電磁場(chǎng)與電磁波(第4版)教學(xué)指導(dǎo)書 第2章 電磁場(chǎng)的基本規(guī)律

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1、第2章 電磁場(chǎng)的基本規(guī)律 2.1 基本內(nèi)容概述 本章以大學(xué)物理（電磁學(xué)）為基礎(chǔ)，介紹電磁場(chǎng)的基本物理量和基本規(guī)律，主要內(nèi)容包括：電荷與電荷分布、電流與電流密度、電荷守恒定律；真空中的靜電場(chǎng)方程；真空中靜磁場(chǎng)方程；媒質(zhì)的極化和磁化；電磁感應(yīng)定律、位移電流；麥克斯韋方程組、電磁場(chǎng)的邊界條件。 2.1.1 電荷守恒定律 1. 電荷與電荷分布 在電磁理論中，根據(jù)電荷分布的具體情況，電荷源模型分為體電荷、面電荷、線電荷和點(diǎn)電荷，分別用電荷體密度、電荷面密度和電荷線密度來(lái)描述電荷在空間體積、曲面和曲線中的分布。 (2.1)

2、 (2.2) (2.3) “點(diǎn)電荷”是電荷分布的一種極限情況。當(dāng)電荷q位于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，其體密度應(yīng)為 可用函數(shù)表示為 (2.4) 2. 電流與電流密度 在電磁理論中，電流源模型分為體電流、面電流和線電流，分別用電流密度和面電流密度來(lái)描述電流在截面上和厚度趨于零的薄層上的分布。 (2.5) (2.6) 3.電荷守恒

3、定律 積分形式 (2.7) 微分形式 (2.8) 2.1.2 真空中的靜電場(chǎng)方程 1. 庫(kù)侖定律 真空中，位于處的點(diǎn)電荷對(duì)位于處的點(diǎn)電荷的作用力為 (2.9) 2.電場(chǎng)強(qiáng)度 （1）電場(chǎng)強(qiáng)度的定義 (2.10) （2）已知電荷分布求解電場(chǎng)強(qiáng)度 點(diǎn)電荷

4、 （2.11） 體密度分布電荷 （2.12） 面密度分布電荷 （2.13） 線密度分布電荷 （2.14） 3.靜電場(chǎng)方程 積分形式 ： （2.15） （2.16） 微分形式： （2.17）

5、 （2.18） 2.1.3 真空中的磁場(chǎng)方程 1.安培力定律 真空中，線電流回路對(duì)回路的磁場(chǎng)力為 （2.19） 2.磁感應(yīng)強(qiáng)度 已知電流分布求解磁感應(yīng)強(qiáng)度 線電流 （2.20） 面電流 （2.21） 體電流 （2.22） 3.靜磁場(chǎng)方程 積分形式：

6、 （2.23） （2.24） 微分形式： （2.25） （2.26） 2.1.4 電磁感應(yīng)定律 積分形式： （2.27） 微分形式： （2.28） 2.1.5 位移電流密度

7、 （2.29） 引入位移電流的概念后，安培環(huán)路定律修正為 （2.30） 2.1.6 麥克斯韋方程組 1.積分形式 （2.31a） （2.31b） （2.31c） （2.31d） 2.微分形式

8、 （2.32a） （2.32b） （2.32c） （2.32d） 3.媒質(zhì)的電磁特性方程 對(duì)于線性和各向同性媒質(zhì)，場(chǎng)量之間的關(guān)系為 （2.33）

9、 （2.34） （2.35） 2.1.7 電磁場(chǎng)的邊界條件 1.邊界條件的一般形式 （2.36a） （2.36b） （2.36c） （2.36d） 式中的為媒質(zhì)分界面法線方向單位矢量，選定為離開(kāi)分界面指向媒質(zhì)1。 2.兩種理想介質(zhì)分界面的

10、邊界條件 （2.37a） （2.37b） （2.37c） （2.37d） 3.理想導(dǎo)體的邊界條件（設(shè)定媒質(zhì)2為理想導(dǎo)體） （2.38a） （2.38b）

11、 （2.38c） （2.38d） 2.2 教學(xué)基本要求及重點(diǎn)、難點(diǎn)討論 2.2.1 教學(xué)基本要求 理解電荷及其分布、電流及其分布以及電流連續(xù)性方程。理解電場(chǎng)和磁場(chǎng)的概念，掌握電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的積分公式，會(huì)計(jì)算一些簡(jiǎn)單源分布（電荷、電流密度）產(chǎn)生的場(chǎng)。 掌握電場(chǎng)基本方程，了解電介質(zhì)的極化現(xiàn)象及極化電荷分布。掌握靜磁場(chǎng)基本方程，理解磁介質(zhì)的磁化現(xiàn)象及磁化電流分布。 掌握電磁感應(yīng)定律及位移電流的概念，牢固掌握麥克斯韋方程組并深刻理解其物理意義，掌握電磁場(chǎng)的邊界條件。 2.2.2 重點(diǎn)、

