（通用版）2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.3 函數(shù)的奇偶性與周期性講義 理.doc

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第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性 1．函數(shù)的奇偶性 奇偶性 定義 圖象特點 偶函數(shù) 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù) 關(guān)于y軸對稱 奇函數(shù) 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù) 關(guān)于原點對稱 口訣記憶 奇偶性有特征，定義域要對稱； 奇函數(shù)，有中心，偶函數(shù)，有對稱. 2.函數(shù)的周期性 (1)周期函數(shù) 對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期． (2)最小正周期 如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期． 并不是所有周期函數(shù)都有最小正周期，如f(x)＝5. [熟記常用結(jié)論] 1．奇偶性的5個重要結(jié)論 (1)如果一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)． (3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關(guān)于原點對稱的非空數(shù)集． (4)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性． (5)偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時的自變量也互為相反數(shù)． 2．周期性的4個常用結(jié)論 設(shè)函數(shù)y＝f(x)，x∈R，a>0. (1)若f(x＋a)＝f(x－a)，則函數(shù)的周期為2a； (2)若f(x＋a)＝－f(x)，則函數(shù)的周期為2a； (3)若f(x＋a)＝，則函數(shù)的周期為2a； (4)若f(x＋a)＝－，則函數(shù)的周期為2a. 3．對稱性的3個常用結(jié)論 (1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，即f(a－x)＝f(a＋x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱； (2)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱； (3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(b,0)中心對稱． [小題查驗基礎(chǔ)] 一、判斷題(對的打“√”，錯的打“”) (1)函數(shù)y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函數(shù)．(　　) (2)偶函數(shù)圖象不一定過原點，奇函數(shù)的圖象一定過原點．(　　) (3)如果函數(shù)f(x)，g(x)為定義域相同的偶函數(shù)，則F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函數(shù)．(　　) (4)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對稱．(　　) (5)若T是函數(shù)的一個周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數(shù)的周期．(　　) 答案：(1)　(2)　(3)√　(4)√　(5)√ 二、選填題 1．下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是(　　) A．y＝x2sin x　　　　　　 B．y＝x2cos x C．y＝|ln x| D．y＝2－x 解析：選B　A中函數(shù)為奇函數(shù)，B中函數(shù)為偶函數(shù)，C與D中函數(shù)均為非奇非偶函數(shù)，故選B. 2．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(　　) A．y＝ B．y＝ex C．y＝|x| D．y＝ex－e－x 解析：選D　A、B選項中的函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；C選項中的函數(shù)為偶函數(shù)；D選項中的函數(shù)為奇函數(shù)，故選D. 3．若y＝f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，則下列坐標(biāo)表示的點一定在y＝f(x)圖象上的是(　　) A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a)) C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a)) 解析：選B　因為(a，f(a))是函數(shù)y＝f(x)圖象上的點，且y＝f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，所以點(－a，f(－a))，即(－a，－f(a))一定在y＝f(x)的圖象上． 4．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是________． 解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，∴a－1＋2a＝0，∴a＝. 又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝. 答案： 5．設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[－1,1)時，f(x)＝則f＝________. 解析：∵f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)， ∴f＝f＝f＝－42＋2＝－1＋2＝1. 答案：1 考點一 [基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)] 函數(shù)奇偶性的判定 [題組練透] 判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)＝(x＋1) ； (2)f(x)＝ (3)f(x)＝； (4)f(x)＝loga(x＋)(a>0且a≠1)． 解：(1)因為f(x)有意義，則滿足≥0， 所以－1＜x≤1， 所以f(x)的定義域不關(guān)于原點對稱， 所以f(x)為非奇非偶函數(shù)． (2)法一：定義法 當(dāng)x>0時，f(x)＝－x2＋2x＋1， －x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)； 當(dāng)x＜0時，f(x)＝x2＋2x－1， －x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)． 所以f(x)為奇函數(shù)． 法二：圖象法 作出函數(shù)f(x)的圖象，由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱的特征知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)． (3)因為所以－2≤x≤2且x≠0， 所以定義域關(guān)于原點對稱． 又f(－x)＝＝， 所以f(－x)＝f(x)．