2018版高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 課時作業(yè)9 曲邊梯形的面積 汽車行駛的路程 新人教A版選修2-2.doc

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課時作業(yè)9　曲邊梯形的面積　汽車行駛的路程 |基礎鞏固|(25分鐘，60分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．在求直線x＝0，x＝2，y＝0與曲線y＝x2所圍成的曲邊三角形的面積時，把區(qū)間[0,2]等分成n個小區(qū)間，則第i個小區(qū)間是(　　) A. B. C. D. 解析：將區(qū)間[0,2]等分為n個小區(qū)間后，每個小區(qū)間的長度為，第i個小區(qū)間為. 答案：C 2．對于由直線x＝1，y＝0和曲線y＝x3所圍成的曲邊三角形，把區(qū)間3等分，則曲邊三角形面積的近似值(取每個區(qū)間的左端點)是(　　) A. B. C. D. 解析：將區(qū)間[0,1]三等分為，，，各小矩形的面積和為 s1＝03＋3＋3＝. 答案：A 3．求由直線x＝0，x＝2，y＝0與曲線y＝x2＋1所圍成的曲邊梯形的面積時，將區(qū)間[0,2]5等分，按照區(qū)間左端點和右端點估計梯形面積分別為(　　) A．3.92,5.52 B．4,5 C．2.51,3.92 D．5.25,3.59 解析：將區(qū)間[0,2]5等分為，，，，，以小區(qū)間左端點對應的函數(shù)值為高，得S1＝ ＝3.92， 以小區(qū)間右端點對應的函數(shù)值為高，得S2＝ ＝5.52.故選A. 答案：A 4．在求由曲線y＝與直線x＝1，x＝3，y＝0所圍成圖形的面積時，若將區(qū)間n等分，并且用每個區(qū)間的右端點的函數(shù)值近似代替，則第i個小曲邊梯形的面積ΔSi約等于(　　) A. B. C. D. 解析：每個小區(qū)間長度為，第i個小區(qū)間為，因此第i個小曲邊梯形的面積ΔSi≈＝. 答案：A 5．若做變速直線運動的物體v(t)＝t2，在0≤t≤a內(nèi)經(jīng)過的路程為9，則a的值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：將區(qū)間[0，a]n等分，記第i個區(qū)間為(i＝1,2，…，n)，此區(qū)間長為，用小矩形面積2近似代替相應的小曲邊梯形的面積，則2＝(12＋22＋…＋n2)＝(1＋)(1＋)近似地等于速度曲線v(t)＝t2與直線t＝0，t＝a，t軸圍成的曲邊梯形的面積． 依題意得li ＝9， ∴＝9，解得a＝3. 答案：C 二、填空題(每小題5分，共15分) 6．在區(qū)間[0,8]上插入9個等分點后，則所分的小區(qū)間長度為________，第5個小區(qū)間是________． 解析：在區(qū)間[0,8]上插入9個等分點后，把區(qū)間[0,8]10等分，每個小區(qū)間的長度為＝，第5個小區(qū)間為. 答案：　 7．當n很大時，可以代替函數(shù)f(x)＝x2在區(qū)間[，]上的值有________． ①f()；②f()；③f()；④f(－)． 解析：因為當n很大時，區(qū)間[，]上的任意的取值的函數(shù)值都可以代替，又因為?[，]，∈[，]，∈[，]，－∈[，]，故能代替的有②③④. 答案：②③④ 8．直線x＝1，x＝2，y＝0與曲線y＝(x>0)圍成曲邊梯形，將區(qū)間[1,2]進行100等分后第一個小區(qū)間上曲邊梯形的面積是________． 解析：將曲邊梯形近似地看成矩形，其邊長分別為f(1)＝1，，故面積＝1＝0.01. 答案：0.01 三、解答題(每小題10分，共20分) 9．利用定積分的定義求由y＝3x，x＝0，x＝1，y＝0圍成的圖形的面積． 