12、難點(diǎn)討論 1. 場(chǎng)源電荷和電流 （1）電荷是物質(zhì)的基本屬性之一。迄今為止，我們檢測(cè)到的最小電荷量是電子的電荷電量，其值為 任何帶電粒子所帶的電荷電量則是以單個(gè)電子電荷的正或負(fù)整數(shù)倍的形式存在。 在微觀意義上，電荷是以離散的方式存在（或不存在）于某一點(diǎn)的。但當(dāng)我們研究大量聚集的電荷的電磁效應(yīng)，即在建立宏觀的電磁理論時(shí)，發(fā)現(xiàn)采用平滑平均密度函數(shù)概念，用電荷密度分布的方式來(lái)描述帶電體的電荷會(huì)收到很好的效果。定義電荷體密度作為一個(gè)源量 式中的是體積元中的電量。應(yīng)小到足以表示的精確變化，但又要大到足以包含大量的離散電荷。 在另一些情況下，電量可能存在于面積元或線元上，此時(shí)分別定義電荷

13、面密度和電荷線密度 一般情況下，電荷密度在各點(diǎn)是不相同的。因此電荷密度、和都是空間坐標(biāo)的點(diǎn)函數(shù)。 除此之外，電磁場(chǎng)還有“點(diǎn)電荷”這一種特殊分布。當(dāng)帶電體本身的幾何線度比起它到其它帶電體的距離小得多時(shí)，帶電體的形狀以及電荷在其中的分布已無(wú)關(guān)緊要。這樣，就可把帶電體抽象為一個(gè)幾何點(diǎn)，稱為點(diǎn)電荷q 。利用函數(shù)，可將位于處的點(diǎn)電荷q的體密度表示為。 （2）電流是電荷在電場(chǎng)力作用下定向運(yùn)動(dòng)形成的。電流的定義為 電流i是一個(gè)積分量。在形狀復(fù)雜的導(dǎo)體中，不同部位的電流的大小和方向都不一樣。為了描述導(dǎo)體內(nèi)各點(diǎn)電流的差異，引入電流密度矢量J，它表示導(dǎo)體中某點(diǎn)P處流過(guò)垂直于電流流動(dòng)方向的單位面

14、積的電流總量，其方向?yàn)樵擖c(diǎn)的電流流動(dòng)方向。表示為 J是一個(gè)矢量點(diǎn)函數(shù)。 對(duì)于良導(dǎo)體，高頻時(shí)變電流是局限在導(dǎo)體表面層的，它并不流過(guò)整個(gè)導(dǎo)體內(nèi)部。此時(shí)就有必要引入面電流密度，它是流過(guò)導(dǎo)體表面垂直于電流流動(dòng)方向的單位寬度的電流。表示為 是一個(gè)矢量點(diǎn)函數(shù)。 （3）電荷守恒定律是物理學(xué)的一個(gè)基本定律，它表明電荷是守恒的，也就是說(shuō)電荷既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅。電荷可以從一處運(yùn)動(dòng)到另一處，在電磁場(chǎng)影響下也可以重新分布。但在一個(gè)封閉系統(tǒng)中的正、負(fù)電荷的代數(shù)和是保持不變的。在任何時(shí)刻和任何條件下都必須滿足電荷守恒定律，它的數(shù)學(xué)表示式是電流連續(xù)性方程。例如，電路理論中的基爾霍夫電流定律，它表示流

15、出一個(gè)節(jié)點(diǎn)的電流之和等于所有流入該節(jié)點(diǎn)的電流之和，這是電流連續(xù)性方程的體現(xiàn)。有關(guān)電磁問(wèn)題任何公式或解答，若不滿足電荷守恒定律，它必定是錯(cuò)誤的。 2. 庫(kù)侖定律 庫(kù)侖定律是靜電場(chǎng)的基本實(shí)驗(yàn)定律，它是以引入“點(diǎn)電荷”模型為基礎(chǔ)，是在無(wú)限大的均勻、線性和各向同性電介質(zhì)中總結(jié)出的實(shí)驗(yàn)定律。 靜止點(diǎn)電荷之間的相互作用力稱為靜電力。庫(kù)侖定律表明，兩個(gè)點(diǎn)電荷之間靜電力的大小與兩個(gè)點(diǎn)電荷的電量成正比，與電荷之間距離的平方成反比，方向在兩個(gè)電荷的連線上。 靜電力符合疊加原理。 3. 電場(chǎng)強(qiáng)度 電場(chǎng)強(qiáng)度是表征電場(chǎng)特性的基本場(chǎng)矢量。它是通過(guò)試驗(yàn)電荷引入電場(chǎng)中某一固定點(diǎn)時(shí)受到的電場(chǎng)力F來(lái)定義的，定義為該固

16、定點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。這個(gè)試驗(yàn)電荷的電量必須足夠小，以至將其引入電場(chǎng)后，在要求的實(shí)驗(yàn)精度范圍內(nèi)不會(huì)擾動(dòng)原有的電場(chǎng)；試驗(yàn)電荷的幾何線度也必須足夠小，以至將其置于電場(chǎng)中某一點(diǎn)時(shí)，其位置才有確定的意義。根據(jù)庫(kù)侖定律，F(xiàn)的大小與電量成正比，因此比值與的大小無(wú)關(guān)；根據(jù)靜電力的疊加原理，比值只應(yīng)由產(chǎn)生電場(chǎng)的所有電荷的電量大小和空間分布來(lái)決定。因此，比值可以用來(lái)定量描述電場(chǎng)的性質(zhì)。 電場(chǎng)強(qiáng)度E是一個(gè)矢量點(diǎn)函數(shù)，在場(chǎng)中不同的點(diǎn)，E的大小和方向是不同的。 4. 安培力定律 安培力定律是恒定磁場(chǎng)的基本實(shí)驗(yàn)定律，也是在無(wú)限大的均勻磁介質(zhì)中總結(jié)出的實(shí)驗(yàn)定律。 庫(kù)侖定律表示兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷之間的相互作用力，我們也希望

17、能用實(shí)驗(yàn)的方法得到兩個(gè)電流元之間的相互作用力。但是通過(guò)恒定電流的導(dǎo)體必須是閉合的，通過(guò)實(shí)驗(yàn)總結(jié)出的安培力定律表示的是兩個(gè)閉合回路間的相互作用力 將被積函數(shù) 看作是電流元對(duì)電流元的作用力。但應(yīng)該注意，這個(gè)作用力不滿足牛頓第三定律，即。這是因?yàn)橐话悴皇茄刂B接電流元的直線路，而是由確定。然而，兩個(gè)恒定電流回路間的相互作用力則是滿足牛頓第三定律的，即。 5. 磁感應(yīng)強(qiáng)度 磁感應(yīng)強(qiáng)度是表征磁場(chǎng)特性的基本場(chǎng)矢量。它是通過(guò)安培力定律來(lái)定義的 式中 就稱為電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，也稱為磁通量密度。 同樣 式中 磁感應(yīng)強(qiáng)度也可以通過(guò)運(yùn)動(dòng)電荷受到的磁場(chǎng)力來(lái)定義。實(shí)驗(yàn)表明，

18、電荷q以速度v在磁場(chǎng)B中運(yùn)動(dòng)時(shí)，它受到的力為 這是洛侖茲力。此式表明，某點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小等于單位試驗(yàn)電荷以單位速率在該點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的最大磁力，即；某點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向，垂直于正電荷在該點(diǎn)受到的最大磁力的方向與電荷運(yùn)動(dòng)方向v組成的平面，并滿足右手螺旋關(guān)系，即。 磁感應(yīng)強(qiáng)度是一個(gè)矢量點(diǎn)函數(shù)。 6. 電磁感應(yīng)定律 法拉第電磁感應(yīng)定律是在特定的導(dǎo)體回路中通過(guò)實(shí)驗(yàn)總結(jié)出來(lái)的。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，導(dǎo)體回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與穿過(guò)回路的磁通量的變化率成正比。再結(jié)合楞次定律，電磁感應(yīng)定律可敘述為：閉合回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與穿過(guò)回路磁通量的變化率的負(fù)值成正比，表示為 這里是假定電動(dòng)勢(shì)的參考方向與磁通的

19、方向符合右手螺旋關(guān)系。因此，當(dāng)磁通量隨時(shí)間增加時(shí)（即），，表明感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的實(shí)際方向與假定的參考方向相反。當(dāng)磁通量隨時(shí)間減少時(shí)（即），，表明的實(shí)際方向與參考方向相同。導(dǎo)體回路中的感應(yīng)電流的方向與感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向相同。因此，導(dǎo)體回路中的感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁通總是要阻止原磁通的變化，其實(shí)質(zhì)是電磁感應(yīng)現(xiàn)象也必須遵從電磁能量守恒定律。 導(dǎo)體回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流意味著導(dǎo)體中存在著推動(dòng)電荷定向運(yùn)動(dòng)的電場(chǎng)，因此電磁感應(yīng)定律也可表示為 事實(shí)上，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的存在與否并不依賴于導(dǎo)體回路。麥克斯韋將法拉第的這一實(shí)驗(yàn)結(jié)果推廣到場(chǎng)域空間任一假想回路，提出感應(yīng)電場(chǎng)是有旋電場(chǎng)的假說(shuō)，將它總結(jié)歸納為麥克斯韋第二方程，數(shù)學(xué)表示