故函數(shù)f(x)為偶函數(shù)． (4)函數(shù)的定義域為R， 因為f(－x)＋f(x) ＝loga[－x＋]＋loga(x＋) ＝loga(－x)＋loga(＋x) ＝loga[(－x)(＋x)] ＝loga(x2＋1－x2)＝loga1＝0. 即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)． [名師微點] 判斷函數(shù)奇偶性的3種常用方法 (1)定義法： 確定函數(shù)的奇偶性時，必須先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱．若對稱，再化簡解析式后驗證f(－x)＝f(x)或其等價形式f(－x)f(x)＝0是否成立． (2)圖象法： (3)性質(zhì)法： 設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶偶＝偶，奇偶＝奇． [提醒]　分段函數(shù)奇偶性的判斷，要分別從x>0或x＜0來尋找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有當(dāng)對稱的兩個區(qū)間上滿足相同關(guān)系時，分段函數(shù)才具有確定的奇偶性． 考點二 [師生共研過關(guān)] 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 [典例精析] (1)(2019廣州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝＋a為奇函數(shù)，則實數(shù)a＝________. (2)函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，且x>0時，f(x)＝x＋1，則當(dāng)x＜0時，f(x)＝________. (3)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且g(x)＝f(x－1)，則f(2 017)＋f(2 019)的值為________． [解析]　(1)易知f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，即＋a＝－－a，所以2a＝－－＝－－＝－1，所以a＝－. (2)∵f(x)為奇函數(shù)，x>0時，f(x)＝x＋1， ∴當(dāng)x＜0時，－x>0， f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1， 即x＜0時，f(x)＝x－1. (3)由題意得，g(－x)＝f(－x－1)， ∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)， ∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x－1)＝－f(x＋1)， 即f(x－1)＋f(x＋1)＝0. ∴f(2 017)＋f(2 019)＝f(2 018－1)＋f(2 018＋1)＝0. [答案]　(1)－　(2)x－1　(3)0 [解題技法] 與函數(shù)奇偶性有關(guān)的問題及解題策略 (1)求函數(shù)的值：利用奇偶性將待求值轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解． (2)求函數(shù)解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式． (3)求解析式中的參數(shù)值：在定義域關(guān)于原點對稱的前提下，利用f(x)為奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)，f(x)為偶函數(shù)?f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．對于在x＝0處有定義的奇函數(shù)f(x)，可考慮列等式f(0)＝0求解． [過關(guān)訓(xùn)練] 1．設(shè)f(x)－x2＝g(x)，x∈R，若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則g(x)的解析式可以為(　　) A．g(x)＝x3　　　　　　 B．g(x)＝cos x C．g(x)＝1＋x D．g(x)＝xex 解析：選B　因為f(x)＝x2＋g(x)，且函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以有(－x)2＋g(－x)＝x2＋g(x)，即g(－x)＝g(x)，所以g(x)為偶函數(shù)，由選項可知，只有選項B中的函數(shù)為偶函數(shù)，故選B. 2．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(x)是奇函數(shù)，則g(3)的值是(　　) A．1 B．3 C．－3 D．－1 解析：選C　∵函數(shù)f(x)＝f(x)是奇函數(shù)，∴f(－3)＝－f(3)，∴l(xiāng)og2(1＋3)＝－(g(3)＋1)，則g(3)＝－3.故選C. 3．若關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝(t≠0)的最大值為a，最小值為b，且a＋b＝2，則t＝________. 解析：f(x)＝＝t＋， 設(shè)g(x)＝，則g(x)為奇函數(shù)，g(x)max＝a－t，g(x)min＝b－t.∵g(x)max＋g(x)min＝0，∴a＋b－2t＝0，即2－2t＝0，解得t＝1. 答案：1 考點三 [師生共研過關(guān)] 函數(shù)的周期性 [典例精析] (1)已知函數(shù)f(x)＝如果對任意的n∈N*，定義fn(x)＝，那么f2 019(2)的值為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0,2)時，f(x)＝2x－x2，則f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝________. [解析]　(1)∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2， ∴fn(2)的值具有周期性，且周期為3， ∴f2 019(2)＝f3673(2)＝f3(2)＝2，故選C. (2)∵f(x＋2)＝f(x)， ∴函數(shù)f(x)的周期T＝2， ∵當(dāng)x∈[0,2)時，f(x)＝2x－x2， ∴f(0)＝0，f(1)＝1， ∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 018)＝0， f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 019)＝1. 故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝1 010. [答案]　(1)C　(2)1 010 [解題技法] 函數(shù)周期性有關(guān)問題的求解策略 (1)求解與函數(shù)的周期性有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期． (2)周期函數(shù)的圖象具有周期性，如果發(fā)現(xiàn)一個函數(shù)的圖象具有兩個對稱性(注意：對稱中心在平行于x軸的直線上，對稱軸平行于y軸)，那么這個函數(shù)一定具有周期性． [過關(guān)訓(xùn)練] 1．[口訣第2句]已知函數(shù)f(x)的定義域為R，當(dāng)x＜0時，f(x)＝x3－1；當(dāng)－1≤x≤1時，f(－x)＝－f(x)；當(dāng)x>時，f＝f，則f(6)等于(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 解析：選D　當(dāng)x>時，f＝f，即周期為1，則f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2. 