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5.6 正弦定理和余弦定理
最新考綱
考情考向分析
掌握正弦定理、余弦定理及其應用.
以利用正弦、余弦定理解三角形為主，常與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角恒等變換、三角形中的幾何計算交匯考查，加強數(shù)形結(jié)合思想的應用意識．題型多樣，中檔難度.
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
定理
正弦定理
余弦定理
內(nèi)容
(1)＝＝＝2R
(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；
b2＝c2＋a2－2cacosB；
c2＝a2＋b2－2abcosC
變形
(3)a＝2RsinA，
b＝2RsinB，c＝2RsinC；
(4)sinA＝，sinB＝，sinC＝；
(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；
(6)asinB＝bsinA，
bsinC＝csinB，
asinC＝csinA
(7)cosA＝；
cosB＝；
cosC＝
2.在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況
A為銳角
A為鈍角或直角
圖形
關(guān)系式
a＝bsinA
bsinA
b
解的
個數(shù)
一解
兩解
一解
一解
3.三角形常用面積公式
(1)S＝aha(ha表示邊a上的高)；
(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)．
概念方法微思考
1．在△ABC中，∠A>∠B是否可推出sinA>sinB?
提示 在△ABC中，由∠A>∠B可推出sinA>sinB.
2．如圖，在△ABC中，有如下結(jié)論：bcosC＋ccosB＝a.試類比寫出另外兩個式子．
提示 acosB＋bcosA＝c；
acosC＋ccosA＝b.
題組一 思考辨析
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”)
(1)三角形中三邊之比等于相應的三個內(nèi)角之比．( )
(2)當b2＋c2－a2>0時，三角形ABC為銳角三角形．( )
(3)在△ABC中，＝.( √ )
(4)在三角形中，已知兩邊和一角就能求三角形的面積．( √ )
題組二 教材改編
2．[P10B組T2]在△ABC中，acosA＝bcosB，則這個三角形的形狀為．
答案 等腰三角形或直角三角形
解析 由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，
即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以這個三角形為等腰三角形或直角三角形．
3．[P18T1]在△ABC中，A＝60，AC＝4，BC＝2，則△ABC的面積為．
答案 2
解析 ∵＝，
∴sinB＝1，∴B＝90，
∴AB＝2，∴S△ABC＝22＝2.
題組三 易錯自糾
4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若c0，∴cosB<0，∴B為鈍角，
故△ABC為鈍角三角形．
5．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60，則此三角形的解的情況是( )
A．有一解 B．有兩解
C．無解 D．有解但解的個數(shù)不確定
答案 C
解析 由正弦定理得＝，
∴sinB＝＝＝>1.
∴角B不存在，即滿足條件的三角形不存在．
6．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，則C＝.
答案
解析 由3sinA＝5sinB及正弦定理，得3a＝5b.又因為b＋c＝2a，
所以a＝b，c＝b，
所以cosC＝
＝＝－.
因為C∈(0，π)，所以C＝.
題型一 利用正、余弦定理解三角形
例1(2018天津)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsinA＝acos.
(1)求角B的大?。?
(2)設(shè)a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
解 (1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得
bsinA＝asinB.
又由bsinA＝acos，得asinB＝acos，
即sinB＝cos，所以tanB＝.
又因為B∈(0，π)，所以B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝.
由bsinA＝acos，可得sinA＝.
因為a0，所以a2＋b2＝c2或a＝b，故選D.
引申探究
1．本例(2)中，若將條件變?yōu)閍2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，判斷△ABC的形狀．
解 ∵a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝＝，
又00)．又BD＝，∠DAB＝，
所以由余弦定理，得()2＝(3k)2＋(2k)2－23k2kcos，解得k＝1，所以AD＝2，AB＝3，
sin∠ABD＝＝＝.
(2)因為AB⊥BC，所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝，
所以sin∠DBC＝，所以＝，
所以CD＝＝.
命題點3 解三角形的實際應用
例5(1)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時氣球的高AD是60m，則河流的寬度BC等于( )
A．240(－1)m B．180(－1)m
C．120(－1)m D．30(＋1)m
答案 C
解析 如圖，在Rt△ACD中，∠CAD＝90－30＝60，AD＝60m，所以CD＝ADtan60＝60(m)．
在Rt△ABD中，∠BAD＝90－75＝15，
所以BD＝ADtan15＝60(2－)(m)．
所以BC＝CD－BD＝60－60(2－)
＝120(－1)(m)．
(2)如圖，小明同學在山頂A處觀測到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在A處測得公路上B，C兩點的俯角分別為30，45，且∠BAC＝135，若山高AD＝100m，汽車從B點到C點歷時14s，則這輛汽車的速度約為m/s.(精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈2.236)
答案 22.6
解析 因為小明在A處測得公路上B，C兩點的俯角分別為30，45，所以∠BAD＝60，∠CAD＝45，設(shè)這輛汽車的速度為vm/s，則BC＝14v，在Rt△ADB中，AB＝＝＝200.在Rt△ADC中，AC＝＝＝100.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2ACABcos∠BAC，所以(14v)2＝(100)2＋2002－2100200cos135，所以v＝≈22.6，所以這輛汽車的速度約為22.6m/s.
思維升華 (1)判斷三角形形狀的方法
①化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關(guān)系．
②化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，此時要注意應用A＋B＋C＝π這個結(jié)論．
(2)求解幾何計算問題要注意：
①根據(jù)已知的邊角畫出圖形并在圖中標示；
②選擇在某個三角形中運用正弦定理或余弦定理．
(3)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯．
(4)三角函數(shù)模型的應用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學問題；二是把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題．
跟蹤訓練3 (1)在△ABC中，cos2＝(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則△ABC的形狀為( )
A．等邊三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
答案 B
解析 ∵cos2＝，cos2＝，
∴(1＋cosB)c＝a＋c，∴a＝cosBc＝，
∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，
∴△ABC為直角三角形．
(2)在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75，BC＝2，則AB的取值范圍是．
答案 (－，＋)
解析 如圖所示，延長BA與CD相交于點E，過點C作CF∥AD交AB于點F，則BF0)，如果三角形有解，則角A的取值范圍是( )
A．00，且當AB與圓C相切時，角A取得最大值，此時AB⊥BC，則sinA＝＝＝，又因為a
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浙江專用2020版高考數(shù)學新增分大一輪復習
第五章
三角函數(shù)、解三角形
5.6
正弦定理和余弦定理講義含解析
浙江
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2020
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數(shù)學
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第五
三角函數(shù)
三角形
正弦
定理
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