20、式為 電磁感應(yīng)定律的重要意義在于它揭示了電與磁相互聯(lián)系的一個(gè)重要方面，即變化的磁場(chǎng)要產(chǎn)生電場(chǎng)。 7. 位移電流 位移電流是麥克斯韋提出的另一個(gè)基本假設(shè)。麥克斯韋認(rèn)為，恒定磁場(chǎng)中的安培環(huán)路定律是不完備的，當(dāng)將它應(yīng)用于時(shí)變場(chǎng)時(shí)就出現(xiàn)矛盾。 對(duì)方程兩邊取散度，即 根據(jù)矢量分析，一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度再取散度恒等于零，故得，這個(gè)結(jié)果對(duì)恒定磁場(chǎng)是完全正確的。但在時(shí)變條件下，根據(jù)電流連續(xù)性方程應(yīng)得，兩者之間存在根本的矛盾。 為了解決這個(gè)矛盾，麥克斯韋認(rèn)為在中還必須存在另一個(gè)“電流密度”，即假設(shè)真正必須具有的形式為 式中的就是必須存在的另一個(gè)“電流密度”。將代入中，得 即

21、對(duì)兩邊取散度，即 因此，麥克斯韋假設(shè) 稱為位移電流密度。是一個(gè)矢量點(diǎn)函數(shù)，某點(diǎn)的位移電流密度等于該點(diǎn)的電位移矢量隨時(shí)間的變化率。 位移電流表明變化的電場(chǎng)也是一種電流，它可以激發(fā)磁場(chǎng)。但要注意它和真實(shí)電流（傳導(dǎo)電流和運(yùn)流電流）的區(qū)別，位移電流不表示電荷的宏觀定向運(yùn)動(dòng)，它在介質(zhì)中也會(huì)引起熱效應(yīng)，但此熱效應(yīng)不遵從焦耳定律。 在位移電流假設(shè)的基礎(chǔ)上，把安培環(huán)路定律修正為 這就是麥克斯韋第一方程。 位移電流概念的重要意義在于它揭示了電與磁相互聯(lián)系的另一個(gè)重要方面，即變化的電場(chǎng)要產(chǎn)生磁場(chǎng)。 8. 麥克斯韋方程組 麥克斯韋方程組是描述宏觀電磁現(xiàn)象的數(shù)學(xué)表示式，是電磁理論的核心和求

22、解電磁場(chǎng)問(wèn)題的基礎(chǔ)，因此是課程教學(xué)中的重點(diǎn)。 正如前面已提到的，麥克斯韋提出了兩個(gè)基本假設(shè)：一個(gè)是有旋電場(chǎng)的假設(shè)，從而把法拉第電磁感應(yīng)定律推廣應(yīng)用到任意假想回路，成為麥克斯韋第二方程，它表征變化磁場(chǎng)要產(chǎn)生電場(chǎng)。另一個(gè)是關(guān)于位移電流假設(shè)，從而推廣了電流概念，修正了安培環(huán)路定律，成為麥克斯韋第一方程，它表征變化的電場(chǎng)要產(chǎn)生磁場(chǎng)。 除了這兩個(gè)基本假設(shè)集中體現(xiàn)了麥克斯韋驚人的智慧外，還有另外兩個(gè)假設(shè)： 麥克斯韋認(rèn)定高斯定理在時(shí)變情況下也是成立的，成為麥克斯韋第四方程。在一般情況下，電場(chǎng)。對(duì)于庫(kù)侖場(chǎng)，有，可見(jiàn)這實(shí)際上是假設(shè)。因?yàn)楦袘?yīng)電場(chǎng)是有旋場(chǎng)，電力線是閉合線，因此假設(shè)它對(duì)任意閉合面的通量為零是合

23、理的。 麥克斯韋還認(rèn)定磁通連續(xù)性原理在時(shí)變情況下也是成立的，成為麥克斯韋第三方程。迄今為止尚未發(fā)現(xiàn)“磁荷”，就是這一假設(shè)正確性的證明。 麥克斯韋對(duì)宏觀電磁理論的重大貢獻(xiàn)就在于正確地提出了一些科學(xué)假設(shè)，使特定條件下得出的實(shí)驗(yàn)定律的推廣得以成立。麥克斯韋方程的正確性以為由它所得到的一系列推論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果有很好的一致性而得到證實(shí)，尤其是法國(guó)物理學(xué)家赫茲關(guān)于電磁波的發(fā)現(xiàn)，充分證實(shí)了麥克斯韋電磁理論的正確性。 9. 電磁場(chǎng)的邊界條件 在求解電磁場(chǎng)問(wèn)題中，邊界條件起定解的作用。亥姆霍茲定理指出，任一矢量場(chǎng)由它的散度、旋度和邊界條件惟一地確定。 邊界條件實(shí)際上是電磁理論的基本方程在不同媒質(zhì)分界面上的

24、一種表現(xiàn)形式，它是根據(jù)積分形式的電磁場(chǎng)方程導(dǎo)出的。 2.3 習(xí)題解答 2.1 已知半徑r=a的導(dǎo)體球面上分布著面電荷密度為的電荷，式中的為常數(shù)。試計(jì)算球面上的總電荷量。 解 球面上的總電荷量等于面電荷密度沿r=a的球面上積分，即 2.2 已知半徑為a、長(zhǎng)為L(zhǎng)的圓柱體內(nèi)分布著軸對(duì)稱的電荷 ，體電荷密度為，式中的為常數(shù)，試求圓柱體內(nèi)的總電荷量。 解 圓柱體內(nèi)的總電荷量等于體電荷密度對(duì)半徑為a、長(zhǎng)度為L(zhǎng)的圓柱體的體積分，即 2.3 電荷q均勻分布在半徑為a的導(dǎo)體球面上，當(dāng)導(dǎo)體球以角速度繞通過(guò)球心的z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，試計(jì)算導(dǎo)體球面上的面電流密度。 解 導(dǎo)體球上的面電荷密

25、度為 球面上任一點(diǎn)的位置矢量為，當(dāng)導(dǎo)體球以角速度繞通過(guò)球心的z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，該點(diǎn)的線速度為 則得導(dǎo)體球面上的面電流密度為 2.4 寬度為5cm的無(wú)限薄導(dǎo)電平面置于z=0平面內(nèi)，若有10A電流從原點(diǎn)朝向點(diǎn)P(2cm,3cm,0)流動(dòng)，如題2.4圖所示。試寫出面電流密度的表示式。 x y z O P(2,3,0) 5cm 題2.4圖 解 面電流流動(dòng)方向的單位矢量為 面電流密度的大小為 故得面電流密度矢量表示式為 2.5 一個(gè)半徑為a的球形體積內(nèi)均勻分布著總電荷量為q的電荷 ，當(dāng)球體以均勻角速度繞一

26、條直徑旋轉(zhuǎn)時(shí)，試計(jì)算球內(nèi)的電流密度。 解 球體內(nèi)的電荷體密度為 設(shè)以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)軸為z軸，則球體內(nèi)任一點(diǎn)P的位置矢量為，故該點(diǎn)的線速度為 因此，所求的電流密度矢量為 2.6 平行板真空二極管兩極板間的電荷體密度為，陰極板位于x=0處，陽(yáng)極板位于x=d處，極間電壓為；如果，橫截面，求：（1）x=0至x=d區(qū)域內(nèi)的總電荷量；（2）x=d/2至x=d區(qū)域的總電荷量。 解 （1） （2） 2.7 在真空中，點(diǎn)電荷位于點(diǎn)A(25,-30,15)cm；點(diǎn)電荷位于點(diǎn)B(-10,8,12)cm。求：（1）坐標(biāo)原點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度；（2）點(diǎn)P(1

27、5,20,50)cm處的電場(chǎng)強(qiáng)度。 解 （1）源點(diǎn)的位置矢量及其大小分別為 而場(chǎng)點(diǎn)O的位置矢量，故坐標(biāo)原點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度為 （2）場(chǎng)點(diǎn)P的位置矢量為 故 則 2.8 點(diǎn)電荷位位于點(diǎn)處，另一個(gè)點(diǎn)電荷位于處，試問(wèn)：空間是否存在E=0的點(diǎn)？ 解 在空間任意點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)為 電荷在點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)為 故在點(diǎn)處的電場(chǎng)則為。令，則有 由此得 ① ② ③ 當(dāng)或時(shí)，將式②或式③代入式①，得。所以，

28、當(dāng)或時(shí)，無(wú)解； 當(dāng)且時(shí)，由式①，有 解得 x y z P(x,y,0) (6,8,0) 6 8 O 題2.9圖 但不合題意，故僅在處電場(chǎng)強(qiáng)度。 2.9 無(wú)限長(zhǎng)線電荷通過(guò)點(diǎn)（6，8，0）且平行于z軸，線電荷密度為；試求點(diǎn)P(x,y,z)處的電場(chǎng)強(qiáng)度E。 解 線電荷沿z方向?yàn)闊o(wú)限長(zhǎng)，故電場(chǎng)分布與z無(wú)關(guān)。設(shè)點(diǎn)P位于z=0平面上，如題2.9圖所示，線電荷與點(diǎn)P的距離矢量為 根據(jù)高斯定律得點(diǎn)P處的電場(chǎng)強(qiáng)度為 2.10 半徑為a的一個(gè)半圓環(huán)上均勻分布著線電荷，如題2.10圖所示。試求垂直于半圓環(huán)所在平面的軸線上z=a處的電場(chǎng)強(qiáng)度E(0,0,a

29、)。 題 2.10圖 解 如題2.10圖所示，場(chǎng)點(diǎn)的位置矢量為，電荷元的位置矢量 故 電荷元在軸線上處的電場(chǎng)強(qiáng)度為 在半圓環(huán)上對(duì)上式積分，即得 2.11 三根長(zhǎng)度均為L(zhǎng)、線電荷密度分別為和的線電荷構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，設(shè)，試求三角形中心的電場(chǎng)強(qiáng)度。 解 根據(jù)題意建立題2.11圖所示的坐標(biāo)系。三角形中心到各邊的距離為 題2.11圖 直接利用有限長(zhǎng)直線電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度公式 得 故等邊三角形中心處的電場(chǎng)強(qiáng)度為 P(0,0,z0) r ds’

30、 E y z x 題2.12圖 2.12 一個(gè)很薄的無(wú)限大導(dǎo)體帶電平面，其上的面電荷密度為。試證明：垂直于平面的z軸上處的電場(chǎng)強(qiáng)度中，有一半是由平面上半徑為的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生的。 解 在導(dǎo)體平面上取面積元，其上所帶的電荷電荷元處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為 則整個(gè)導(dǎo)電帶電面在軸上處的電場(chǎng)強(qiáng)度為 當(dāng)時(shí)，而時(shí) 2.13 自由空間有三個(gè)無(wú)限大的均勻帶電平面：位于點(diǎn)(0,0,-4)處的平面上，位于點(diǎn)(0,0,1)處的平面上，位于點(diǎn)(0,0,4)處的平面上。試求以下各點(diǎn)的E：（1）；（2）；（3）。 解 無(wú)限大的均勻面電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)為均勻場(chǎng)，利用前面的結(jié)果得 （

31、1） （2） （3） 2.14 在下列條件下，對(duì)給定點(diǎn)求的值： （1） 求點(diǎn)處的值。 （2） 求點(diǎn)處的值。 （3） 求點(diǎn)處的值。 解 （1） （2） （3） 2.15 半徑為a的球形體積內(nèi)充滿密度為的體電荷。若已知球形體積內(nèi)外的電位移分布為 題2.16圖 dI z a o b d 式中A為常數(shù)，試求電荷密度。 解 由，得 故在區(qū)域，有 在區(qū)域 2.16 一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體球帶電荷量為q ,當(dāng)球體以均勻角速度繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)時(shí)（如題2.16圖所示），試求球心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B 解 導(dǎo)體球面上的面電荷密

32、度為，當(dāng)球體以均勻角速度繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)時(shí)，球面上位置矢量點(diǎn)處的電流面密度為 將球面劃分為無(wú)數(shù)個(gè)寬度為的細(xì)圓環(huán)，則球面上任一個(gè)寬度為細(xì)圓環(huán)的電流為 該細(xì)圓環(huán)的半徑為，細(xì)圓環(huán)平面到球心的距離，利用電流圓環(huán)的軸線上任一點(diǎn)的磁場(chǎng)公式，可得到該細(xì)圓環(huán)電流在球心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為 故整個(gè)球面電流在球心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為 y x z o I I P(0.4,0.3,0) 題2.17圖 2.17 假設(shè)電流I=8A從無(wú)限遠(yuǎn)處沿x 軸流向原點(diǎn)，再離開(kāi)原點(diǎn)沿y軸流向無(wú)限遠(yuǎn)，如題2.17圖所示。試求xy平面上一點(diǎn)P(0.4,0.3,0)處的B。 解 直接利用有限長(zhǎng)直線電流的磁

