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第二講 三角恒等變換與解三角形
年份
卷別
考查角度及命題位置
命題分析及學科素養(yǎng)
2018
Ⅰ卷
利用正、余弦定理解三角形T16
命題分析
三角變換及解三角形是高考考查的熱點，然而單獨考查三角變換的題目較少，題目往往以解三角形為背景，在應用正弦定理、余弦定理的同時，經(jīng)常應用三角變換進行化簡，綜合性比較強，但難度不大．
學科素養(yǎng)
三角變換及解三角形在學生能力考查中主要考查邏輯推理及數(shù)學運算兩大素養(yǎng)，通過三角恒等變換及正、余弦定理來求解相關問題.
Ⅱ卷
二倍角公式應用及余弦定理解三角形T7
Ⅲ卷
三角變換求值T14
解三角形T11
2017
Ⅰ卷
三角變換求值T15
正弦定理解三角形T11
Ⅲ卷
三角函數(shù)求值T4
正弦定理解三角形T15
2016
Ⅰ卷
利用余弦定理解三角形T4
Ⅱ卷
利用正弦定理解三角形T15
Ⅲ卷
三角恒等變換求值問題T6
解三角形T9
三角恒等變換
授課提示：對應學生用書第23頁
[悟通——方法結(jié)論]
三角函數(shù)恒等變換“四大策略”
(1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45等；
(2)項的分拆與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；
(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
[全練——快速解答]
1．(2018合肥模擬)sin 18sin 78－cos 162cos 78＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：sin 18sin 78－cos 162cos 78＝sin 18sin 78＋cos 18cos 78＝cos(78－18)＝cos 60＝，故選D.
答案：D
2．(2018高考全國卷Ⅲ)若sin α＝，則cos 2α＝( )
A． B．
C．－ D．－
解析：∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－22＝.
故選B.
答案：B
3．(2018沈陽模擬)已知tan θ＝2，則＋sin2θ的值為( )
A. B.
C. D.
解析：原式＝＋sin2θ＝＋＝＋，將tan θ＝2代入，得原式＝，故選C.
答案：C
4．(2017高考全國卷Ⅰ)已知α∈(0，)，tan α＝2，則cos(α－)＝________.
解析：∵α∈(0，)，tan α＝2，∴sin α＝，cos α＝，∴cos(α－)＝cos αcos ＋sin αsin ＝(＋)＝.
答案：
【類題通法】
三角函數(shù)式的化簡方法及基本思路
(1)化簡方法
弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪，“1”的代換，輔助角公式等．
(2)化簡基本思路
“一角二名三結(jié)構(gòu)”，即：
一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理地拆分，從而正確使用公式；
二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”，關于sin αcos α的齊次分式化切等；
三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”，“遇根式化被開方式為完全平方式”等．
解三角形的基本問題及應用
授課提示：對應學生用書第23頁
[悟通——方法結(jié)論]
正、余弦定理、三角形面積公式
(1)＝＝＝＝2R(R為△ABC外接圓的半徑)．
變形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
sin A＝，sin B＝，sin C＝；
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
推論：cos A＝，cos B＝，cos C＝.
變形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C.
(3)S△ABC＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
(1)(2017高考全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，則C＝( )
A. B.
C. D.
解析：因為sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，所以sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0，所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，整理得sin C(sin A＋cos A)＝0，因為sin C≠0，所以sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1，因為A∈(0，π)，所以A＝，由正弦定理得sin C＝＝＝，又0
1，AC＝AB＋，當△ABC的周長最短時，BC的長是________．
解析：設AC＝b，AB＝c，BC＝a，△ABC的周長為l，
由b＝c＋，得l＝a＋b＋c＝a＋2c＋.
又cos 60＝＝，即ab＝a2＋b2－c2，
得a＝a2＋2－c2，
即c＝.
l＝a＋2c＋＝a＋＋
＝＋
＝3＋
≥3＋，
當且僅當a－1＝時，△ABC的周長最短，
此時a＝1＋，即BC的長是1＋.
答案：1＋
解三角形的綜合問題
授課提示：對應學生用書第24頁
[悟通——方法結(jié)論]
三角形中的常用結(jié)論
(1)A＋B＝π－C，＝－.
(2)在三角形中大邊對大角，反之亦然．
(3)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．
(4)在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C(A，B，C≠)．
(2017高考全國卷Ⅱ)(12分)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
(1)；
(2)若，，求b.
