2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第12章 選修4系列 第1講 課后作業(yè) 理（含解析）.doc

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第12章 選修4系列 第1講 A組　基礎(chǔ)關(guān) 1．在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，圓心為直線ρsin＝－與極軸的交點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程． 解　在ρsin＝－中， 令θ＝0，得ρ＝1，所以圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)． 因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)P， 所以圓C的半徑PC＝＝1， 于是圓C過(guò)極點(diǎn)，所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ. 2．設(shè)M，N分別是曲線ρ＋2sinθ＝0和ρsin＝上的動(dòng)點(diǎn)，求M，N的最小距離． 解　因?yàn)镸，N分別是曲線ρ＋2sinθ＝0和ρsin＝上的動(dòng)點(diǎn)，即M，N分別是圓x2＋y2＋2y＝0和直線x＋y－1＝0上的動(dòng)點(diǎn)，要求M，N兩點(diǎn)間的最小距離，即在直線x＋y－1＝0上找一點(diǎn)到圓x2＋y2＋2y＝0的距離最小，即圓心(0，－1)到直線x＋y－1＝0的距離減去半徑，故最小值為－1＝－1. 3．(2019甘肅省會(huì)寧二中模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－2ρsinθ－3＝0. (1)求直線l的極坐標(biāo)方程； (2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)． 解　(1)由得y＝x， ∴在平面直角坐標(biāo)系中， 直線l經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角是， 因此，直線l的極坐標(biāo)方程是θ＝(ρ∈R)． (2)把θ＝代入曲線C的極坐標(biāo)方程 ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－2ρsinθ－3＝0，得 ρ2－ρ－3＝0， 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得 ρ1＋ρ2＝，ρ1ρ2＝－3， ∴|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ＝＝. 4．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1的參數(shù)方程為 (φ1是參數(shù))，圓C2的參數(shù)方程為(φ2是參數(shù))，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求圓C1，圓C2的極坐標(biāo)方程； (2)射線θ＝α(0≤α<2π)同時(shí)與圓C1交于O，M兩點(diǎn)，與圓C2交于O，N兩點(diǎn)，求|OM|＋|ON|的最大值． 解　(1)圓C1：(x－)2＋y2＝3，圓C2：x2＋(y－1)2＝1，故圓C1：ρ＝2cosθ，圓C2：ρ＝2sinθ. (2)當(dāng)θ＝α?xí)r，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(2cosα，α)，點(diǎn)N的極坐標(biāo)為(2sinα，α)，∴|OM|＋|ON|＝2cosα＋2sinα， ∴|OM|＋|ON|＝4sin，∵≤α＋<， ∴當(dāng)α＋＝，即α＝時(shí)，|OM|＋|ON|取得最大值4. B組　能力關(guān) 1．以直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝. (1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)過(guò)極點(diǎn)O作直線l交曲線C于點(diǎn)P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直線l的極坐標(biāo)方程． 解　(1)∵ρ＝，ρsinθ＝y(tǒng)， ∴ρ＝化為ρ－ρsinθ＝2， ∴曲線的直角坐標(biāo)方程為x2＝4y＋4. (2)設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝θ0(ρ∈R)， 根據(jù)題意＝3， 解得θ0＝或θ0＝， ∴直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R)． 2．(2018貴州適應(yīng)性測(cè)試)在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＝sinθ. (1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程； (2)過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為α的射線l與曲線C1，C2分別相交于A，B兩點(diǎn)(A，B異于原點(diǎn))，求|OA||OB|的取值范圍． 解　(1)由曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＝sinθ， 兩邊同乘以ρ，得ρ2cos2θ＝ρsinθ， 故曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＝y(tǒng). (2)射線l的極坐標(biāo)方程為θ＝α，<α≤， 把射線l的極坐標(biāo)方程代入曲線C1的極坐標(biāo)方程得 |OA|＝ρ＝4cosα， 把射線l的極坐標(biāo)方程代入曲線C2的極坐標(biāo)方程得 |OB|＝ρ＝， ∴|OA||OB|＝4cosα＝4tanα. ∵<α≤，∴|OA||OB|的取值范圍是. 3．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x＝0，圓C2：(x－1)2＋(y－1－)2＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程； (2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)，設(shè)C1與C2的交點(diǎn)為A，C2與C3的交點(diǎn)為B，求△OAB的面積． 解　(1)因?yàn)閤＝ρcosθ，y＝ρsinθ， 所以C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝0，即θ＝(ρ∈R)，C2的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcosθ－2(1＋)ρsinθ＋(3＋2)＝0. (2)將θ＝代入ρ2－2ρcosθ－2(1＋)ρsinθ＋(3＋2)＝0，得ρ2－2(1＋)ρ＋(3＋2)＝0， 解得ρ1＝1＋. 將θ＝代入ρ2－2ρcosθ－2(1＋)ρsinθ＋(3＋2)＝0， 得ρ2－2(1＋)ρ＋(3＋2)＝0， 解得ρ2＝1＋.故△OAB的面積為(1＋)2 sin＝1＋. 4．(2018鄭州模擬)在極坐標(biāo)系中，曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝－2cosθ，ρcos＝1. (1)求曲線C1和C2的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)； (2)過(guò)極點(diǎn)作動(dòng)直線與曲線C2相交于點(diǎn)Q，在OQ上取一點(diǎn)P，使|OP||OQ|＝2，求點(diǎn)P的軌跡，并指出軌跡是什么圖形． 解　(1)C1的直角坐標(biāo)方程為(x＋1)2＋y2＝1，它表示圓心為(－1，0)，半徑為1的圓，C2的直角坐標(biāo)方程為x－y－2＝0，所以曲線C2為直線，由于圓心到直線C2的距離為d＝>1，所以直線與圓相離，即曲線C1和C2沒(méi)有公共點(diǎn)． (2)設(shè)Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，則即① 因?yàn)辄c(diǎn)Q(ρ0，θ0)在曲線C2上， 所以ρ0cos＝1，② 將①代入②，得cos＝1， 即ρ＝2cos為點(diǎn)P的軌跡方程，化為直角坐標(biāo)方程為2＋2＝1，因此點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓．