2013-2017高考數(shù)學分類匯編-第10章圓錐曲線-4 曲線與方程（理科）

第4節(jié) 曲線與方程 題型123 求動點的軌跡方程 1.（2013遼寧理20）如圖，拋物線.點在拋物線上，過作的切線，切點為（為原點時，重合于）.當時，切線的斜率為. （1）求的值； （2）當在上運動時，求線段中點的軌跡方程（重合于時，中點為）. 2.（2014 湖北理 21）（滿分14分）在平面直角坐標系中，點到點的距離比它到軸的距離多，記點的軌跡為. （1）求軌跡為的方程； （2）設(shè)斜率為的直線過定點.求直線與軌跡恰好有一個公共點，兩個公共點，三個公共點時的相應取值范圍. 3.（2014 廣東理 20） （14分）已知橢圓的一個焦點為，離心率為， （1）求橢圓的標準方程； （2）若動點為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程. 4.（2016四川理15）在平面直角坐標系中，當不是原點時，定義的“伴隨點”為，當是原點時，定義“伴隨點”為它自身，現(xiàn)有下列命題： ①若點的“伴隨點”是點，則點的“伴隨點”是點. ②單元圓上的“伴隨點”還在單位圓上. ③若兩點關(guān)于軸對稱，則他們的“伴隨點”關(guān)于軸對稱. ④若三點在同一條直線上，則他們的“伴隨點”一定共線. 其中的真命題是 . 4.②③ 解析 對于①，若令則其伴隨點為，而的伴隨點為，而不是，故錯誤； 對于②，令單位圓上點的坐標為，其伴隨點為仍在單位圓上，故②正確； 對于③，設(shè)曲線關(guān)于軸對稱，則對曲線表示同一曲線，其伴隨曲線分別為與也表示同一曲線，又因為其伴隨曲線分別為 與的圖像關(guān)于軸對稱，所以③正確；對于④，直線上取點得，其伴隨點消參后軌跡是圓，故④錯誤.所以正確的序號為②③. 5.（2016全國乙理20（1））設(shè)圓的圓心為，直線過點且與軸不重合，交圓于，兩點，過作的平行線交于點. （1）證明為定值，并寫出點的軌跡方程. 5.解析 (1)如圖所示，圓的圓心為，半徑， 因為，所以.又因為，所以， 于是 ，所以.故為定值. 又，點的軌跡是以，為焦點，長軸長為4的橢圓， 由，，得.故點的軌跡的方程為. 6.（2016全國丙卷20）已知拋物線的焦點為，平行于軸的兩條直線分別交于，兩點，交的準線于，兩點. （1）若在線段上，是的中點，證明； （2）若的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程. 6.解析 (1)連接，，由，及，得，所以.因為是中點，，所以，所以， ，又， 所以，所以（等角的余角相等），所以. (2)設(shè)，，準線為，，設(shè)直線與軸交點為，，因為，所以，得，即． 設(shè)中點為， 由，得，即. 又，所以，即． 易知當直線不存在時，點也滿足此方程， 所以中點軌跡方程為. 7.（2017全國2卷理科20（1））設(shè)為坐標原點，動點在橢圓上，過作軸的垂線，垂足為，點滿足. （1）求點的軌跡方程； 7．解析 （1）設(shè)點，易知，，又， 所以點.又在橢圓上，所以，即．