2019高考數(shù)學(xué)一本策略復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第一講 直線與圓教案 文.docx

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第一講　直線與圓 年份 卷別 考查角度及命題位置 命題分析及學(xué)科素養(yǎng) 2018 Ⅰ卷 圓的弦長問題T15 命題分析 1.近兩年圓的方程成為高考全國課標(biāo)卷命題的熱點(diǎn)，需重點(diǎn)關(guān)注．此類試題難度中等偏下，多以選擇題或填空題形式考查． 2.直線與圓的方程偶爾單獨(dú)命題，單獨(dú)命題時有一定的深度，有時也會出現(xiàn)在壓軸題的位置，難度較大，對直線與圓的方程(特別是直線)的考查主要體現(xiàn)在圓錐曲線的綜合問題上． 學(xué)科素養(yǎng) 通過考查直線與圓的位置關(guān)系，著重考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). Ⅱ卷 直線與拋物線位置關(guān)系及圓的方程求法T20 Ⅲ卷 直線與圓的位置關(guān)系及面積問題T8 2017 Ⅲ卷 探索性問題與圓的弦長問題T20 2016 Ⅰ卷 直線與圓的位置關(guān)系及圓的面積問題T15 直線方程與應(yīng)用 授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第42頁 [悟通——方法結(jié)論] 1．兩條直線平行與垂直的判定 若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在． 2．求直線方程 要注意幾種直線方程的局限性．點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式要求直線不能與x軸垂直．而截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線． 3．兩個距離公式 (1)兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝. (2)點(diǎn)(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離公式 d＝. 4．與已知直線l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)平行的直線可改為Ax＋By＋m＝0(m≠C)，垂直的直線可設(shè)為Bx－Ay＋m＝0. 5．直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0， 直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 當(dāng)l1⊥l2時，有A1A2＋B1B2＝0， 當(dāng)l1∥l2時，A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0. [全練——快速解答] 1．(2018洛陽一模)已知直線l1：x＋my－1＝0，l2：nx＋y－p＝0，則“m＋n＝0”是“l(fā)1⊥l2”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：①若m＋n＝0，當(dāng)m＝n＝0時，直線l1：x－1＝0與直線l2：y－p＝0互相垂直；當(dāng)m＝－n≠0時，直線l1的斜率為－，直線l2的斜率為－n，∵－(－n)＝－m＝－1，∴l(xiāng)1⊥l2.②當(dāng)l1⊥l2時，若m＝0，l1：x－1＝0，則n＝0，此時m＋n＝0；若m≠0，則－(－n)＝－1，即－n＝m，有m＋n＝0.故選C. 答案：C 2．已知直線l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，則實(shí)數(shù)a的值為(　　) A．－ B．0　　　 C．－或0　　　 D．2 解析：若a≠0，則由l1∥l2，得＝，所以2a＋2＝－1，即a＝－； 若a＝0，則l1：x－1＝0，l2：x＝0，互相平行． 答案：C 3．若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，則l1與l2間的距離為(　　) A. B. C. D. 解析：由l1∥l2，得(a－2)a＝13，且a2a≠36，解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，所以l1與l2間的距離為d＝＝. 答案：B 4．過直線l1：x－2y＋3＝0與直線l2：2x＋3y－8＝0的交點(diǎn)，且到點(diǎn)P(0,4)距離為2的直線方程為________． 解析：由得∴l(xiāng)1與l2的交點(diǎn)為(1,2)．當(dāng)所求直線斜率不存在，即直線方程為x＝1時，顯然不滿足題意． 當(dāng)所求直線斜率存在時，設(shè)所求直線方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0， ∵點(diǎn)P(0,4)到直線的距離為2， ∴2＝，∴k＝0或k＝. ∴直線方程為y＝2或4x－3y＋2＝0. 答案：y＝2或4x－3y＋2＝0 【類題通法】 1．求直線方程時易忽視斜率k不存在情形． 2．利用斜率與截距判斷兩線平行或垂直關(guān)系時易忽視斜率不存在情形． 3．有關(guān)截距問題易忽視截距為零這一情形． 圓的方程及應(yīng)用 授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第43頁 [悟通——方法結(jié)論] 1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 當(dāng)圓心為(a，b)，半徑為r時，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)時，方程為x2＋y2＝r2. 2．圓的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以為圓心、為半徑的圓． [全練——快速解答] 1．已知圓C的圓心是直線x－y＋1＝0與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程是(　　) A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x＋1)2＋y2＝8 C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝8 解析：直線x－y＋1＝0與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,0)，因?yàn)閳AC與直線x＋y＋3＝0相切，所以半徑為圓心到切線的距離，即r＝d＝＝，則圓C的方程為(x＋1)2＋y2＝2，故選A. 