2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 考點(diǎn)25 直線與平面垂直的判定庖丁解題 新人教A版必修2.doc

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考點(diǎn)25 直線與平面垂直的判定 要點(diǎn)闡述 直線與平面垂直 （1）定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直，記作．直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面． （2）判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直． 典型例題 【例】如圖，在三棱錐A－BCD中，CA＝CB，DA＝DB．作BE⊥CD，E為垂足，作AH⊥BE于H． 求證：AH⊥平面BCD． 【規(guī)律總結(jié)】（1）證明線面垂直的方法： ①利用線面垂直定義：如果一條直線垂直于平面內(nèi)任一條直線，則這條直線垂直于該平面； ②用線面垂直判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線與平面垂直； ③用線面垂直性質(zhì)：兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也必垂直于這個(gè)平面． （2）證明線線（或線面）垂直有時(shí)需多次運(yùn)用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，實(shí)現(xiàn)線線垂直與線面垂直的相互轉(zhuǎn)化． 小試牛刀 1．如果直線和平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直，則直線與平面的位置關(guān)系是（ ） A． B． C． D．以上都不正確 【答案】D 【解析】無數(shù)條直線可能互相平行，不一定有兩條相交，故選D． 【解題技巧】利用直線與平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的步驟是： ①在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線，使它和已知直線垂直； ②確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交直線； ③根據(jù)判定定理得出結(jié)論． 2．若直線與平面內(nèi)的兩條直線垂直，則直線與平面的位置關(guān)系是（ ） A．垂直 B．平行 C．斜交或在平面內(nèi) D．以上均有可能 【答案】D 3．已知過平面外一點(diǎn)，則下列結(jié)論： ①存在無數(shù)條直線與平面平行； ②存在無數(shù)條直線與平面垂直； ③有且只有一條直線與平面平行；④有且只有一條直線與平面垂直． 其中正確的是（ ） A．①③ B．②④ C．③④ D．①④ 【答案】D 【解析】根據(jù)線面垂直的判定可得． 4．下列表述正確的個(gè)數(shù)為(　　) ①若直線a∥平面α，直線a⊥b，則b⊥α； ②若直線a平面α，bα，且a⊥b，則a⊥α； ③若直線a平行于平面α內(nèi)的兩條直線，則a∥α； ④若直線a垂直于平面α內(nèi)的兩條直線，則a⊥α． A．0　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 【答案】A 5．若三條直線兩兩垂直，則直線垂直于（ ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】C 【解析】∵，，，∴平面． 6．ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)為O，點(diǎn)P在ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，則PO與平面ABCD的位置關(guān)系是________． 【答案】垂直 【解析】∵PA＝PC，O是AC的中點(diǎn)，∴PO⊥AC．同理可得PO⊥BD．∵AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD． 【規(guī)律總結(jié)】線線垂直的證明，常用方法是利用線面垂直的定義證明，即欲證線線垂直，可先證線面垂直． 考題速遞 1．如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊，那么能保證該直線與平面垂直的是(　　) A．①③　　　 B．②　　　 C．②④　　　 D．①②④ 【答案】A 【解析】①③能保證這條直線垂直于該平面內(nèi)的兩條相交直線，②④中的兩條直線有可能是平行的． 2．已知直線m，n是異面直線，則過直線n且與直線m垂直的平面 （　?。? A．有且只有一個(gè) B．至多一個(gè) C．有一個(gè)或無數(shù)個(gè) D．不存在 【答案】B 【解析】異面直線m、n垂直，則符合要求的平面有一個(gè)，否則不存在． 3．已知a，b，c是直線，α，β是平面，下列條件中，能得出直線a⊥α的是(　　) A．a(chǎn)⊥b，a⊥c，且b?α，c?α B．a(chǎn)⊥b，b∥α C．α⊥β，a∥β D．a(chǎn)∥b，b⊥α 【答案】D 【解析】如果兩條平行線中有一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面，故選D． 4．如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CD上的動(dòng)點(diǎn)．試確定點(diǎn)F的位置，使得D1E⊥平面AB1F． 數(shù)學(xué)文化 線面垂直的實(shí)例