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課時作業(yè)47 橢圓
[基礎達標]
一、選擇題
1.若直線x-2y+2=0經(jīng)過橢圓的一個焦點和一個頂點,則該橢圓的標準方程為( )
A.+y2=1
B.+=1
C.+y2=1或+=1
D.以上答案都不對
解析:直線與坐標軸的交點為(0,1),(-2,0),
由題意知當焦點在x軸上時,c=2,b=1,
∴a2=5,所求橢圓的標準方程為+y2=1.
當焦點在y軸上時,
b=2,c=1,
∴a2=5,所求橢圓的標準方程為+=1.
答案:C
2.[2019武漢高中調(diào)研]曲線C1:+=1與曲線C2:+=1(0
9-k>0,所以曲線C2是焦點在x軸上的橢圓,記其長半軸長為a2,短半軸長為b2,半焦距為c2,則c=a-b=25-k-(9-k)=16.曲線C1也是焦點在x軸上的橢圓,記其長半軸長為a1,短半軸長為b1,半焦距為c1,則c=a-b=25-9=16,所以曲線C1和曲線C2的焦距相等,故選D.
答案:D
3.[2019湖北中學聯(lián)考]已知橢圓+=1的左、右焦點分別為F1、F2,過F2且垂直于長軸的直線交橢圓于A,B兩點,則△ABF1內(nèi)切圓的半徑為( )
A. B.1
C. D.
解析:不妨設A點在B點上方,由題意知:F2(1,0),將F2的橫坐標代入橢圓方程+=1中,可得A點縱坐標為,故|AB|=3,所以內(nèi)切圓半徑r===(其中S為△ABF1的面積,C為△ABF1的周長).故選D.
一題多解 由橢圓的通徑公式得|AB|==3,則S△ABF1=23=3,又易得△ABF1的周長C=4a=8,則由S△ABF1=Cr可得r=.故選D.
答案:D
4.[2019石家莊質(zhì)量檢測]傾斜角為的直線經(jīng)過橢圓+=1(a>b>0)的右焦點F,與橢圓交于A、B兩點,且=2,則該橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析:由題可知,直線的方程為y=x-c,與橢圓方程聯(lián)立得,∴(b2+a2)y2+2b2cy-b4=0,由于直線過橢圓的右焦點,故必與橢圓有交點,
則Δ>0.設A(x1,y1),B(x2,y2),
則,
又=2,∴(c-x1,-y1)=2(x2-c,y2),
∴-y1=2y2,可得,∴=,∴e=,故選B.
答案:B
5.[2019陜西西安八校聯(lián)考]某幾何體是直三棱柱與圓錐的組合體,其直觀圖和三視圖如圖所示,正視圖為正方形,其中俯視圖中橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析:依題意得,題中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形,設其直角邊長為a,則斜邊長為a,圓錐的底面半徑為a、母線長為a,因此其俯視圖中橢圓的長軸長為a、短軸長為a,其離心率e==,選C.
答案:C
二、填空題
6.橢圓+=1(a>b>0)的左焦點為F,右頂點為A,以FA為直徑的圓經(jīng)過橢圓的上頂點B,則橢圓的離心率為________.
解析:以FA為直徑的圓經(jīng)過橢圓的上頂點B,則⊥,
所以=0,=(c,b),=(-a,b),
所以=b2-ac=0,即a2-c2-ac=0.
兩邊同除以a2,
得e2+e-1=0,所以e=.
答案:
7.已知橢圓C的中心在原點,一個焦點F(-2,0),且長軸長與短軸長的比是2,則橢圓C的方程是____________.
解析:設橢圓C的方程為+=1(a>b>0).
由題意知解得a2=16,b2=12.
所以橢圓C的方程為+=1.
答案:+=1
8.[2019山西月考]設F1、F2為橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點,經(jīng)過F1的直線交橢圓C于A,B兩點,若△F2AB是面積為4的等邊三角形,則橢圓C的方程為______________.
解析:∵△F2AB是面積為4的等邊三角形,
∴AB⊥x軸,∴A,B兩點的橫坐標為-c,代入橢圓方程,可求得|F1A|=|F1B|=.
又|F1F2|=2c,∠F1F2A=30,
∴=2c?、?
又S△F2AB=2c=4?、?,a2=b2+c2?、郏?
由①②③解得a2=9,b2=6,c2=3,
∴橢圓C的方程為+=1.
答案:+=1
三、解答題
9.[2019貴州適應性考試]設F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:+=1(a>b>0)的右、右焦點,E的離心率為,點(0,1)是E上一點.
(1)求橢圓E的方程;
(2)過點F1的直線交橢圓E于A,B兩點,且=2,求直線BF2的方程.
解析:(1)由題意知,b=1,且e2===,
解得a2=2,所以橢圓E的方程為+y2=1.
(2)由題意知,直線AB的斜率存在且不為0,
故可設直線AB的方程為x=my-1,設A(x1,y1),B(x2,y2).
由得(m2+2)y2-2my-1=0,
則y1+y2=,①
y1y2=-,②
因為F1(-1,0),
所以=(-1-x2,-y2),=(x1+1,y1),
由=2可得,-y2=2y1,③
由①②③可得B,
則kBF2=或-,
所以直線BF2的方程為
y=x-或y=-x+.
10.[2019廣東深圳模擬]已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,其右頂點與上頂點的距離為,過點P(0,2)的直線l與橢圓相交于A、B兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設M是AB中點,且點Q的坐標為,當QM⊥AB時,求直線l的方程.
解析:(1)由題意可知a2+b2=5,又e==,a2=b2+c2,
所以a=,b=,所以橢圓C的方程為+=1.
(2)①若直線l的斜率不存在,此時M為原點,滿足QM⊥AB,所以,方程為x=0.
②若直線l的斜率存在,設其方程為y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
將直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得
即(2+3k2)x2+12kx+6=0,
x1+x2=,
由題意可知Δ=72k2-48>0,即k>或k<-.
設M(x0,y0),則x0=,y0=k+2=,
由QM⊥AB可知k=-1,化簡得3k2+5k+2=0,解得k=-1或k=-(舍),
此時,直線l的方程為x+y-2=0.
綜上所述,直線l的方程為x=0或x+y-2=0.
[能力挑戰(zhàn)]
11.[2019太原模擬]已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點分別是A,B,左、右焦點分別是F1,F(xiàn)2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列,則橢圓C的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析:∵|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列,
∴|F1F2|2=|AF1||F1B|,
即4c2=(a-c)(a+c),即4c2=a2-c2,即5c2=a2,即a=c,
∴橢圓C的離心率e==,故選A.
答案:A
12.[2019湖南長沙模擬]橢圓x2+=1(0,所以b>0)的左、右焦點F1,F(xiàn)2,與橢圓在第一象限的交點為A,且F1,E,A三點共線,則該橢圓的方程為________.
解析:對于x2+2=,當y=0時,x=,
∴F1(-,0),F(xiàn)2(,0),∵E的坐標為,∴直線EF1的方程為=,即y=x+,由
得點A的坐標為(,1),
則2a=|AF1|+|AF2|=4,∴a=2,∴b2=2,
∴該橢圓的方程為+=1.
答案:+=1
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