2．[口訣第3、4句]已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x＜2時，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點的個數(shù)為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：選B　當(dāng)0≤x＜2時，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)分別為x1＝0，x2＝1. 當(dāng)2≤x＜4時，0≤x－2＜2，又f(x)的最小正周期為2，所以f(x－2)＝f(x)， 所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)， 所以當(dāng)2≤x＜4時，y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)分別為x3＝2，x4＝3. 同理可得，當(dāng)4≤x＜6時，y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)分別為x5＝4，x6＝5. 當(dāng)x7＝6時，也符合要求． 綜上可知，共有7個交點． 3．[口訣第5、6句]已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，且當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝log2(x＋1)，則下列不等式正確的是(　　) A．f(log27)＜f(－5)＜f(6) B．f(log27)＜f(6)＜f(－5) C．f(－5)＜f(log27)＜f(6) D．f(－5)＜f(6)＜f(log27) 解析：選C　因為奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以f(1＋x)＝f(1－x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以f(－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(6)＝f(2)＝f(0)＝0.于是，結(jié)合題意可畫出函數(shù)f(x)在[－2,4]上的大致圖象，如圖所示．又2＜log27＜3，所以結(jié)合圖象可知－1＜f(log27)＜0，故f(－5)＜f(log27)＜f(6)，故選C. 考點四 [全析考法過關(guān)] 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 [考法全析] 考法(一)　單調(diào)性與奇偶性綜合 [例1]　(2018石家莊質(zhì)檢)已知f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(x)單調(diào)遞增，f(1)＝0，若f(x－1)>0，則x的取值范圍為(　　) A．{x|0＜x＜1或x>2}　 B．{x|x＜0或x>2} C．{x|x＜0或x>3} D．{x|x＜－1或x>1} [解析]　因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(－1)＝－f(1)＝0，又函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以可作出函數(shù)f(x)的示意圖，如圖，則不等式f(x－1)>0可轉(zhuǎn)化為－1＜x－1＜0或x－1>1，解得0＜x＜1或x>2，故選A. [答案]　A 考法(二)　奇偶性與周期性綜合 [例2]　(2019贛州月考)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(－∞，－3) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) [解析]　∵f(x＋3)＝f(x)， ∴f(x)是定義在R上的以3為周期的函數(shù)， ∴f(7)＝f(7－9)＝f(－2)． 又∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù)， ∴f(－2)＝f(2)，∴f(7)＝f(2)>1， ∴a>1，即a∈(1，＋∞)．故選D. [答案]　D 考法(三)　單調(diào)性、奇偶性與周期性結(jié)合 [例3]　(2019達(dá)州模擬)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0]上單調(diào)遞減，設(shè)a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)>b>c B．c>a>b C．b>c>a D．a(chǎn)>c>b [解析]　∵偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，∴函數(shù)的周期為2.∴a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．∵－0.8＜－0.5＜－0.4，且函數(shù)f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞減，∴a>c>b，故選D. [答案]　D [規(guī)律探求] 看個性 考法(一)是已知函數(shù)單調(diào)遞增且為奇函數(shù)，求自變量范圍，有時也比較大小，常利用奇、偶函數(shù)圖象的對稱性； 考法(二)是已知f(x)是周期函數(shù)且為偶函數(shù)，求函數(shù)值的范圍，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解； 考法(三)是函數(shù)周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合．解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解 找共性 對于函數(shù)性質(zhì)結(jié)合的題目，函數(shù)的周期性有時需要通過函數(shù)的奇偶性得到，函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對稱關(guān)系，而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律．因此在解題時，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題 [過關(guān)訓(xùn)練] 1．(2018全國卷Ⅱ)已知f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　) A．－50　　　　　　　　　 B．0 C．2 D．50 解析：選C　∵f(x)是奇函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(1－x)＝－f(x－1)． 由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)， ∴f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)． 由f(x)為奇函數(shù)得f(0)＝0. 又∵f(1－x)＝f(1＋x)， ∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱， ∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0. 又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50) ＝012＋f(49)＋f(50) ＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2. 