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第6節(jié) 習題課 天體運動
[學考報告]
知識內(nèi)容
天體運動
考試要求
學考
選考
c
c
基本要求
1.掌握解決天體運動問題的思路和方法
2.理解赤道物體、同步衛(wèi)星和近地衛(wèi)星的區(qū)別
3.會分析衛(wèi)星(或飛船)的變軌問題
發(fā)展要求
掌握雙星的運動特點及其問題的分析
[基 礎 梳 理]
1.一種模型
無論自然天體(如地球)還是人造天體(如宇宙飛船)都可以看做質(zhì)點，圍繞中心天體(視為靜止)做勻速圓周運動。
2.兩條思路
(1)在中心天體表面或附近時，萬有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天體表面的重力加速度)，此式兩個用途：①GM＝gR2，稱為黃金代換法；②求g＝，從而把萬有引力定律與運動學公式相結合解題。
(2)天體運動的向心力來源于中心天體的萬有引力，即G＝m＝mrω2＝mr＝man。
[典 例 精 析]
【例1】 地球半徑為R0，地面重力加速度為g，若衛(wèi)星在距地面R0處做勻速圓周運動，則( )
A.衛(wèi)星速度為 B.衛(wèi)星的角速度為
C.衛(wèi)星的加速度為 D.衛(wèi)星周期為2π
解析 由＝man＝m＝mω2(2R0)＝m(2R0)及GM＝gR，可得衛(wèi)星的向心加速度an＝，角速度ω＝，線速度v＝，周期T＝2π，所以A、C、D錯誤，B正確。
答案 B
[基 礎 梳 理]
1.三個物體
求解衛(wèi)星運行問題時，一定要認清三個物體(赤道上的物體、近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星)之間的關系。
比較內(nèi)容
赤道表面的物體
近地衛(wèi)星
同步衛(wèi)星
向心力來源
萬有引力的分力
萬有引力
向心力方向
指向地心
重力與萬有引力的關系
重力略小于萬有引力
重力等于萬有引力
線速度
v1＝ω1R
v2＝
v3＝ω3(R＋h)
＝
v1
v2>v3 B.v1a2>a3 D.a1v1＝ωr1，選項A、B均錯誤；由G＝ma，得a＝，同步衛(wèi)星q的軌道半徑大于近地資源衛(wèi)星p的軌道半徑，可知q的向心加速度a3m，即萬有引力大于所需要的向心力，衛(wèi)星將做近心運動，衛(wèi)星的發(fā)射和回收就是利用這一原理。
3.衛(wèi)星到達橢圓軌道與圓軌道的公切點時，衛(wèi)星受到的萬有引力相同，所以加速度相同。
4.飛船對接問題：兩飛船實現(xiàn)對接前應處于高低不同的兩軌道上，目標船處于較高軌道，在較低軌道上運動的對接船通過合理地加速，做離心運動而追上目標船與其完成對接。
[典 例 精 析]
【例3】 2013年5月2日凌晨0時06分，我國“中星11號”通信衛(wèi)星發(fā)射成功?！爸行?1號”是一顆地球同步衛(wèi)星，它主要用于為亞太地區(qū)等區(qū)域用戶提供商業(yè)通信服務。如圖2為發(fā)射過程的示意圖，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，然后經(jīng)點火，使其沿橢圓軌道2運行，最后再一次點火，將衛(wèi)星送入同步圓軌道3。軌道1、2相切于Q點，軌道2、3相切于P點，則當衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運行時，以下說法正確的是( )
圖2
A.衛(wèi)星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率
B.衛(wèi)星在軌道3上的角速度小于在軌道1上的角速度
C.衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過Q點時的速度大于它在軌道2上經(jīng)過Q點時的速度