33、場(chǎng)計(jì)算公式 對(duì)于點(diǎn)單位矢量即為。因此，計(jì)算x軸上的電流在點(diǎn)P產(chǎn)生的磁場(chǎng)時(shí)， 故 同樣，計(jì)算y軸上的電流在點(diǎn)P產(chǎn)生的磁場(chǎng)時(shí)，，，，故 題2.18圖 -a a o z y x P(x,y) I 則 2.18 一條扁平的直導(dǎo)體帶，寬度為2a，中心線與z軸重合，通過(guò)的電流為I。試證明在第一象限內(nèi)任一點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 式中的、和如圖2.18圖所示。 解 將導(dǎo)體帶劃分為無(wú)數(shù)個(gè)寬度為的細(xì)條帶，每一細(xì)條帶的電流。根據(jù)安培環(huán)路定理，可得到位于處的細(xì)條帶的電流在點(diǎn)處的磁場(chǎng)為

34、 題 2.18圖（附） 故 式中的如題2.18圖（附）所示，則得 2.19 兩平行無(wú)限長(zhǎng)直線電流和，間距為d；試求每根導(dǎo)線單位長(zhǎng)度受到的安培力。 解 無(wú)限長(zhǎng)直線電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)為 此磁場(chǎng)對(duì)直線電流每單位長(zhǎng)度受到的安培力為 式中是由電流指向電流的單位矢量。 同樣，可求出直線電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)對(duì)電流每單位長(zhǎng)度受到的安培力為 2.20 在半徑a=1mm的非磁性材料圓柱形實(shí)心導(dǎo)體內(nèi)，沿z軸方向通過(guò)電流I=20A，試求：（1）處的B；（2）處的B；（3）圓柱內(nèi)單位長(zhǎng)度的總磁通。 解 （1）圓柱形導(dǎo)體內(nèi)的電流密度為 利用安培環(huán)

35、路定律得 （2）利用安培環(huán)路定律得 2.21 下面的矢量函數(shù)中哪些可能是磁場(chǎng)？如果是，求出其源量J。 （1） （圓柱坐標(biāo)系） （2） （3） （4） （球坐標(biāo)系） 解 根據(jù)靜態(tài)磁場(chǎng)的基本性質(zhì)，只有滿足的矢量函數(shù)才可能是磁場(chǎng)的場(chǎng)矢量，對(duì)于磁場(chǎng)矢量，則可由方程求出源分布。 （1）在圓柱坐標(biāo)中 可見(jiàn)矢量不是磁場(chǎng)場(chǎng)矢量。 （2） 在直角坐標(biāo)系中 故矢量是磁場(chǎng)矢量，其源分布為 （3） 故矢量是磁場(chǎng)矢量，其源分布為 （4） 在球坐標(biāo)系中 故矢量是磁場(chǎng)場(chǎng)矢量，

36、其源分布為 2.22 通過(guò)電流密度為J的均勻電流的長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體中有一平行的圓柱形空腔，其橫截面如題2.22圖所示。試計(jì)算各部分的磁感應(yīng)強(qiáng)度，并證明空腔內(nèi)的磁場(chǎng)是均勻的。 解 將題給的非對(duì)稱電流分布分解為兩個(gè)對(duì)稱電流分布的疊加：一個(gè)是電流密度均勻分布在半徑為b的圓柱內(nèi)，另一個(gè)是電流密度均勻分布在半徑為a的圓柱內(nèi)。原有的空腔被看作是同時(shí)存在和兩種電流密度。這樣就可以利用安培環(huán)路定律分別求出兩種對(duì)稱電流分布的磁場(chǎng)，再進(jìn)行疊加即可得到解答。 由安培環(huán)路定律，先求出均勻分布在半徑為b的圓柱內(nèi)的產(chǎn)生的磁場(chǎng)為 題2.22圖 同樣，均勻分布再半徑為a的圓柱內(nèi)

37、的產(chǎn)生的磁場(chǎng)為 這里和分別是點(diǎn)和到場(chǎng)點(diǎn)的位置矢量。 將和疊加，可得到空間各區(qū)域的磁場(chǎng)為 圓柱外： 圓柱內(nèi)的空腔外： 空腔內(nèi)： 式中是點(diǎn)和到點(diǎn)的位置矢量。由此可見(jiàn)，空腔內(nèi)的磁場(chǎng)是均勻的。 2.23 在xy平面上沿+x方向有均勻面電流，如題2.23圖所示。若將xy平面視為無(wú)限大，求空間任一點(diǎn)的H。 解 將面流視為很多線電流的組合。由畢奧－沙伐爾定律可以判定，沿x方向的線電流不會(huì)產(chǎn)生x方向的磁場(chǎng)。而且，沿x方向的一對(duì)位置對(duì)稱的線電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)的z分量相抵消。因此，沿x方向的面電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)只有分量。 x

