2018高考數(shù)學(xué) 100題系列 第21題 函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)問題 文

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1、 第21題 函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)問題 I．題源探究·黃金母題 【例1】求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 【答案】1． 【解析】的定義域?yàn)椋? 由零點(diǎn)存在性定理知有零點(diǎn)．又在上是單調(diào)遞增函數(shù)，只有一個(gè)零點(diǎn)． 精彩解讀 【試題來源】人教版A版必修1P88例1． 【母題評析】本題考查了零點(diǎn)存在性定理、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷． 【思路方法】判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)可用零點(diǎn)存在性定理或利用數(shù)形結(jié)合法．而要判斷函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)，還需要借助函數(shù)的單調(diào)性． II．考場精彩·真題回放 【例2】【2017高考山東卷】已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是

2、 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且，單調(diào)遞增，且，此時(shí)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以要有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，需，故選B． 【例3】【2016高考天津卷】已知函數(shù)f（x）=（a>0，且a≠1）在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】由在上遞減可知，由方程恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，可知，，又∵時(shí)，拋物線與直線相切，也符合題意，

3、∴實(shí)數(shù)的去范圍是，故選C． 【命題意圖】本題主要考查分段函數(shù)的零點(diǎn)問題． 本題能較好的考查考生分析問題、解決問題的能力，以及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸能力等． 【考試方向】這類試題在考查題型上，通?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較大． 【難點(diǎn)中心】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路 (1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍； (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決； (3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解． 【例4】【2016高考山東卷】已知函數(shù)其中，

4、若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f（x）=b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是________________． 【答案】 【解析】畫出函數(shù)圖象如下圖所示： 由圖所示，要有三個(gè)不同的根，需要紅色部分圖象在深藍(lán)色圖象的下方，即，解得． 【命題意圖】本題主要考查二次函數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)與方程、分段函數(shù)的概念，考查學(xué)生分析問題與解決問題的能力． 【考試方向】這類試題在考查題型上，通?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較大，往往是高中數(shù)學(xué)主要知識的交匯題． 【難點(diǎn)中心】解答這類問題的關(guān)鍵在于能利用數(shù)形結(jié)合思想，通過對函數(shù)圖象的分析，轉(zhuǎn)化得到代數(shù)不等式．本題能較好的考查考生數(shù)形

5、結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、基本運(yùn)算求解能力等． III．理論基礎(chǔ)·解題原理 函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)圖象交點(diǎn)的相互轉(zhuǎn)化： 有關(guān)零點(diǎn)個(gè)數(shù)及性質(zhì)的問題會用到這三者的轉(zhuǎn)化，且這三者各具特點(diǎn)： （1）函數(shù)的零點(diǎn)：有“零點(diǎn)存在性定理”作為理論基礎(chǔ)，可通過區(qū)間端點(diǎn)值的符號和函數(shù)的單調(diào)性確定是否存在零點(diǎn)； （2）方程的根：方程的特點(diǎn)在于能夠進(jìn)行靈活的變形，從而可將等號兩邊的表達(dá)式分別構(gòu)造為兩個(gè)可分析的函數(shù)，為作圖做好鋪墊； （3）函數(shù)圖象的交點(diǎn)：通過作圖可直觀的觀察到交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并能初步判斷交點(diǎn)所在區(qū)間． 三者轉(zhuǎn)化：函數(shù)的零點(diǎn)方程的根方程的根函數(shù)與的交點(diǎn)． IV．題型攻略·深度挖掘 【考試

6、方向】 這類試題在考查題型上，通?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn)，一般綜合性較強(qiáng)，難度較大． 【技能方法】 1．已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法： （1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍； （2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決； （3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解． 2．此類問題的處理步驟： （1）作圖：可將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成方程，進(jìn)而通過構(gòu)造函數(shù)將方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象交點(diǎn)問題，并作出函數(shù)圖象； （2）確定變量范圍：通過圖象與交點(diǎn)位置確定參數(shù)和零點(diǎn)的取值范圍