解析：(1)分割：把區(qū)間[0,1]等分成n個小區(qū)間[，](i＝1,2，…，n)，其長度為Δx＝.分別過上述n－1個分點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，其面積記為Δsi(i＝1,2，…，n)． (2)近似代替：用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積，得 Δsi＝f()Δx＝3＝(i－1)(i＝1,2，…，n)． (3)作和： si＝(i－1)＝[1＋2＋…＋(n－1)] ＝. (4)求極限：S＝li(i－1)＝li ＝. 10．汽車以速度v做勻速直線運動時，經(jīng)過時間t所行駛的路程s＝vt.如果汽車做變速直線運動．在時刻t的速度為v(t)＝－t2＋2(單位：km/h)，那么它在0≤t≤1(單位：h)這段時間內(nèi)行駛的路程s(單位：km)是多少？ 解析：①分割：將時間區(qū)間[0,1]分為n等份，形成n個小區(qū)間[ti－1，ti]＝(i＝1,2，…，n)，且每個小區(qū)間長度為Δti＝(i＝1,2，…，n)．汽車在每個時間段上行駛的路程分別記作：Δs1，Δs2，…，Δsn. 則顯然有s＝si. ②近似代替：當n很大，即Δt很小時，在區(qū)間上，函數(shù)v(t)＝－t2＋2的值變化很小，近似地等于一個常數(shù)，不妨認為它近似地等于左端點處的函數(shù)值v＝－2＋2.從物理意義看，就是汽車在時間段(i＝1,2，…，n)上的速度變化很小，不妨認為它近似地以時刻處的速度v＝－2＋2做勻速行駛，即在局部小范圍內(nèi)“以勻速代變速”．于是 Δsi≈Δs′i＝vΔt＝ ＝－2＋(i＝1,2，…，n)．(*) ③求和：由(*)得sn＝s′i＝Δt ＝ ＝－0－2－…－2＋2 ＝－[12＋22＋…＋(n－1)2]＋2 ＝－＋2 ＝－＋2. ④取極限：當n趨向于無窮大，即Δt趨向于0時， sn＝－＋2趨向于s，從而有 s＝lisn＝liv ＝li ＝. |能力提升|(20分鐘，40分) 11．在等分區(qū)間的情況下，f(x)＝(x∈[0,2])及x軸所圍成的曲邊梯形的面積和式的極限形式正確的是(　　) A．li B．li C．li D．li 解析：將區(qū)間n等分后，每個小區(qū)間的長度為Δx＝，第i個小區(qū)間為(i＝1,2,3，…，n)，則由求曲邊梯形的面積的步驟可得曲邊梯形的面積和式的極限形式為li. 答案：B 12．求由拋物線f(x)＝x2，直線x＝1以及x軸所圍成的平面圖形的面積時，若將區(qū)間[0,1]5等分，如圖所示，以小區(qū)間中點的縱坐標為高，所有小矩形的面積之和為________． 解析：由題意得 S＋(0.12＋0.32＋0.52＋0.72＋0.92)0.2＝0.33. 答案：0.33 13．求直線x＝0，x＝2，y＝0與曲線y＝所圍成的曲邊梯形的面積． 解析：令f(x)＝. (1)分割 將區(qū)間[0,2]n等分，分點依次為 x0＝0，x1＝，x2＝，…，xn－1＝，xn＝2. 第i個區(qū)間為(i＝1,2，…，n)，每個區(qū)間長度為Δx＝－＝. (2)近似代替、求和 取ξi＝(i＝1,2，…，n)， Sn＝Δx＝2＝2 ＝(12＋22＋…＋n2)＝ ＝. (3)取極限S＝liSn＝li ＝，即所求曲邊梯形的面積為. 14．一輛汽車做變速直線運動，設汽車在時刻t的速度v(t)＝(t的單位：h，v的單位：km/h)，求汽車在t＝1到t＝2這段時間內(nèi)運動的路程S(單位：km)． 解析：①分割． 把區(qū)間[1,2]等分成n個小區(qū)間 (i＝1,2，…，n)，每個區(qū)間的長度Δt＝，每個時間段行駛的路程記為ΔSi(i＝1,2，…，n)． 故路程和Sn＝Si. ②近似代替． ΔSi≈vΔt＝62 ＝＝ ≈(i＝1,2,3，…，n)． ③求和． Sn＝ ＝6n ＝6n. ④取極限． S＝liSn＝li6n＝3.