[學審題]
條件信息
想到方法
注意什么
信息?：兩角和與半角的三角等式關系
三角形內(nèi)角和定理及倍角公式
(1)三角形中的三角恒等關系式化簡時，三角形內(nèi)角和定理及倍角公式的正確使用
(2)轉(zhuǎn)化與化歸思想、整體代入思想在解題過程中的應用
信息?：求cos B
化已知條件為cos B的關系式
信息?：a＋c＝6
尋找平方后與余弦定理中a2＋c2的關系式
信息?：三角形面積為2
利用面積公式來求ac的值
[規(guī)范解答] (1)由題設及A＋B＋C＝π得
sin B＝8sin2， (2分)
即sin B＝4(1－cos B)， (3分)
故17cos2B－32cos B＋15＝0， (4分)
解得cos B＝，cos B＝1(舍去)． (6分)
(2)由cos B＝，得sin B＝， (7分)
故S△ABC＝acsin B＝ac. (8分)
又S△ABC＝2，則ac＝. (9分)
由余弦定理及a＋c＝6得
b2＝a2＋c2－2accos B
＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B) (10分)
＝36－2
＝4. (11分)
所以b＝2. (12分)
【類題通法】
1．與三角形面積有關的問題的解題模型
2．學科素養(yǎng)：通過三角恒等變換與利用正、余弦定理著重考查邏輯推理與數(shù)學運算兩大素養(yǎng)．
[練通——即學即用]
(2018長郡中學模擬)在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且4sin Acos2A－cos(B＋C)＝sin 3A＋.
(1)求A的大??；
(2)若b＝2，求△ABC面積的取值范圍．
解析：(1)∵A＋B＋C＝π，∴cos(B＋C)＝－cos A?、伲?
∵3A＝2A＋A，∴sin 3A＝sin(2A＋A)＝sin 2Acos A＋cos 2Asin A?、?，
又sin 2A＝2sin Acos A?、?，
cos 2A＝2cos2A－1?、?，
將①②③④代入已知，得2sin 2Acos A＋cos A＝sin 2Acos A＋cos 2Asin A＋，
整理得sin A＋cos A＝，即sin＝，
又A∈，
∴A＋＝，即A＝.
(2)由(1)得B＋C＝，∴C＝－B，
∵△ABC為銳角三角形，
∴－B∈且B∈，
解得B∈，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴c＝＝＝＋1，
又B∈，∴∈，∴c∈(1,4)，
∵S△ABC＝bcsin A＝c，∴S△ABC∈.
授課提示：對應學生用書第115頁
一、選擇題
1．(2018合肥調(diào)研)已知x∈，且cos＝sin2x，則tan等于( )
A. B．－ C．3 D．－3
解析：由cos＝sin2x得sin 2x＝sin2x，
∵x∈(0，π)，∴tan x＝2，
∴tan＝＝.
答案：A
2．(2018成都模擬)已知sin α＝，α∈，則cos的值為( )
A. B.
C. D.
解析：∵sin α＝，α∈，∴cos α＝，
sin 2α＝2sin αcos α＝2＝＝，
cos 2α＝1－2sin2α＝1－22＝1－＝，
∴cos＝－＝.
答案：A
3．(2018昆明三中、五溪一中聯(lián)考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為S，且2S＝(a＋b)2－c2，則tan C等于( )
A． B．
C．－ D．－
解析：因為2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，
由面積公式與余弦定理，得absin C＝2abcos C＋2ab，
即sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4，
＝4，
所以＝4，
解得tan C＝－或tan C＝0(舍去)．
答案：C
4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若0，∴cos B<0，∠BDC＝，
所以∠BCA＝，所以cos∠BCA＝.
在△ABC中，
AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos∠BCA
＝2＋6－2＝2，
所以AB＝，所以∠ABC＝，
在△BCD中，＝，
即＝，解得CD＝.
答案：
三、解答題
13．(2018武漢調(diào)研)在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足cos 2A－cos 2B＋2coscos＝0.
(1)求角A的值；
(2)若b＝且b≤a，求a的取值范圍．
解析：(1)由cos 2A－cos 2B＋2coscos＝0，
得2sin2B－2sin2A＋2＝0，
化簡得sin A＝，又△ABC為銳角三角形，故A＝.
(2)∵b＝≤a，∴c≥a，∴≤C<，
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2019高考數(shù)學一本策略復習
專題二
三角函數(shù)、平面向量
第二講
三角恒等變換與解三角形教案
2019
高考
數(shù)學
策略
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