2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 重點(diǎn)強(qiáng)化課3 不等式及其應(yīng)用

重點(diǎn)強(qiáng)化課(三)　不等式及其應(yīng)用 [復(fù)習(xí)導(dǎo)讀]　本章的主要內(nèi)容是不等式的性質(zhì)，一元二次不等式及其解法，簡單的線性規(guī)劃問題，基本不等式及其應(yīng)用，針對(duì)不等式具有很強(qiáng)的工具性，應(yīng)用廣泛，解法靈活的特點(diǎn)，應(yīng)加強(qiáng)不等式基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)，要弄清不等式性質(zhì)的條件與結(jié)論；一元二次不等式是解決問題的重要工具，如利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，往往歸結(jié)為解一元二次不等式問題；函數(shù)、方程、不等式三者密不可分，相互轉(zhuǎn)化，因此應(yīng)加強(qiáng)函數(shù)與方程思想在不等式中應(yīng)用的訓(xùn)練． 重點(diǎn)1　一元二次不等式的綜合應(yīng)用 　(1)(2016·山東青島一模)函數(shù)y＝的定義域?yàn)?　　) A．(－∞，1]　　　　　　 B.[－1,1] C．[1,2)∪(2，＋∞) D.∪ (2)已知函數(shù)f(x)＝則滿足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范圍是__________． (1)D　(2)(－1，－1)　[(1)由題意得 解得即－1≤x≤1且x≠－，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋蔬xD. (2)由題意得或 解得－1<x<0或0≤x<－1. 所以x的取值范圍為(－1，－1)．] [規(guī)律方法]　 一元二次不等式綜合應(yīng)用問題的常見類型及求解方法 (1)與函數(shù)的定義域、集合的綜合，此類問題的本質(zhì)就是求一元二次不等式的解集． (2)與分段函數(shù)問題的綜合．解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)分段函數(shù)解析式，將問題轉(zhuǎn)化為不同區(qū)間上的不等式，然后根據(jù)一元二次不等式或其他不等式的解法求解． (3)與函數(shù)的奇偶性等的綜合．解決此類問題可先根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定函數(shù)的解析式，然后求解，也可直接根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1]　已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)．當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為__________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772215】 (－5,0)∪(5，＋∞)　[由于f(x)為R上的奇函數(shù)， 所以當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝0；當(dāng)x<0時(shí)，－x>0， 所以f(－x)＝x2＋4x＝－f(x)， 即f(x)＝－x2－4x， 所以f(x)＝由f(x)>x，可得 或解得x>5或－5<x<0， 所以原不等式的解集為(－5,0)∪(5，＋∞)．] 重點(diǎn)2　線性規(guī)劃問題 　(1)(2017·深圳二次調(diào)研)若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝的最大值為(　　) A.　　　　　　 B. C. D.2 (2)當(dāng)實(shí)數(shù)x，y滿足時(shí)，1≤ax＋y≤4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772216】 (1)C　(2)　[(1)畫出不等式組滿足的平面區(qū)域?yàn)橐渣c(diǎn)A(1,5)，B(1,0)，C(0,1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包含邊界)，目標(biāo)函數(shù)z＝表示為可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)和點(diǎn)(－3，－1)連線的斜率，由圖可知點(diǎn)A(1,5)與點(diǎn)(－3，－1)的連線的斜率最大，即zmax＝＝＝，故選C.] (2)作出題中線性規(guī)劃條件滿足的可行域如圖陰影部分所示， 令z＝ax＋y，即y＝－ax＋z.作直線l0：y＝－ax，平移l0， 最優(yōu)解可在A(1,0)，B(2,1)，C處取得． 故由1≤z≤4恒成立，可得 解得1≤a≤.] [規(guī)律方法]　本題(2)是線性規(guī)劃的逆問題，這類問題的特點(diǎn)是在目標(biāo)函數(shù)或約束條件中含有參數(shù)，當(dāng)在約束條件中含有參數(shù)時(shí)，那么隨著參數(shù)的變化，可行域的形狀可能就要發(fā)生變化，因此在求解時(shí)也要根據(jù)參數(shù)的取值對(duì)可行域的各種情況進(jìn)行分類討論，以免出現(xiàn)漏解． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2]　(2017·合肥二次質(zhì)檢)已知實(shí)數(shù)x，y滿足若z ＝kx－y的最小值為－5，則實(shí)數(shù)k的值為(　　) A．－3 B.3或－5 C．－3或－5 D.±3 D　[在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橐?－2，－1)，(1,0)，(1,2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，由圖(圖略)易得當(dāng)k≤1時(shí)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝kx－y經(jīng)過平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(1,2)時(shí)，z＝kx－y取得最小值zmin＝k－2＝－5，解得k＝－3；當(dāng)k>1時(shí)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝kx－y經(jīng)過平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(－2，－1)時(shí)，z＝kx－y取得最小值zmin＝－2k＋1＝－5，解得k＝3.綜上所述，實(shí)數(shù)k的值為±3，故選D.] 重點(diǎn)3　基本不等式的綜合應(yīng)用 　(2016·江蘇高考節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝ax＋bx(a>0，b>0，a≠1，b≠1)．設(shè)a＝2，b＝. (1)求方程f(x)＝2的根； (2)若對(duì)于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值． [解]　因?yàn)閍＝2，b＝，所以f(x)＝2x＋2－x.2分 (1)方程f(x)＝2，即2x＋2－x＝2，亦即(2x)2－2×2x＋1＝0，所以(2x－1)2＝0，即2x＝1，解得x＝0.5分 (2)由條件知f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2. 因?yàn)閒(2x)≥mf(x)－6對(duì)于x∈R恒成立，且f(x)>0， 所以m≤對(duì)于x∈R恒成立.8分 而＝f(x)＋≥2＝4，且＝4， 所以m≤4，故實(shí)數(shù)m的最大值為4.12分 [規(guī)律方法] 基本不等式綜合應(yīng)用中的常見類型及求解方法 (1)應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立或比較大小．解決此類問題通常將所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解． (2)條件不等式問題．通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解． (3)求參數(shù)的值或范圍．觀察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得到參數(shù)的值或范圍． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3]　(1)設(shè)a，b，c∈(0，＋∞)，則“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)已知正數(shù)x，y滿足x＋2y＝2，則的最小值為__________． (1)A　(2)9　[(1)當(dāng)a＝b＝c＝2時(shí)，有＋＋≤a＋b＋c， 但abc≠1，所以必要性不成立． 當(dāng)abc＝1時(shí)，＋＋＝＝＋＋， a＋b＋c＝≥＋＋，所以充分性成立． 故“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的充分不必要條件． (2)由已知得＝1. 則＝＋＝ ＝≥(10＋2 )＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝時(shí)取等號(hào)．]