2．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞減，則f(x)在[1,3]上是(　　) A．增函數(shù) B．減函數(shù) C．先增后減的函數(shù) D．先減后增的函數(shù) 解析：選D　根據(jù)題意，∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期是2.又∵f(x)在定義域R上是偶函數(shù)，在[－1,0]上是減函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在[0,1]上是增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在[1,2]上是減函數(shù)，在[2,3]上是增函數(shù)，∴f(x)在[1,3]上是先減后增的函數(shù)，故選D. 3．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增．若實數(shù)a滿足f(2|a－1|)＞f(－)，則a的取值范圍是________． 解析：∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0)上單調(diào)遞增， ∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，f(－)＝f()， ∴f(2|a－1|)＞f()，∴2|a－1|＜＝2， ∴|a－1|＜，即－＜a－1＜，即＜a＜. 答案： 一、題點全面練 1．(2018天水一模)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的為(　　) A．y＝x＋1　　　　　　　 B．y＝－x2 C．y＝ D．y＝x|x| 解析：選D　對于A，y＝x＋1為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件．對于B，y＝－x2是偶函數(shù)，不滿足條件．對于C，y＝是奇函數(shù)，但在定義域上不是增函數(shù)，不滿足條件．對于D，設(shè)f(x)＝x|x|，則f(－x)＝－x|x|＝－f(x)，則函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，y＝x|x|＝x2，此時為增函數(shù)，當(dāng)x≤0時，y＝x|x|＝－x2，此時為增函數(shù)，綜上，y＝x|x|在R上為增函數(shù)．故選D. 2．設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f(x)＝log2x，則f(－)＝(　　) A．－ B. C．2 D．－2 解析：選B　由已知得f(－)＝f()＝log2＝.故選B. 3．函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝2x(1－x)，則f的值為(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：選A　∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為2.∴f＝f＝f＝2＝. 4．(2018佛山一模)已知f(x)＝2x＋為奇函數(shù)，g(x)＝bx－log2(4x＋1)為偶函數(shù)，則f(ab)＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：選D　根據(jù)題意，f(x)＝2x＋為奇函數(shù)，則f(－x)＋f(x)＝0，即＋＝0，解得a＝－1. g(x)＝bx－log2(4x＋1)為偶函數(shù)，則g(x)＝g(－x)， 即bx－log2(4x＋1)＝b(－x)－log2(4－x＋1)， 解得b＝1，則ab＝－1， 所以f(ab)＝f(－1)＝2－1－＝－. 5．定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0，則(　　) A．f(3)＜f(－2)＜f(1) B．f(1)＜f(－2)＜f(3) C．f(－2)＜f(1)＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜f(－2) 解析：選A　∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－2)＝f(2)．又∵任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0，∴f(x)在[0，＋∞)上是減函數(shù)．又∵1＜2＜3，∴f(1)>f(2)＝f(－2)>f(3)，故選A. 6．已知函數(shù)f(x)＝asin x＋bln＋t，若f＋f＝6，則實數(shù)t＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．3 解析：選D　令g(x)＝asin x＋bln，易知g(x)為奇函數(shù)，所以g＋g＝0，則由f(x)＝g(x)＋t，得f＋f＝g＋g＋2t＝2t＝6，解得t＝3.故選D. 7．(2019荊州模擬)已知f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)x∈(0,1)時，f(x)＝3x－1，則f＝(　　) A.＋1 B.－1 C．－－1 D．－＋1 解析：選D　因為f(x)是周期為2的奇函數(shù)，所以f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，所以f＝f＝f＝－f＝－f.又當(dāng)x∈(0,1)時，f(x)＝3x－1，所以f＝－1，f＝－＋1. 8．已知f(x)是定義域為(－1,1)的奇函數(shù)，而且f(x)是減函數(shù)，如果f(m－2)＋f(2m－3)>0，那么實數(shù)m的取值范圍是(　　) A. B. C．(1,3) D. 解析：選A　∵f(x)是定義域為(－1,1)的奇函數(shù)，∴－1＜x＜1，f(－x)＝－f(x)，∴f(m－2)＋f(2m－3)>0可轉(zhuǎn)化為f(m－2)>－f(2m－3)，即f(m－2)>f(－2m＋3)．∵f(x)是減函數(shù)，∴∴1＜m＜. 9．(2019洛陽第一次統(tǒng)考)若函數(shù)f(x)＝ln(ex＋1)＋ax為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________. 解析：法一：(定義法)∵函數(shù)f(x)＝ln(ex＋1)＋ax為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，即ln(e－x＋1)－ax＝ln(ex＋1)＋ax，∴2ax＝ln(e－x＋1)－ln(ex＋1)＝ln＝ln＝－x，∴2a＝－1，解得a＝－. 法二：(取特殊值)由題意知函數(shù)f(x)的定義域為R，由f(x)為偶函數(shù)得f(－1)＝f(1)，∴l(xiāng)n(e－1＋1)－a＝ln(e1＋1)＋a，∴2a＝ln(e－1＋1)－ln(e1＋1)＝ln＝ln＝－1，∴a＝－. 答案：－ 10．設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)同時滿足以下條件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③當(dāng)0≤x＜1時，f(x)＝2x－1，則f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________. 解析：依題意知：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且周期為2， 則f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0. ∴f＋f(1)＋f＋f(2)＋f ＝f＋0＋f＋f(0)＋f ＝f－f＋f(0)＋f ＝f＋f(0) ＝2－1＋20－1 ＝－1. 