D.衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過P點時的速度大于它在軌道3上經(jīng)過P點時的速度
解析 衛(wèi)星在圓軌道上做勻速圓周運動時有：
G＝m，v＝，因為r1＜r3，所以v1＞v3，由ω＝得ω1＞ω3。在Q點，衛(wèi)星沿著圓軌道1運行與沿著橢圓軌道2運行時所受的萬有引力相等，在圓軌道1上引力剛好等于向心力，即F＝。而在橢圓軌道2上衛(wèi)星做離心運動，說明引力不足以提供衛(wèi)星以v2速率運行時所需的向心力，即F＜，所以v2＞v1。衛(wèi)星在橢圓軌道2上運行到遠地點P時，根據(jù)機械能守恒可知此時的速率v2′＜v2，在P點衛(wèi)星沿橢圓軌道2運行與沿著圓軌道3運行時所受的地球引力也相等，但是衛(wèi)星在橢圓軌道2上做近心運動，說明F′＞m，衛(wèi)星在圓軌道3上運行時，引力剛好等于向心力，即F′＝m，所以v2′＜v3。由以上可知，速率從大到小排列為：v2＞v1＞v3＞v2′。
答案 B
[即 學 即 練]
探測器繞月球做勻速圓周運動，變軌后在周期較小的軌道上仍做勻速圓周運動，則變軌后與變軌前相比( )
A.軌道半徑變小 B.向心加速度變小
C.線速度變小 D.角速度變小
解析 由G＝m知T＝2π，變軌后T減小，則r減小，故選項A正確；由G＝man知r減小，an變大，故選項B錯誤；由G＝m知v＝，r減小，v變大，故選項C錯誤；由ω＝知T減小，ω變大，故選項D錯誤。
答案 A
[典 例 精 析]
【例4】 兩個靠得很近的天體，離其他天體非常遙遠，它們以其連線上某一點O為圓心各自做勻速圓周運動，兩者的距離保持不變，科學家把這樣的兩個天體稱為“雙星”，如圖3所示。已知雙星的質(zhì)量分別為m1和m2，它們之間的距離為L，求雙星的運行軌道半徑r1和r2及運行周期T。
圖3
解析 雙星間的引力提供了各自做圓周運動的向心力
對m1：＝m1ω2r1，
對m2：＝m2r2ω2，且r1＋r2＝L，
解得r1＝，r2＝。
由G＝m1r1及r1＝得
周期T＝
答案
1.如圖4所示，a、b是兩顆繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星，它們距地面的高度分別是R和2R(R為地球半徑)。下列說法中正確的是( )
圖4
A.a、b的線速度大小之比是∶1
B.a、b的周期之比是1∶2
C.a、b的角速度大小之比是3∶4
D.a、b的向心加速度大小之比是3∶2
解析 兩衛(wèi)星均做勻速圓周運動，F(xiàn)萬＝F向，向心力選不同的表達形式分別分析，如下表：
選項
內(nèi)容指向、聯(lián)系分析
結論
A
由＝m得＝＝＝
錯誤
B
由＝mr()2得＝＝
錯誤
C
由＝mrω2得＝＝
正確
D
由＝ma得＝＝
錯誤
答案 C
2.地球同步衛(wèi)星離地心的距離為r，運行速度為v1，加速度為a1，地球赤道上的物體隨地球自轉的加速度為a2，地球的第一宇宙速度為v2，半徑為R，則下列比例關系中正確的是( )
A.＝ B.＝()2
C.＝ D.＝()2
解析 設地球質(zhì)量為M，同步衛(wèi)星的質(zhì)量為m1，在地球表面繞地球做勻速圓周運動的物體的質(zhì)量為m2，根據(jù)向心加速度和角速度的關系有a1＝ωr，a2＝ωR，又ω1＝ω2，故＝，選項A正確，B錯誤；由萬有引力定律和牛頓第
二定律得G＝m1，G＝m2，解得＝，選項C、D錯誤。
答案 A
3.如圖5所示，a為地球赤道上的物體，b為沿地球表面附近做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星，c為地球同步衛(wèi)星。關于a、b、c做勻速圓周運動的說法中正確的是( )
圖5
A.地球?qū)、c兩星的萬有引力提供了向心力，因此只有a受重力，b、c兩星不受重力
