新版一輪優(yōu)化探究理數(shù)蘇教版練習(xí)：第十一章 第九節(jié)　二項(xiàng)式定理 Word版含解析

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1、 1

2、 1 一、填空題 1．(－)6的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)等于________． 解析：設(shè)含x3項(xiàng)為第(k＋1)項(xiàng)，則Tk＋1＝C·()6－k·()k＝C·x6－k··(－y)k·＝C···(－y)k， ∴6－k－＝3，即k＝2， ∴T3＝C·x3··y2＝C·x3，其系數(shù)為C＝＝15. 答案：15(只寫(xiě)C或C也可) 2．已知n為正偶數(shù)，且(x2－)n的展開(kāi)式中第4項(xiàng)的二

3、項(xiàng)式系數(shù)最大，則第4項(xiàng)的系數(shù)是________．(用數(shù)字作答) 解析：n為正偶數(shù)，且第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，故展開(kāi)式共7項(xiàng)，n＝6，第4項(xiàng)系數(shù)為C(－)3＝－. 答案：－ 3．若(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.(用數(shù)字作答) 解析：由題設(shè)令x＝0得a0＝(－2)5＝－32， 令x＝1得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝(1－2)5＝－1， 故a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1－(－32)＝31. 答案：31 4．(1＋x＋x2)(x－)6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______． 解析：(1＋x

4、＋x2)(x－)6＝(1＋x＋x2)·(C 06x6(－)0＋Cx5(－)1＋C 26x4(－)2＋Cx3·(－)3＋C 46x2(－)4＋C 56x(－)5＋Cx0(－)6) ＝(1＋x＋x2)(x6－6x4＋15x2－20＋－＋)． 所以常數(shù)項(xiàng)為1×(－20)＋x2·＝－5. 答案：－5 5．在(1＋x)3＋(1＋)3＋(1＋)3的展開(kāi)式中，x的系數(shù)為_(kāi)_______．(用數(shù)字作答) 解析：由條件易知(1＋x)3，(1＋)3，(1＋)3展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)分別是C，C，C，即所求系數(shù)是3＋3＋1＝7 答案：7 6．若(1＋)5＝a＋b(a，b為有理數(shù))，則a＋b＝______

5、__. 解析：(1＋)5＝C 05()0＋C()1＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5 ＝1＋5＋20＋20＋20＋4＝41＋29， 由已知，得41＋29＝a＋b， ∴a＋b＝41＋29＝70. 答案：70 7．(x－y)10的展開(kāi)式中，x7y3的系數(shù)與x3y7的系數(shù)之和等于________． 解析：－C＋(－C)＝－2C＝－240. 答案：－240 8．(x－y)4的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為_(kāi)_______． 解析：(x－y)4＝x2y2(－)4，只需求(－)4的展開(kāi)式中含xy項(xiàng)的系數(shù)：C＝6. 答案：6 9．若(1－2x)2 009＝a0＋a1x＋…＋a2 00

6、9x2 009(x∈R)，則＋＋…＋的值為_(kāi)_______． 解析：ar＝(－1)rC·12 009－r·2r，則a1，a2，…，ar都能表示出來(lái)，則＋＋…＋＝(－1)rC＝(1－2)2 009＝－1. 答案：－1 二、解答題 10．設(shè)(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，求： (1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4； (2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|； (3)a1＋a3＋a5； (4)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2. 解析：設(shè)f(x)＝(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5， 則f(1)＝a0＋a1

7、＋a2＋…＋a5＝1， f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝(－3)5＝－243. (1)∵a5＝25＝32， ∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝f(1)－32＝－31. (2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5| ＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5 ＝－f(－1)＝243. (3)∵f(1)－f(－1)＝2(a1＋a3＋a5)， ∴a1＋a3＋a5＝＝122. (4)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2 ＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5)(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5) ＝f(1)×f(－1)＝－243. 11．已知(a2＋1

8、)n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和等于(x2＋)5的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)，而(a2＋1)n的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)等于54，求a的值． 解析：由( x2＋)5得，Tk＋1＝C(x2)5－k()k＝ 令Tk＋1為常數(shù)項(xiàng)，則20－5k＝0， ∴k＝4，∴常數(shù)項(xiàng)T5＝C×＝16. 又(a2＋1)n展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和等于2n， 由題意得2n＝16，∴n＝4. 由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，(a2＋1)n展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是中間項(xiàng)T3， ∴Ca4＝54，∴a＝±. 12．已知(－)n的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列． (1)證明：展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)； (2)求展開(kāi)式中所有有理項(xiàng)． 解析：依題意，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值是1，C()，C()2，且2C·＝1＋C()2， 即n2－9n＋8＝0，∴n＝8(n＝1舍去)， ∴展開(kāi)式的第k＋1項(xiàng)為C()8－k(－)k (1)證明：若第k＋1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)， 當(dāng)且僅當(dāng)＝0，即3k＝16， ∵k∈Z，∴這不可能，∴展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)． (2)若第k＋1項(xiàng)為有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù)， ∵0≤k≤8，k∈Z， ∴k＝0,4,8， 即展開(kāi)式中的有理項(xiàng)共有三項(xiàng)，它們是： T1＝x4，T5＝x，T9＝x－2.