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專題能力訓練17 復數與計數原理
(時間:60分鐘 滿分:100分)
一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)
1.設有下面四個命題
p1:若復數z滿足R,則z∈R;
p2:若復數z滿足z2∈R,則z∈R;
p3:若復數z1,z2滿足z1z2∈R,則z1=;
p4:若復數z∈R,則R.
其中的真命題為(
3、)
A.p1,p3 B.p1,p4
C.p2,p3 D.p2,p4
2.復數=( )
A B
C.- D.-
3.(20xx浙江湖州菱湖中學期中)從裝有5個紅球和3個白球的口袋內任取3個球,那么互斥而不對立的事件是( )
A.至少有一個紅球與都是紅球
B.至少有一個紅球與都是白球
C.至少有一個紅球與至少有一個白球
D.恰有一個紅球與恰有兩個紅球
4.(2-)8展開式中含x3項的系數為( )
A.112x3 B.-1 120x3
C.112 D.1 120
5.設z是復數,|z-i|≤2(i是虛數單位),則|z|的最大值是(
4、)
A.1 B.2 C.3 D.4
6.將5名同學分到甲、乙、丙3個小組,若甲組至少兩人,乙、丙組每組至少一人,則不同的分配方案的種數為( )
A.50 B.80 C.120 D.140
7展開式中,各項系數之和為3,則展開式中的常數項為( )
A.-120 B.-80 C.80 D.120
8.袋中裝有偶數個球,其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球,將其中一個球放入甲盒,如果這個球是紅球,就將另一個球放入乙盒,否則就放入丙盒.重復上述過程,直到袋中所有球都被放入盒中,則( )
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一
5、樣多
C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球
D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多
二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)
9.把復數z的共軛復數記作,若(1+i)z=1-i,i為虛數單位,則= .?
10.已知復數(i是虛數單位)是純虛數,則實數a= .?
11的展開式中的常數項為 .?
12.安排甲、乙、丙、丁、戊5名大學生去杭州、寧波、金華三個城市進行暑期社會實踐活動,每個城市至少安排一人,則不同的安排方式共有 種,學生甲被單獨安排去金華的概率是 .?
13.(20xx浙江紹興一模)將3個男同學和3個女同學排成一列,若男同學甲與另外兩個男同
6、學不相鄰,則不同的排法種數為 .(用具體的數字作答)?
14.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展開式中,含x3的項的系數是 .?
三、解答題(本大題共2小題,共30分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(本小題滿分15分)已知復數z=
(1)求|z|;
(2)若z(z+a)=b+i,求實數a,b的值.
16.(本小題滿分15分)已知的展開式的前三項的系數成等差數列.
(1)求的展開式中所有的有理項;
(2)求的展開式中系數的絕對值最大的項.
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參考答案
專題能力訓練17 復數與計數原理
1.B 解析 p1:設z=a+bi(a,b∈R),則∈R,所以b=0,所以z∈R.故p1正確;
p2:因為i2=-1∈R,而z=i?R,故p2不正確;
p3:若z1=1,z2=2,則z1z2=2,滿足z1z2∈R,而它們實部不相等,不是共軛復數,故p3不正確;
p4:實數的虛部為0,它的共軛復數是它本身,也屬于實數,故p4正確.
2.B 解析 i,故選B.
3.D 解析 從裝有5個紅球和3個白球的口袋內任取3個球,不同的取球情況共有以下幾種:
3個球全是紅球;2個紅球,1個白球;1個紅球,2個白球;3個球
8、全是白球.
選項A中,事件“都是紅球”是事件“至少有一個紅球”的子事件;
選項B中,事件“至少有一個紅球”與事件“都是白球”是對立事件;
選項C中,事件“至少有一個紅球”與事件“至少有一個白球”的交事件為“2個紅球,1個白球”與“1個紅球,2個白球”;
選項D中,事件“恰有一個紅球”與事件“恰有兩個紅球”互斥不對立.