B.周期關系為Tc>Tb>Ta
C.線速度的大小關系為vaab>ac
答案 C
4.如圖6所示，兩顆星球組成的雙星，在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的O點做周期相同的勻速圓周運動?，F(xiàn)測得兩顆星之間的距離為L，質(zhì)量之比為m1∶m2＝3∶2，下列說法中正確的是( )
圖6
A.m1、m2做圓周運動的線速度之比為3∶2
B.m1、m2做圓周運動的角速度之比為3∶2
C.m1做圓周運動的半徑為L
D.m2做圓周運動的半徑為L
解析 設雙星m1、m2距轉動中心O的距離分別為r1、r2，雙星繞O點轉動的角速度為ω，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得
G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，又r1＋r2＝L，m1∶m2＝3∶2
所以可解得r1＝L，r2＝L，
m1、m2運動的線速度分別為v1＝r1ω，v2＝r2ω，
故v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3，綜上所述，選項C正確。
答案 C
1.關于近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星、赤道上的物體，以下說法正確的是( )
A.都是萬有引力等于向心力
B.赤道上的物體和同步衛(wèi)星的周期、線速度、角速度都相等
C.赤道上的物體和近地衛(wèi)星的軌道半徑相同但線速度、周期不同
D.同步衛(wèi)星的周期小于近地衛(wèi)星的周期
解析 赤道上的物體是由萬有引力的一個分力提供向心力，A項錯誤；赤道上的物體和同步衛(wèi)星有相同周期和角速度，但線速度不同，B項錯誤；同步衛(wèi)星和近地衛(wèi)星有相同的中心天體，根據(jù)＝m＝mr得v＝，T＝2π，由于r同>r近，故v同T近，D錯誤；赤道上物體、近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星三者間的周期關系為T赤＝T同>T近，根據(jù)v＝ωr可知v赤Tc＝24 h，則d的周期可能是30 h，選項D正確。
答案 D
4.登上火星是人類的夢想，“嫦娥之父”歐陽自遠院士透露：中國計劃于2020年登陸火星。地球和火星公轉可視為勻速圓周運動，忽略行星自轉影響。根據(jù)下表信息可知( )
行星
半徑/m
質(zhì)量/kg
公轉軌道半徑/m
地球
6.4106
6.01024
1.51011
火星
3.4106
6.41023
2.31011
A.火星的公轉周期較小
B.火星公轉時的向心加速度較小
C.火星公轉時的線速度較大
D.火星公轉時的角速度較大
解析 由表中信息知r火＞r地，根據(jù)牛頓第二定律G＝m＝man＝m＝mrω2得：T＝，an＝，v＝，ω＝，軌道半徑大，周期大，向心加速度小，線速度小，角速度小，故B正確，A、C、D錯誤。
答案 B
5.質(zhì)量為m的探月航天器在接近月球表面的軌道上飛行，其運動視為勻速圓周運動。已知月球質(zhì)量為M，月球半徑為R，月球表面重力加速度為g，引力常量為G，不考慮月球自轉的影響，則航天器的( )
A.線速度v＝ B.角速度ω＝
C.運動周期T＝2π D.向心加速度a＝
解析 對航天器：G＝m，v＝，故A項錯誤；由mg＝mω2R得ω＝，故B項錯誤；由mg＝m()2R得T＝2π，故C項正確；由G＝man得an＝，故D項錯誤。
答案 C
6.冥王星與其附近的另一星體卡戎可視為雙星系統(tǒng)，質(zhì)量比約為7∶1，同時繞它們連線上某點O做勻速圓周運動。由此可知，冥王星繞O點運動的( )
A.軌道半徑約為卡戎的
B.角速度大小約為卡戎的
C.線速度大小約為卡戎的7倍
D.向心力大小約為卡戎的7倍