答案：－1 二、專項培優(yōu)練 (一)技法專練——活用快得分 1．[巧用性質(zhì)]已知函數(shù)f(x)＝的最大值為M，最小值為m，則M＋m等于(　　) A．0 B．2 C．4 D．8 解析：選C　f(x)＝＝2＋， 設(shè)g(x)＝，則g(－x)＝－g(x)(x∈R)， ∴g(x)為奇函數(shù)，∴g(x)max＋g(x)min＝0. ∵M(jìn)＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min， ∴M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4. 2．[巧用性質(zhì)]設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋|x|)－，則使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范圍為________． 解析：由已知得函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)＝f(|x|)， 由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|)． 當(dāng)x>0時，f(x)＝ln(1＋x)－，因為y＝ln(1＋x)與y＝－在(0，＋∞)上都單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． 由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|， 兩邊平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1＜0，解得＜x＜1. 所以x的取值范圍為. 答案： 3．[數(shù)形結(jié)合]已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)． (1)求實數(shù)m的值； (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍． 解：(1)設(shè)x＜0，則－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)， 于是x＜0時，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增，作出f(x)的圖象如圖所示， 結(jié)合f(x)的圖象知所以1＜a≤3，故實數(shù)a的取值范圍是(1,3]． (二)素養(yǎng)專練——學(xué)會更學(xué)通 4．[邏輯推理]奇函數(shù)f(x)的定義域為R.若f(x＋2)為偶函數(shù)，且f(1)＝1，則f(8)＋f(9)＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析：選D　由函數(shù)f(x＋2)為偶函數(shù)可得，f(2＋x)＝f(2－x)． 又f(－x)＝－f(x)，故f(2－x)＝－f(x－2)， 所以f(2＋x)＝－f(x－2)，即f(x＋4)＝－f(x)． 所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)， 故該函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)． 又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，故f(0)＝0. 所以f(8)＋f(9)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1. 5．[邏輯推理]已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則(　　) A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11) 解析：選D　∵f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)， ∴f(x－8)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)． 由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)． ∵f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)， ∴f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)， ∴f(－1)＜f(0)＜f(1)， 即f(－25)＜f(80)＜f(11)． 6．[數(shù)學(xué)運算]定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足f(x＋5)＝f(x)，當(dāng)x∈(－3,0]時，f(x)＝－x－1，當(dāng)x∈(0,2]時，f(x)＝log2x，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值等于(　　) A．403 B．405 C．806 D．809 解析：選B　定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足f(x＋5)＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為5.當(dāng)x∈(0,2]時，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.當(dāng)x∈(－3,0]時，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1.所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝403[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝4031＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405. 7．[數(shù)學(xué)運算]設(shè)函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； (2)當(dāng)－4≤x≤4時，求函數(shù)f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積． 解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得， f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)， 所以f(π)＝f(－14＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f(x)是奇函數(shù)且f(x＋2)＝－f(x)， 得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]， 即f(1＋x)＝f(1－x)． 故知函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱． 又當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x，且f(x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱，則f(x)的圖象如圖所示． 當(dāng)－4≤x≤4時，設(shè)f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S＝4S△OAB＝4＝4.