2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 3.2 一般形式的柯西不等式學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx

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3.2 一般形式的柯西不等式 預(yù)習(xí)案 一、預(yù)習(xí)目標(biāo)及范圍 1．掌握三維形式和多維形式的柯西不等式． 2．會利用一般形式的柯西不等式解決簡單問題． 二、預(yù)習(xí)要點 教材整理1　三維形式的柯西不等式 設(shè)a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，則(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥ .當(dāng)且僅當(dāng) 或存在一個數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)時，等號成立．我們把該不等式稱為三維形式的柯西不等式． 教材整理2　一般形式的柯西不等式 設(shè)a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實數(shù)，則 (a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥ .當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一個數(shù)k，使得ai＝ (i＝1,2，…，n)時，等號成立． 三、預(yù)習(xí)檢測 1.已知x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝1，則x2＋y2＋z2的最小值是(　　) A．1　　　　B.　　　　C.　　　　D．2 2.已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，則a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是(　　) A．1 B．2 C．3 D.4 3．設(shè)a，b，c為正數(shù)，則(a＋b＋c)的最小值為________. 探究案 一、合作探究 題型一、利用柯西不等式求最值 例1　已知a，b，c∈(0，＋∞)，＋＋＝2，求a＋2b＋3c的最小值及取得最小值時a，b，c的值． 【精彩點撥】　由于＋＋＝2，可考慮把已知條件與待求式子結(jié)合起來，利用柯西不等式求解． [再練一題] 1．已知x＋4y＋9z＝1，求x2＋y2＋z2的最小值． 題型二、運用柯西不等式求參數(shù)的取值范圍 例2已知正數(shù)x，y，z滿足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范圍． 【精彩點撥】　“恒成立”問題需求＋＋的最大值，設(shè)法應(yīng)用柯西不等式求最值． [再練一題] 2．已知實數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，試求a的取值范圍. 題型三、利用柯西不等式證明不等式 例3　已知a，b，c∈R＋，求證：＋＋≥9. 【精彩點撥】　對應(yīng)三維形式的柯西不等式，a1＝，a2＝，a3＝，b1＝，b2＝，b3＝，而a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得證． [再練一題] 3．已知函數(shù)f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]． (1)求m的值； (2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求證：a＋2b＋3c≥9. 二、隨堂檢測 1．設(shè)a＝(－2,1,2)，|b|＝6，則ab的最小值為(　　) A．18 B．6 C．－18 D.122．若a＋a＋…＋a＝1，b＋b＋…＋b＝4，則a1b1＋a2b2＋…＋anbn的取值范圍是(　　) A．(－∞，2) B．[－2,2] C．(－∞，2] D.[－1,1] 3．設(shè)a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，則 的最小值為________． 參考答案 預(yù)習(xí)檢測： 1.【解析】　根據(jù)柯西不等式，x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)≥(1x＋1y＋1z)2＝(x＋y＋z)2＝. 【答案】　B 2.【解析】　(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)＝11＝1，當(dāng)且僅當(dāng)＝＝…＝＝1時取等號， ∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1. 【答案】　A 3.【解析】　由a，b，c為正數(shù)， ∴(a＋b＋c) ＝[()2＋()2＋()2] ≥2＝121， 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝＝k(k>0)時等號成立． 故(a＋b＋c)的最小值是121. 【答案】　121 隨堂檢測： 1.【解析】　|ab|≤|a||b|， ∴|ab|≤18. ∴－18≤ab≤18，當(dāng)a，b反向時，ab最小，最小值為－18. 【答案】　C 2.【解析】　∵(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2， ∴(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤4， ∴|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|≤2， 即－2≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤2， 當(dāng)且僅當(dāng)ai＝bi(i＝1,2，…，n)時，右邊等號成立； 當(dāng)且僅當(dāng)ai＝－bi(i＝1,2，…，n)時，左邊等號成立，故選B. 【答案】　B 3.【解析】　根據(jù)柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值為. 【答案】