行與垂直求參數(shù)或解其他問題，即平行與垂直的應(yīng)用.解題時(shí)要注意：①適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如向量a，b平行，可設(shè)a＝λb)，建立關(guān)于參數(shù)的方程；②最好選擇坐標(biāo)形式，以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的. [跟蹤訓(xùn)練] 2．已知a＝(λ＋1,1,2λ)，b＝(6,2m－1,2)． (1)若a∥b，分別求λ與m的值； (2)若|a|＝，且與c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a. 【導(dǎo)學(xué)號：46342155】 [解]　(1)由a∥b，得 (λ＋1,1,2λ)＝k(6,2m－1,2)， ∴解得 ∴實(shí)數(shù)λ＝，m＝3. (2)∵|a|＝，且a⊥c， ∴ 化簡，得解得λ＝－1. 因此，a＝(0,1，－2). 空間向量夾角與長度的計(jì)算 [探究問題] 1．已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少？ 提示：P 2．設(shè)異面直線AB，CD所成的角為θ，則cos θ＝cos〈，〉一定成立嗎？ 提示：當(dāng)cos〈，〉≥0時(shí)，cos θ＝cos〈，〉 當(dāng)cos〈，〉<0時(shí)，cos θ＝－cos〈，〉． 　如圖3138所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90，棱AA1＝2，M，N分別為A1B1，A1A的中點(diǎn)． 圖3138 (1)求BN的長； (2)求A1B與B1C所成角的余弦值； (3)求證：BN⊥平面C1MN. [思路探究]　→→→→ [解]　(1)如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz. 依題意得B(0,1,0)，N(1,0,1)， ∴||＝＝， ∴線段BN的長為. (2)依題意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)， ∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)， ∴＝10＋(－1)1＋22＝3. 又||＝，||＝. ∴cos〈，〉＝ ＝. 故A1B與B1C所成角的余弦值為. (3)證明：依題意得A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B(0,1,0)， N(1,0,1)，M， ∴＝，＝(1,0，－1)， ＝(1，－1,1)， ∴＝1＋(－1)＋01＝0， ＝11＋0(－1)＋(－1)1＝0. ∴⊥，⊥， ∴BN⊥C1M，BN⊥C1N， 又∵C1M∩C1N＝C1，C1M?平面C1MN，C1N?平面C1MN， ∴BN⊥平面C1MN. [規(guī)律方法] 　向量夾角的計(jì)算步驟 (1)建系：結(jié)合圖形建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，建系原則是讓盡可能多的點(diǎn)落到坐標(biāo)軸上． (2)求方向向量：依據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出方向向量的坐標(biāo)． (3)代入公式：利用兩向量的夾角公式將方向向量的坐標(biāo)代入求出夾角． [跟蹤訓(xùn)練] 3．如圖3139所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點(diǎn)M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)． 圖3139 (1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD； (2)求異面直線AN與CM所成角的余弦值． [解]　(1)證明：設(shè)＝p，＝q，＝r. 由題意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三個(gè)向量兩兩夾角均為60. ＝－＝(＋)－ ＝(q＋r－p)， ∴＝(q＋r－p)p ＝(qp＋rp－p2) ＝(a2cos 60＋a2cos 60－a2)＝0. ∴⊥，即MN⊥AB． 同理可證MN⊥CD． (2)設(shè)向量與的夾角為θ. ∵＝(＋)＝(q＋r)， ＝－＝q－p， ∴＝(q＋r) ＝ ＝ ＝＝. 又∵||＝||＝a， ∴＝||||cos θ＝aacos θ＝. ∴cos θ＝. ∴向量與的夾角的余弦值為，從而異面直線AN與CM所成角的余弦值為. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，則|3a＋b|為(　　) A．　　　　　 　 B．4 C．5 D． D　[3a＋b＝3(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(3,3,0)＋(－1,0,2)＝(2,3,2)，故|3a＋b|＝＝.] 2．已知A(3,3,3)，B(6,6,6)，O為原點(diǎn)，則與的夾角是(　　) A．0　　 B．π　　　　C．π　　　D．2π B　[＝(3,3,3)，＝(－6，－6，－6) 則BO＝33(－6)＝－54，||＝3，||＝6 所以cos〈，〉＝＝＝－1，所以〈，〉＝π.] 3．已知a＝(1，x,3)，b＝(－2,4，y)，若a∥b，則x－y＝________. 4　[∵a∥b，∴b＝λa. ∴∴ ∴x－y＝4.] 4．若a＝(2,3，－1)，b＝(－2,1,3)，則以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為________. 【導(dǎo)學(xué)號：46342156】 6　[ab＝2(－2)＋31＋(－1)3＝－4，|a|＝，|b|＝， ∴cos〈a，b〉＝＝－. ∴sin〈a，b〉＝＝. 因此以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為|a||b|sin〈a，b〉＝＝6.] 5．在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是D1D，BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG＝CD，H是C1G的中點(diǎn)．利用空間向量解決下列問題： (1)求EF與B1C所成的角； (2)求EF與C1G所成角的余弦值； (3)求F，H兩點(diǎn)間的距離． [解]　如圖所示，以DA，DC，DD1為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz， 則D(0,0,0)，E，F(xiàn)，C(0,1,0)，C1(0，1,1)，B1(1,1,1)，G. (1)＝，＝(－1,0，－1)， ∴＝(－1,0，－1)＝(－1)＋0＋(－1)＝0. ∴⊥，即EF⊥B1C． ∴EF與B1C所成的角為90. (2)因?yàn)椋? 則||＝. 又||＝，且＝， ∴cos〈，〉＝＝， 即EF與C1G所成角的余弦值為. (3)∵H是C1G的中點(diǎn)，∴H. 又F， ∴FH＝|| ＝＝.