答案：A 2．(2018長沙模擬)與圓(x－2)2＋y2＝4關(guān)于直線y＝x對稱的圓的方程是(　　) A．(x－)2＋(y－1)2＝4 B．(x－)2＋(y－)2＝4 C．x2＋(y－2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－)2＝4 解析：圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的半徑相同，只需圓心關(guān)于直線對稱即可．由題意知已知圓的圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑為2，設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(a，b)，則解得 所以所求圓的圓心坐標(biāo)為(1，)，半徑為2. 從而所求圓的方程為(x－1)2＋(y－)2＝4. 答案：D 3．(2018廣州模擬)若一個圓的圓心是拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)，且該圓與直線y＝x＋3相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________． 解析：拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為(0,1)， 即圓心為(0,1)， 設(shè)該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2＋(y－1)2＝r2(r＞0)， 因?yàn)樵搱A與直線y＝x＋3相切， 所以r＝＝， 故該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2＋(y－1)2＝2. 答案：x2＋(y－1)2＝2 【類題通法】 用待定系數(shù)法求圓的方程的一般步驟 (1)選用圓的方程兩種形式中的一種，若知圓上三個點(diǎn)的坐標(biāo)，通常選用一般方程；若給出圓心的特殊位置或圓心與兩坐標(biāo)軸間的關(guān)系，通常選用標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)根據(jù)所給條件，列出關(guān)于D，E，F(xiàn)或a，b，r的方程組； (3)解方程組，求出D，E，F(xiàn)或a，b，r的值，并把它們代入所設(shè)的方程中，得到所求圓的方程. 直線與圓的位置關(guān)系 授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第43頁 [悟通——方法結(jié)論] 1．直線和圓的位置關(guān)系的判斷方法 直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)與圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置關(guān)系如表. 方法 　　 幾何法：根據(jù)d＝與r的大小關(guān)系 代數(shù)法： 消元得一元二次方程，根據(jù)判別式Δ的符號判斷 相交 d＜r Δ>0 相切 d＝r Δ＝0 相離 d＞r Δ<0 2.弦長與切線長的計(jì)算方法 (1)弦長的計(jì)算：直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝2(其中d為弦心距)． (2)切線長的計(jì)算：過點(diǎn)P向圓引切線PA，則|PA|＝(其中C為圓心)． 　(2017高考全國卷Ⅲ)(12分)已知拋物線C：y2＝2x， 為直徑的圓． (1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上； (2)設(shè)圓M過點(diǎn)P(4，－2)，求 [學(xué)審題] 條件信息 想到方法 注意什么 信息?中過定點(diǎn)的直線l 直線l的方程的設(shè)法 數(shù)形結(jié)合分析，靈活設(shè)l：x＝my＋2.注意斜率是否存在 信息?中AB為直徑 抓住圓的幾何性質(zhì)坐標(biāo)化條件 OA⊥OB?x1x2＋y1y2＝0 信息?中求圓的方程 確定圓心與半徑是求圓方程關(guān)鍵 設(shè)出圓心坐標(biāo)，注意多解 [規(guī)范解答]　(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2. (1分) 由可得y2－2my－4＝0，則y1y2＝－4. 又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4. (3分) 因此OA的斜率與OB的斜率之積為＝＝－1， 所以O(shè)A⊥OB. 故坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上． (5分) (2)由(1)可得y1＋y2＝2m， x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4， 故圓心M的坐標(biāo)為(m2＋2，m)， 圓M的半徑r＝. (8分) 由于圓M過點(diǎn)P(4，－2)，因此＝0， 故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0， 即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0. 由(1)知y1y2＝－4，x1x2＝4， 所以2m2－m－1＝0， 解得m＝1或m＝－. (10分) 當(dāng)m＝1時，直線l的方程為x－y－2＝0，圓心M的坐標(biāo)為(3,1)，圓M的半徑為， 圓M的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10. 當(dāng)m＝－時，直線l的方程為2x＋y－4＝0，圓心M的坐標(biāo)為 ，圓M的半徑為， 圓M的方程為2＋2＝. (12分) 【類題通法】 1．圓上的點(diǎn)到直線的距離的化歸思想 (1)轉(zhuǎn)化為兩平行線間的距離以及直線與圓的交點(diǎn)個數(shù)求解．(2)轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離與半徑之間的關(guān)系求解．(3)直接設(shè)點(diǎn)，利用方程思想解決． 2．?dāng)?shù)形結(jié)合思想在求解與圓有關(guān)的最值問題中是關(guān)鍵點(diǎn)． [練通——即學(xué)即用] 1．(2018銀川九中五模)直線l：kx＋y＋4＝0(k∈R)是圓C：x2＋y2＋4x－4y＋6＝0的一條對稱軸，過點(diǎn)A(0，k)作斜率為1的直線m，則直線m被圓C所截得的弦長為(　　) A.　　 B. C. D．2 解析：圓C：x2＋y2＋4x－4y＋6＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝2，表示以C(－2,2)為圓心，為半徑的圓．由題意可得，直線l：kx＋y＋4＝0經(jīng)過圓心C(－2,2)，所以－2k＋2＋4＝0，解得k＝3，所以點(diǎn)A(0,3)，故直線m的方程為y＝x＋3，即x－y＋3＝0，則圓心C到直線m的距離d＝＝，所以直線m被圓C所截得的弦長為2 ＝.故選C. 答案：C 2．(2018高考全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　) A．[2,6] B．[4,8] C．[，3] D．[2，3] 解析：設(shè)圓(x－2)2＋y2＝2的圓心為C，半徑為r，點(diǎn)P到直線x＋y＋2＝0的距離為d，則圓心C(2,0)，r＝，所以圓心C到直線x＋y＋2＝0的距離為2，可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.由已知條件可得AB＝2，所以△ABP面積的最大值為ABdmax＝6，△ABP面積的最小值為ABdmin＝2. 綜上，△ABP面積的取值范圍是[2,6]． 故選A 答案：A 3．已知圓C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0. (1)若圓C與坐標(biāo)軸有3個交點(diǎn)，求m的值； (2)若圓C與直線x＋2y－4＝0的兩個交點(diǎn)為M，N，且滿足＝0(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求此時m的值． 解析：(1)由x2＋y2－2x－4y＋m＝0配方得(x－1)2＋(y－2)2＝5－m. 由題意，可得圓C與x軸相切或過原點(diǎn)時，圓C與坐標(biāo)軸有三個交點(diǎn)， 所以5－m＝4，或1＋4＝5－m，解得m＝1或m＝0. (2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)則＝(x1，y1)，＝(x2，y2)． 由＝0，得x1x2＋y1y2＝0. 由消x，得(4－2y)2＋y2－2(4－2y)－4y＋m＝0. 整理得5y2－16y＋8＋m＝0.① 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，y1＋y2＝，y1y2＝. 由x1＝4－2y1，x2＝4－2y2， ∴x1x2＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2＝－＋. 由x1x2＋y1y2＝0，得－＋＋＝0，解得m＝. 由①知Δ＝162－20(8＋m)＞0，即m＜，故m＝滿足題意，因此m＝為所求． 授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第129頁 一、選擇題 1．“ab＝4”是“直線2x＋ay－1＝0與直線bx＋2y－2＝0平行”的(　　) A．充分必要條件　 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件 解析：因?yàn)閮芍本€平行，所以斜率相等，即－＝－，可得ab＝4，又當(dāng)a＝1，b＝4時，滿足ab＝4，但是兩直線重合，故選C. 答案：C 2．已知圓(x－1)2＋y2＝1被直線x－y＝0分成兩段圓弧，則較短弧長與較長弧長之比為(　　) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5 解析：(x－1)2＋y2＝1的圓心為(1,0)，半徑為1.圓心到直線的距離d＝＝，所以較短弧所對的圓心角為，較長弧所對的圓心角為，故兩弧長之比為1∶2，故選A. 答案：A 3．(2018臨沂模擬)已知直線3x＋ay＝0(a＞0)被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2，則a的值為(　　) A. B. C．2 D．2 解析：由已知條件可知，圓的半徑為2，又直線被圓所截得的弦長為2，故圓心到直線的距離為，即＝，得a＝. 答案：B 4．(2018濟(jì)寧模擬)已知圓C過點(diǎn)A(2,4)，B(4,2)，且圓心C在直線x＋y＝4上，若直線x＋2y－t＝0與圓C相切，則t的值為(　　) A．－62 B．62 C．26 D．64 解析：因?yàn)閳AC過點(diǎn)A(2,4)，B(4,2)，所以圓心C在線段AB的垂直平分線y＝x上，又圓心C在直線x＋y＝4上，聯(lián)立，解得x＝y(tǒng)＝2，即圓心C(2,2)，圓C的半徑r＝＝2.又直線x＋2y－t＝0與圓C相切，所以＝2，解得t＝62. 答案：B 5．(2018南昌第一次模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝2x＋1與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，則cos∠AOB＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：因?yàn)閳Ax2＋y2＝4的圓心為O(0,0)，半徑為2，所以圓心O到直線y＝2x＋1的距離d＝＝，所以弦長|AB|＝2＝2. 在△AOB中，由余弦定理得cos∠AOB＝＝＝－. 答案：D 6．(2018合肥第一次教學(xué)質(zhì)量檢測)設(shè)圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則直線l的方程為(　　) A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0 B．3x＋4y－12＝0或x＝0 C．4x－3y＋9＝0或x＝0 D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0 解析：當(dāng)直線l的斜率不存在時，計(jì)算出弦長為2，符合題意； 當(dāng)直線l的斜率存在時，可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋3，由弦長為2可知，圓心到該直線的距離為1，從而有＝1，解得k＝－ ，綜上，直線l的方程為x＝0或3x＋4y－12＝0，故選B. 