解析 兩星繞連線上某點穩(wěn)定轉動，則轉動周期和角速度相同，根據(jù)兩星做圓周運動所需的向心力由萬有引力提供，兩星受到的萬有引力為相互作用力，有＝，＝，解之得＝＝，選項A正確，選項B錯誤；線速度v＝ωR，＝＝，選項C錯誤；因兩星向心力均由大小相等的相互作用的萬有引力提供，選項D錯誤。
答案 A
7.一人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，假如該衛(wèi)星變軌后仍做勻速圓周運動，速度減小為原來的，不考慮衛(wèi)星質(zhì)量的變化，則變軌前后衛(wèi)星的( )
A.向心加速度大小之比為4∶1
B.角速度大小之比為2∶1
C.周期之比為1∶4
D.軌道半徑之比為1∶4
解析 該衛(wèi)星變軌后仍做勻速圓周運動，速度減為原來的；根據(jù)G＝m可得：r＝可知變軌后，軌道半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，選項D正確；根據(jù)G＝man，則an＝，則變軌后的加速度變?yōu)樵瓉淼?，選項A錯誤；根據(jù)ω＝可知變軌后角速度變?yōu)樵瓉淼模x項B錯誤；根據(jù)T＝可知，變軌后周期變?yōu)樵瓉淼?倍，選項C錯誤。
答案 D
8.如圖2所示，a、b、c是在地球大氣層外圓形軌道上運行的3顆人造衛(wèi)星，下列說法正確的是( )
圖2
A.b、c的線速度大小相等，且大于a的線速度
B.a加速可能會追上b
C.c加速可追上同一軌道上的b，b減速可等到同一軌道上的c
D.a衛(wèi)星由于某種原因，軌道半徑緩慢減小，仍做勻速圓周運動，則其線速度將變小
解析 因為b、c在同一軌道上運行，故其線速度大小、加速度大小均相等。又由b、c軌道半徑大于a軌道半徑，由v＝可知，vb＝vcm，它將偏離原軌道，做近心運動，所以無論如何c也追不上b，b也等不到c，故選項C錯；對a衛(wèi)星，當它的軌道半徑緩慢減小時，由v＝可知，r減小時，v逐漸增大，故選項D錯誤。
答案 B
9.已知近地衛(wèi)星線速度大小為v1，向心加速度大小為a1，地球同步衛(wèi)星線速度大小為v2，向心加速度大小為a2，設近地衛(wèi)星距地面高度不計，同步衛(wèi)星距地面高度約為地球半徑的6倍。則以下結論正確的是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析 衛(wèi)星圓周運動的向心力由萬有引力提供，
＝ma＝；因為線速度v＝，則＝＝＝，故A、D錯誤；因為加速度a＝，所以，＝＝()2＝，故B正確，C錯誤。
答案 B
10.已知甲、乙兩行星的半徑之比為a，它們各自對應的第一宇宙速度之比為b，則下列結論不正確的是( )
A.甲、乙兩行星的質(zhì)量之比為b2a∶1
B.甲、乙兩行星表面的重力加速度之比為b2∶a
C.甲、乙兩行星各自的衛(wèi)星的最小周期之比為a∶b
D.甲、乙兩行星各自的衛(wèi)星的最大角速度之比為a∶b
解析 根據(jù)mg＝，則第一宇宙速度為：v＝，則行星表面的重力加速度為：g＝，甲、乙兩行星的半徑之比為a，它們各自的第一宇宙速度之比為b，則甲、乙兩行星表面的重力加速度之比為，根據(jù)mg＝，則有：M＝，因為半徑之比為a，重力加速度之比為，所以甲、乙兩行星的質(zhì)量之比為b2a∶1，故A、B正確；軌道半徑越小，周期越小，根據(jù)＝m得，最小周期T＝2π，甲、乙兩行星的質(zhì)量之比為ab2∶1，半徑之比為a，則最小周期之比為a∶b，故C正確；軌道半徑越小，角速度越大，根據(jù)ω＝，最小周期之比為a∶b，則最大角速度之比為b∶a，故D錯誤。
答案 D
（浙江專用）2018-2019學年高中物理 第六章 萬有引力與航天 第6節(jié) 習題課 天體運動學案 新人教版必修2.doc
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