（浙江專(zhuān)版）2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 單元檢測(cè)七 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法單元檢測(cè)（含解析）.docx

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單元檢測(cè)七　數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 (時(shí)間：120分鐘　滿(mǎn)分：150分) 第Ⅰ卷(選擇題　共40分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，若S21＝63，則a7＋a11＋a15等于(　　) A．6B．9C．12D．15 答案　B 解析　設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則由S21＝63，得21a1＋210d＝63，即a1＋10d＝3，所以a7＋a11＋a15＝3a1＋30d＝3(a1＋10d)＝9，故選B. 2．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足(a1a2a3a4a5)＝0，且a6＝，則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和為(　　) A．7B．8C．7D．8 答案　C 解析　由(a1a2a3a4a5)＝0， 得a1a2a3a4a5＝a＝1，所以a3＝1. 又a6＝，所以公比q＝，a1＝4， 故S9＝4＝＝7，故選C. 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)時(shí)，第一步驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是(　　) A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 答案　D 解析　當(dāng)n＝1時(shí)，左邊應(yīng)為1＋2＋…＋(1＋3)，即1＋2＋3＋4，故選D. 4．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S2018>0，S2019<0，且對(duì)任意正整數(shù)n都有|an|≥|ak|，則正整數(shù)k的值為(　　) A．1008B．1009C．1010D．1011 答案　C 解析　由S2019<0，得a1010<0， 由S2018>0，得a1009＋a1010>0， ∴a1009>－a1010＝|a1010|. 又d<0，n>1010時(shí)，|an|>|a1010|， n<1010時(shí)，|an|≥|a1009|>|a1010|，∴k＝1010. 5．用數(shù)學(xué)歸納法證明“＋＋…＋≥(n∈N*)”時(shí)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，不等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是(　　) A. B.＋ C.＋－ D.＋－－ 答案　C 解析　分別代入n＝k，n＝k＋1，兩式作差可得左邊應(yīng)添加項(xiàng)． 當(dāng)n＝k時(shí)，左邊為＋＋…， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊為＋＋…＋＋＋， 所以增加項(xiàng)為兩式作差得＋－，故選C. 6．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1,2Sn＝an＋1－1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(　　) A．a(chǎn)n＝3nB．a(chǎn)n＝3n－1C．a(chǎn)n＝2nD．a(chǎn)n＝2n－1 答案　B 解析　因?yàn)?Sn＝an＋1－1，所以2a1＝a2－1，又a1＝1，所以a2＝3.由題知當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn－1＝an－1，所以2an＝an＋1－an，易知an≠0，所以＝3(n≥2)，當(dāng)n＝1時(shí)，也符合此式，所以{an}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以an＝3n－1(n∈N*)，故選B. 7．已知數(shù)列{an}中，a1＝，且對(duì)任意的n∈N*，都有an＋1＝成立，則a2020的值為(　　) A．1B.C.D. 答案　C 解析　由題得a1＝；a2＝＝；a3＝＝；a4＝＝，數(shù)列{an}為周期數(shù)列，且a1＝a3＝a5＝…＝a2n－1＝(n∈N*)，a2＝a4＝a6＝…＝a2n＝(n∈N*)，所以a2020＝，故選C. 8．設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝，且對(duì)任意的n∈N*，都有an＋2－an≤3n，an＋4－an≥103n，則a2021等于(　　) A. B.＋2 C. D.＋2 答案　A 解析　因?yàn)閷?duì)任意的n∈N*，滿(mǎn)足an＋2－an≤3n，an＋4－an≥103n，所以103n≤(an＋4－an＋2)＋(an＋2－an)≤3n＋2＋3n＝103n，所以an＋4－an＝103n.因?yàn)閍2021＝(a2021－a2017)＋(a2017－a2013)＋…＋(a5－a1)＋a1＝10(32017＋32013＋…＋3)＋＝10＋＝. 9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1≠0，常數(shù)λ>0，且λa1an＝S1＋Sn對(duì)一切正整數(shù)n都成立，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(　　) A.B.C.D. 答案　A 解析　令n＝1，則λa＝2S1＝2a1，即a1(λa1－2)＝0，因?yàn)閍1≠0，所以a1＝，所以2an＝＋Sn，① 當(dāng)n≥2時(shí)，2an－1＝＋Sn－1，② ①－②，得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1(n≥2)，所以{an}是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an＝2n－1＝(n∈N*)，當(dāng)n＝1時(shí)，也符合此式，故選A. 10．記f(n)為最接近(n∈N*)的整數(shù)，如：f(1)＝1，f(2)＝1，f(3)＝2，f(4)＝2，f(5)＝2，….若＋＋＋…＋＝4038，則正整數(shù)m的值為(　　) A．20182019 B．20192 C．20192020 D．20202021 答案　C 解析　設(shè)x，n∈N*，f(x)＝n，則n－<的最大正整數(shù)n為_(kāi)_______． 