故選D.
4.C 解析 含x3項的系數為(-1)6·22=112.
5.C 解析 ∵|z-i|≤2,
∴復數z在復平面內對應點在以(0,1)為圓心,以2為半徑的圓及其內部.
∴|z|的最大值為3.
6.B 解析 根據題意,分2種情況討論:
①甲組有2人,
9、首先選2個放到甲組,共有=10種結果,
再把剩下的3個人放到乙和丙兩個位置,每組至少一人,共有=6種結果,
∴根據分步計數原理知共有10×6=60;
②當甲中有三個人時,有=20種結果,
∴共有60+20=80種結果.
7.D 解析 展開式中,各項系數之和為3,∴x=1時,1+a=3,∴a=2.
.
∵的通項為25-rx5-2r(-1)r,故展開式中x的一次項為80x,x的-1次項為-40x-1,分別與x,相乘得展開式中的常數項為160-40=120.
8.B 解析 若乙盒中放入的是紅球,則須保證抽到的兩個均是紅球;若乙盒中放入的是黑球,則須保證抽到的兩個球是一紅一黑,且紅球放
10、入甲盒;若丙盒中放入的是紅球,則須保證抽到的兩個球是一紅一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,則須保證抽到的兩個球都是黑球;又由于袋中有偶數個球,且紅球、黑球各占一半,則每次從袋中任取兩個球,抽到兩個紅球的次數與抽到兩個黑球的次數一定是相等的,故乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多,選B.
9.i 解析 ∵復數z的共軛復數記作,(1+i)z=1-i,i為虛數單位,
∴z==-i,∴=i.
10.-2 解析 i,∴=0,
∴a=-2.
11.-20 解析 ,
其展開式的通項為
Tr+1=·()6-r·
=·(-1)r·()6-2r,
令6-2r=0,得r=3,
所以常數項為T4
11、=· (-1)3=-20.
12.150 解析 根據題意,按五名同學分組的不同分2種情況討論:
①五人分為2,2,1的三組,有=15種分組方法,對應三項志愿者活動,有15×=90種安排方案;
②五人分為3,1,1的三組,有=10種分組方法,對應三項志愿者活動,有10×=60種安排方案,
則共有90+60=150種不同的安排方案;
學生甲被單獨安排去金華時,共有=14種不同的安排方案,則學生甲被單獨安排去金華的概率是.
13.288 解析 根據題意,分2種情況討論:
①3個男同學均不相鄰,將三名女同學全排列,有=6種排法,排好后有4個空位,在4個空位中,任選3個,安排3個男同學,
12、有=24種安排方法,此時共有6×24=144種不同的排法;
②另外兩個男同學相鄰,將這兩個男同學看成一個整體,考慮2人的順序,有=2種情況,將三名女同學全排列,有=6種排法,排好后有4個空位,在4個空位中,任選2個,安排甲和這2個男同學,有=12種安排方法,此時共有2×6×12=144種不同的排法;
則共有144+144=288種不同的排法.
14.-121 解析 (1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x) 8=,
(1-x)5中x4的系數為=5,-(1-x)9中x4的系數為-=-126,-126+5=-121.
15.解 (1)∵z==3-i,
∴|z|=.
(2)∵(3-i)(3-i+a)=(3-i)2+(3-i)a
=8+3a-(a+6)i=b+i,
∴
16.解 (1)由題意知T1=)n,系數T'1=1;
T2=)n-1,系數T'2=n;
T3=)n-2,系數T'3=.
因為T'1,T'2,T'3成等差數列,所以2T'2=T'1+T'3,
即n=1+,得n=8.
將式子展開,則有理項有T1=x4,T4=x,T9=x-2.
(2)的展開式中系數的絕對值最大的項為T6=)3=-1 792,同理T7=1 792x-11.故所求系數的絕對值最大的項為T6和T7.
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