2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 3.3 排序不等式導(dǎo)學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx

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3.3 　排序不等式 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1．了解排序不等式的數(shù)學(xué)思想和背景． 2．理解排序不等式的結(jié)構(gòu)與基本原理，會用排序不等式解決簡單的不等式問題． 一、自學(xué)釋疑 根據(jù)線上提交的自學(xué)檢測，生生、師生交流討論，糾正共性問題。 二、合作探究 思考探究　 使用排序不等式的關(guān)鍵是什么？ 名師點(diǎn)撥： 1．排序原理的本質(zhì)含義 兩組實(shí)數(shù)序列同方向單調(diào)(同時(shí)增或同時(shí)減)時(shí)所得兩兩乘積之和最大，反方向單調(diào)(一增一減)時(shí)所得兩兩乘積之和最?。忍柍闪⒌臈l件是其中至少有一組序列為常數(shù)序列． 2．排序原理的思想 在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)常常涉及到一些可以比較大小的量，它們之間并沒有預(yù)先規(guī)定大小順序，那么在解答問題時(shí)，不妨可以把它們按一定順序排列起來利用排序原理，往往有助于解決問題． 3．排序原理的推論 對于實(shí)數(shù)a1，a2，…，an，設(shè)ai1，ai2，…，ain為其任一個排列，則有a1ai1＋a2ai2＋…＋anain≤a＋a＋…＋a. 4．利用排序不等式求最值的方法 利用排序不等式求最值時(shí)，先要對待證不等式及已知條件仔細(xì)分析，觀察不等式的結(jié)構(gòu)，明確兩個數(shù)組的大小順序，分清順序和、亂序和反序和，由于亂序和是不確定的，根據(jù)需要寫出其中的一個即可．一般最值是順序和或反序和． 5．排序不等式證明不等式的策略 (1)利用排序不等式證明不等式時(shí)，若已知條件中已給出兩組量的大小關(guān)系，則需要分析清楚順序和、亂序和及反序和．利用排序不等式證明即可． (2)若在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)，涉及一些可以比較大小的量，它們之間并沒有預(yù)先規(guī)定大小順序．那么在解答問題時(shí)，我們可以利用排序原理將它們按一定順序排列起來，繼而用不等式關(guān)系來解題. 【例1】　某班學(xué)生要開聯(lián)歡會，需要買價(jià)格不同的禮品4件，5件及2件，現(xiàn)在選擇商品中單價(jià)為3元，2元和1元的禮品，問至少要花多少錢？最多要花多少錢？ 【變式訓(xùn)練1】　設(shè)a1，a2，a3為正數(shù)，且a1＋a2＋a3＝1，求＋＋的最小值． 【例2】　已知a，b，c∈R＋，求證：＋＋≥a10＋b10＋c10. 【變式訓(xùn)練2】　已知a，b，c都是正數(shù)，求證：＋＋≤.　 【例3】　設(shè)x>0，求證：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn. 【變式訓(xùn)練3】　已知a，b，c為正數(shù)，用排序不等式證明：2(a3＋b3＋c3)≥a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．  參考答案 二、合作探究 探究1：兩組實(shí)數(shù)序列同方向單調(diào)(同時(shí)增或同時(shí)減)時(shí)所得兩兩乘積之和最大，反方向單調(diào)(一增一減)時(shí)所得兩兩乘積之和最?。忍柍闪⒌臈l件是其中至少有一組序列為常數(shù)序列． 探究2：在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)常常涉及到一些可以比較大小的量，它們之間并沒有預(yù)先規(guī)定大小順序，那么在解答問題時(shí)，不妨可以把它們按一定順序排列起來利用排序原理，往往有助于解決問題． 探究3：對于實(shí)數(shù)a1，a2，…，an，設(shè)ai1，ai2，…，ain為其任一個排列，則有a1ai1＋a2ai2＋…＋anain≤a＋a＋…＋a. 探究4：利用排序不等式求最值時(shí)，先要對待證不等式及已知條件仔細(xì)分析，觀察不等式的結(jié)構(gòu)，明確兩個數(shù)組的大小順序，分清順序和、亂序和反序和，由于亂序和是不確定的，根據(jù)需要寫出其中的一個即可．一般最值是順序和或反序和． 探究5：(1)利用排序不等式證明不等式時(shí)，若已知條件中已給出兩組量的大小關(guān)系，則需要分析清楚順序和、亂序和及反序和．利用排序不等式證明即可． (2)若在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)，涉及一些可以比較大小的量，它們之間并沒有預(yù)先規(guī)定大小順序．那么在解答問題時(shí)，我們可以利用排序原理將它們按一定順序排列起來，繼而用不等式關(guān)系來解題. 【例1】【解】　由題意可知，(a1，a2，a3)＝(2,4,5)，(b1，b2，b3)＝(1,2,3)，則花錢最少為：15＋24＋32＝19(元)； 花錢最多為：12＋24＋35＝25(元)． 【變式訓(xùn)練1】解　不妨設(shè)a3>a1>a2>0，則<<， 所以a1a20，則≥≥>0，且a12≥b12≥c12>0. ∴＋＋≥＋＋＝＋＋≥＋＋＝a10＋b10＋c10. 【變式訓(xùn)練2】證明　由于a，b，c的對稱性，不妨設(shè)a≥b≥c>0，則≥≥. 因而≥≥. 又a5≥b5≥c5， 由排序不等式，得 ＋＋≥＋＋＝＋＋. 又由不等式性質(zhì)，知a2≥b2≥c2，≥≥. 根據(jù)排序不等式，得 ＋＋≥＋＋＝＋＋. 由不等式的傳遞性知 ＋＋≤＋＋＝. 【例3】【分析】　題中只給出了x>0，但是對于x≥1，x<1并不確定，因此，需要分類討論． 【證明】　(1)當(dāng)x≥1時(shí)， 1≤x≤x2≤…≤xn， 由排序原理知， 11＋xx＋x2x2＋…＋xnxn≥xn1＋xn－1x＋…＋1xn， ∴1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.① 又∵x，x2，…，xn,1為1，x，x2，…，xn的一個排序，于是由排序原理得1x＋xx2＋…＋xn－1xn＋1xn≥1xn＋xxn－1＋…＋xn－1x＋xn1， ∴x＋x3＋…＋x2n－1≥nxn.② ①＋②，得 1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn. (2)當(dāng)0x>x2>…>xn，同理可得． 綜合(1)與(2)，所以當(dāng)x>0時(shí)， 1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn. 【變式訓(xùn)練3】證明　取兩組數(shù)a，b，c；a2，b2，c2.不管a，b，c的大小如何，a3＋b3＋c3都是順序和，而a2b＋b2c＋c2a，及a2c＋b2a＋c2b都是亂序和．因此， a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a， a3＋b3＋c3≥a2c＋b2a＋c2b. ∴2(a3＋b3＋c3)≥a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)．