答案：B 7．已知圓O：x2＋y2＝1，點(diǎn)P為直線＋＝1上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓O引兩條切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)，則直線AB經(jīng)過定點(diǎn)(　　) A．(，) B．(，) C．(，0) D．(0，) 解析：因?yàn)辄c(diǎn)P是直線＋＝1上的一動點(diǎn)，所以設(shè)P(4－2m，m)． 因?yàn)镻A，PB是圓x2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，所以O(shè)A⊥PA，OB⊥PB，所以點(diǎn)A，B在以O(shè)P為直徑的圓C上，即弦AB是圓O和圓C的公共弦． 因?yàn)閳A心C的坐標(biāo)是(2－m，)，且半徑的平方r2＝，所以圓C的方程為(x－2＋m)2＋(y－)2＝，① 又x2＋y2＝1，② 所以②－①得，(2m－4)x－my＋1＝0，即公共弦AB所在的直線方程為(2x－y)m＋(－4x＋1)＝0，所以由得所以直線AB過定點(diǎn)(，)．故選B. 答案：B 8．若過點(diǎn)A(1,0)的直線l與圓C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M，l與直線x＋2y＋2＝0的交點(diǎn)為N，則|AM||AN|的值為(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：圓C的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程可得(x－3)2＋(y－4)2＝4，故圓心為C(3,4)，半徑為2，則可設(shè)直線l的方程為kx－y－k＝0(k≠0)，由得N，又直線CM與l垂直，得直線CM的方程為y－4＝－(x－3)． 由 得M， 則|AM||AN| ＝. ＝＝6.故選B. 答案：B 二、填空題 9．(2018高考全國卷Ⅰ)直線y＝x＋1與圓x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________. 解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4. ∴圓心C(0，－1)，半徑r＝2. 圓心C(0，－1)到直線x－y＋1＝0的距離d＝＝，∴|AB|＝2＝2＝2. 答案：2 10．(2018江蘇三市三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0，－2)，點(diǎn)B(1，－1)，P為圓x2＋y2＝2上一動點(diǎn)，則的最大值是________． 解析：設(shè)動點(diǎn)P(x，y)，令＝t(t＞0)，則＝t2，整理得，(1－t2)x2＋(1－t2)y2－2x＋(2－4t2)y＋2－4t2＝0，(*) 易知當(dāng)1－t2≠0時，(*)式表示一個圓，且動點(diǎn)P在該圓上， 又點(diǎn)P在圓x2＋y2＝2上，所以點(diǎn)P為兩圓的公共點(diǎn)，兩圓方程相減得兩圓公共弦所在直線l的方程為x－(1－2t2)y－2＋3t2＝0， 所以圓心(0,0)到直線l的距離d＝≤，解得0＜t≤2，所以的最大值為2. 答案：2 三、解答題 11．已知圓C過點(diǎn)P(1,1)，且圓C與圓M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)關(guān)于直線x＋y＋2＝0對稱． (1)求圓C的方程； (2)設(shè)Q為圓C上的一個動點(diǎn)，求的最小值． 解析：(1)設(shè)圓心C(a，b)，則 解得 則圓C的方程為x2＋y2＝r2，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得r2＝2， 故圓C的方程為x2＋y2＝2. (2)設(shè)Q(x，y)，則x2＋y2＝2， ＝(x－1，y－1)(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2， 令x＝cos θ，y＝sin θ， 則＝x＋y－2＝(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin－2， 所以的最小值為－4. 12．已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. (1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程； (2)從圓C外一點(diǎn)P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|取得最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo)． 解析：(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝2. ①當(dāng)此切線在兩坐標(biāo)軸上的截距為零時，設(shè)此切線方程為y＝kx， 由＝，得k＝2， ∴此切線方程為y＝(2)x. ②當(dāng)此切線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零時，設(shè)此切線方程為x＋y－a＝0，由＝，得|a－1|＝2，即a＝－1或a＝3. ∴此切線方程為x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0. 綜上，此切線方程為y＝(2＋)x或y＝(2－)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0. (2)由|PO|＝|PM|，得|PO|2＝|PM|2＝|PC|2－|CM|2，即x＋y＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，整理得2x1－4y1＋3＝0，即點(diǎn)P在直線l：2x＋4y＋3＝0上， 當(dāng)|PM|取最小值時，|PO|取最小值， 此時直線PO⊥l，∴直線PO的方程為2x＋y＝0. 解方程組得 故使|PM|取得最小值時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.