答案　2－n　5 解析　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 由已知可得解得 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2－n. Sn＝a1＋＋…＋，① ＝＋＋…＋＋.② ①－②得＝a1＋＋…＋－ ＝1－－ ＝1－－＝， 所以Sn＝，由Sn＝>， 得032n－1，且bn∈Z，則bn＝________，數(shù)列的前n項(xiàng)和為_(kāi)_______． 答案　2n　2n－1 解析　由2an＋1＝an＋an＋2， 知數(shù)列{an}是等差數(shù)列， 因?yàn)閍1＝2，a2＝4，所以{an}的公差為2， 所以an＝2n. 由bn＋1－bn<2n＋，得bn＋2－bn＋1<2n＋1＋， 所以bn＋2－bn<32n＋1， 又bn＋2－bn>32n－1，且bn∈Z， 所以bn＋2－bn＝32n， 又b1＝2，b2＝4， 當(dāng)n＝2k－1(k≥2)時(shí)，bn＝(bn－bn－2)＋(bn－2－bn－4)＋…＋(b3－b1)＋b1＝3(2n－2＋2n－4＋…＋23＋2)＋2＝3＋2＝22k－1＝2n， n＝1時(shí)也成立； 當(dāng)n＝2k(k≥2)時(shí)，bn＝(bn－bn－2)＋…＋(b4－b2)＋b2＝3(2n－2＋2n－4＋…＋24＋4)＋4＝4k＝2n，n＝2時(shí)也成立． 所以bn＝2n.所以＝＝2n－1， 則數(shù)列的前n項(xiàng)和為＝2n－1. 17．若正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足(a6＋a5＋a4)－(a3＋a2＋a1)＝49，則a9＋a8＋a7的最小值為_(kāi)_______． 答案　196 解析　設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q， 則(q3－1)(a3＋a2＋a1)＝49， 顯然q3－1>0，所以a3＋a2＋a1＝， a9＋a8＋a7＝＝ ＝49≥494＝196， 當(dāng)且僅當(dāng)q3－1＝，即q3＝2時(shí)等號(hào)成立， 故a9＋a8＋a7的最小值為196. 三、解答題(本大題共5小題，共74分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟) 18．(14分)(2019杭州質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足3Sn＝4an－2(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝an，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. 解　(1)3Sn＝4an－2，① 當(dāng)n≥2時(shí)，3Sn－1＝4an－1－2，② ①－②得3an＝4(an－an－1)， 所以an＝4an－1，即＝4. 又3S1＝4a1－2，所以a1＝2， 所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以an＝24n－1＝22n－1(n∈N*)． (2)因?yàn)閎n＝an＝22n－1＝1－2n， 所以＝ ＝， 所以Tn＝＝＝(n∈N*)． 19．(15分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足Sn＋n＝2an(n∈N*)． (1)證明：數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝n(an＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. (1)證明　當(dāng)n＝1時(shí)，2a1＝S1＋1，則a1＝1. 由題意得2an＝Sn＋n,2an＋1＝Sn＋1＋(n＋1)， 兩式相減得2an＋1－2an＝an＋1＋1， 即an＋1＝2an＋1. 于是an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＋1＝2， 所以數(shù)列{an＋1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列． 所以an＋1＝22n－1＝2n，即an＝2n－1，n∈N*. (2)解　由(1)知，bn＝n2n， 所以Tn＝12＋222＋…＋n2n， 2Tn＝122＋223＋…＋n2n＋1， 兩式相減得 －Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n2n＋1 ＝－n2n＋1＝(1－n)2n＋1－2， 所以Tn＝(n－1)2n＋1＋2. 20．(15分)已知等比數(shù)列{an}的公比為q(0a5，∴a2＝1，a5＝， 又∵a5＝a2q3，∴q＝， ∴an＝a2qn－2＝1n－2＝n－2，n∈N*. (2)由(1)可得，bn＝(2－n)， ∴Tn＝1＋0＋(－1)＋…＋(2－n)， Tn＝1＋0＋…＋(3－n)＋(2－n)， 兩式相減得Tn＝2－＋(n－2)＝2－＋(n－2)， ∴Tn＝，n∈N*. (3)Sn＝4，由<，得2<2n(4－m)<6， ∵2n(4－m)為偶數(shù)，∴只能取2n(4－m)＝4， ∴有或故或 綜上所述，m＝2，n＝1或m＝3，n＝2. 21．(15分)(2018衢州檢測(cè))已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，Sn＝2an＋1，其中Sn為{an}的前n項(xiàng)和(n∈N*)． (1)求S1，S2及數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn＝，且{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：當(dāng)n≥2時(shí)，≤|Tn|≤. (1)解　數(shù)列{an}滿(mǎn)足Sn＝2an＋1， 則Sn＝2an＋1＝2(Sn＋1－Sn)，即3Sn＝2Sn＋1， 所以＝，所以S1＝a1＝1，S2＝， 即數(shù)列{Sn}是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列． 所以Sn＝n－1(n∈N*)． (2)證明　在數(shù)列{bn}中，bn＝＝－1，{bn}的前n項(xiàng)和的絕對(duì)值 |Tn|＝ ＝， 而當(dāng)n≥2時(shí)， 1－≤ ≤＝， 即≤|Tn|≤. 22．(15分)(2018金華十校模擬)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，an＋1an＝(n∈N*)． (1)證明：＝； (2)證明：2(－1)≤＋＋…＋≤n. 證明　(1)∵an＋1an＝，① ∴an＋2an＋1＝，② 而a1＝1，易得an>0， 由②①，得＝＝，∴＝. (2)由(1)得(n＋1)an＋2＝nan， ∴＋＋…＋＝＋＋…＋. 令bn＝nan， 則bnbn＋1＝nan(n＋1)an＋1＝＝n＋1，③ ∴當(dāng)n≥2時(shí)，bn－1bn＝n，④ 由b1＝a1＝1，b2＝2，易得bn>0， 由③－④，得＝bn＋1－bn－1(n≥2)． ∴b1

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