38、 y z 題2.23圖 a b c d o 由于對(duì)稱性，面電流的上、下兩側(cè)的磁場(chǎng)是等值反向的。取如圖示的垂直于xy平面的矩形閉合線abcda，據(jù)安培環(huán)路定律得 因此，在區(qū)域，有 即 而在區(qū)域，則有 若表示為矢量形式，則為 式中的是面電流的外法向單位矢量。 2.24 一導(dǎo)體滑片在兩根平行的軌道上滑動(dòng)，整個(gè)裝置位于正弦時(shí)變磁場(chǎng)之中，如題2.24圖所示?；奈恢糜纱_定，軌道終端接有電阻；試求感應(yīng)電流i。 B 0.2m R y x 題2.24圖 0.7m i a b c d

39、 解 穿過(guò)導(dǎo)體回路abcda的磁通為 故得感應(yīng)電流為 2.25 平行雙線與一矩形回路共面，如題2.25圖所示。設(shè)a=0.2m，b=c=d=0.1m，，求回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。 a b c d i i 題2.25圖 解 由安培環(huán)路定律求出平行雙線中的電流在矩形回路平面任一點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為 它們的方向均為垂直于紙面向內(nèi)。 回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 式中 則 2.26 求下列情況下的位移電流密度的大?。? （1）某移動(dòng)天線發(fā)射的電磁波的磁場(chǎng)強(qiáng)度 ； （2）一大功率變壓器在空氣中產(chǎn)生

40、的磁感應(yīng)強(qiáng)度 ； （3）一大功率電容器在填充的油中產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度 設(shè)油的相對(duì)介電常數(shù)； （4）工頻下的金屬導(dǎo)體中，，設(shè)金屬導(dǎo)體的。 解 （1）由得 故 （2）由得 故 （3） 故 （4） 故 2.27 同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑a=1mm，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑b=4mm，內(nèi)外導(dǎo)體間為空氣，如題2.27圖所示。假設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體間的電場(chǎng)強(qiáng)度為 題2.27圖 z b a （1）求與E相伴的H；（2）確定k的值；（3）求內(nèi)導(dǎo)體表面的電流密度；（4）求沿軸線區(qū)域內(nèi)的位移電流。 解 （1）維系電場(chǎng)E和磁場(chǎng)H的是麥克斯韋方程。將在圓柱坐

41、標(biāo)系中展開(kāi)，得 將上式對(duì)時(shí)間t積分，得 （2）為確定k值，將上述H代入，得 將上式對(duì)時(shí)間t積分，得 將其與題給的比較，得 故 因此，同軸線內(nèi)、外導(dǎo)體之間的電場(chǎng)和磁場(chǎng)表示式分別為 （3）將內(nèi)導(dǎo)體視為理想導(dǎo)體，利用理想導(dǎo)體的邊界條件即可求出內(nèi)導(dǎo)體表面的電流密度 位移電流密度為 在區(qū)域中的位移電流則為 2.28 試將微分形式的麥克斯韋方程組寫成8個(gè)標(biāo)量方程：（1）在直角坐標(biāo)系中；（2）在圓柱坐標(biāo)系中；（3）在球坐標(biāo)系中。 解 （1）在直角坐標(biāo)系中 （2）在圓柱坐標(biāo)系中 （體電荷密度） （4）在球坐標(biāo)

42、系中 2.29 由置于和的導(dǎo)體圓柱面和z=0、z=20cm的導(dǎo)體平面圍成的圓柱形空間內(nèi)充滿的媒質(zhì)。若設(shè)定媒質(zhì)中的磁場(chǎng)強(qiáng)度為，利用麥克斯韋方程求：（1）；（2）E。 解 （1）將題設(shè)的H代入方程，得 對(duì)時(shí)間t積分，得 將代入方程，得 對(duì)時(shí)間t積分，得 將上式與題設(shè)的對(duì)比，得 故 （2）將代入中，得 2.30 媒質(zhì)1的電參數(shù)為；媒質(zhì)2的電參數(shù)為、。兩種媒質(zhì)分界面上的法向單位矢量為，由媒質(zhì)2指向媒質(zhì)1。若已知媒質(zhì)1內(nèi)鄰近分界面上的點(diǎn)P處，求P點(diǎn)處下列量的大?。?；；；。 解 （1）在分界面法線方向的分量為 （2） （3）利用磁場(chǎng)邊界條件，得 （4）利用磁場(chǎng)邊界條件，得 2.31 媒質(zhì)1的電參數(shù)為，媒質(zhì)2可視為理想導(dǎo)體。設(shè)y=0為理想導(dǎo)體表面，y>0的區(qū)域（媒質(zhì)1）內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度 試計(jì)算t=6ns時(shí)：（1）點(diǎn)P(2,0,0.3)處的面電荷密度；（2）點(diǎn)P處的H；（3）點(diǎn)P處的面電流密度。 解 （1） （2）由得 對(duì)時(shí)間t積分，得 （3） 2－27