7、； （3）觀察交點(diǎn)的特點(diǎn)（比如對稱性等）并選擇合適的方法處理表達(dá)式的值． 【易錯(cuò)指導(dǎo)】 對函數(shù)零點(diǎn)存在的判斷需要注意以下兩點(diǎn)：（1）函數(shù)在上連續(xù)；（2）滿足． 上述方法只能求變號零點(diǎn)，對于非變號零點(diǎn)不能用上述方法求解． 另外需要注意的是：（1）若函數(shù)的圖象在與軸相切，則零點(diǎn)通常稱為不變號零點(diǎn)； （2）函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，它是函數(shù)與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是方程的根． V．舉一反三·觸類旁通 考向1 函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷 【例1】【2018豫西南部分示范高中高三第一學(xué)期聯(lián)考】函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（ ） A． B．

8、 C． D． 【答案】B 【解析】由題干知道原函數(shù)是增函數(shù)，故可以根據(jù)零點(diǎn)存在定理得到： ，故兩點(diǎn)存在于上，故選B． 【例2】【2018齊魯名校教科研協(xié)作體山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)第一次調(diào)研】已知函數(shù) 的零點(diǎn)分別為，則 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根據(jù)函數(shù) 分別與 圖像交點(diǎn)，可知選C． 【跟蹤練習(xí)】 1．【2018河南省天一大聯(lián)考】函數(shù)的零點(diǎn)位于區(qū)間（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，所以由零點(diǎn)存在定理得零點(diǎn)位于區(qū)間，選C． 2．【2018湖北部分重點(diǎn)中學(xué)上學(xué)期

9、第一次聯(lián)考】函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 考向2 由函數(shù)零點(diǎn)的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍 【例3】【2018四川綿陽高三第一次診斷性考試】已知是函數(shù)的零點(diǎn)，是函數(shù)的零點(diǎn)，且滿足，則實(shí)數(shù)的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【名師點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是得到后，得到，然后將問題轉(zhuǎn)化成方程在上有解的問題處理．在解題的過程中分離參數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題處理，求最值時(shí)可用導(dǎo)數(shù)或基本不等式處理，具體求解中要注意合理的變形． 【例4】【2018南寧高三畢業(yè)班摸底聯(lián)

10、考】設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程（且）有且只有4個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由題意可得函數(shù)f(x)的對稱軸為x=2，周期為T=4，原方程變形為，，所以只需畫出，兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間(-2，6)的圖像，根據(jù)圖像求a的范圍，圖像如下，一定過（-1，0）點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，顯然只有一個(gè)交點(diǎn)，所以，只需要對數(shù)從點(diǎn)B，點(diǎn)C下面穿過就有4個(gè)零點(diǎn)，所以解得，選D． 【名師點(diǎn)睛】對于求不同類的兩個(gè)函數(shù)構(gòu)成的方程，我們常把方程變形為f(x)=g(x)，然后根據(jù)y=f(x)與y=g(x)的兩個(gè)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)來判斷

11、原方程根的個(gè)數(shù)．如本題把方程變形為，再畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像，根據(jù)兩個(gè)圖像有4個(gè)交點(diǎn)，求出參數(shù)a的范圍． 【例5】【2018河南省天一大聯(lián)考】已知函數(shù)若關(guān)于的方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作圖如下： 因此要使方程有3個(gè)，實(shí)數(shù)的取值范圍是 ，選D． 【名師點(diǎn)睛】對于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等． 【例6】【2

12、018山西45校高三第一次聯(lián)考】函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上分別存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 【例7】【2017江西上饒一?！恳阎嵌x域?yàn)榈膯握{(diào)函數(shù)，若對任意的，都有，且方程在區(qū)間上有兩解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由題意知必存在唯一的正實(shí)數(shù)，滿足， ①，∴ ②，由①②得： ，∴，解得．故，由方程在區(qū)間上有兩解， 即有在區(qū)間上有兩解，由，可得，當(dāng)時(shí)， ， 遞減；當(dāng)時(shí)， ， 遞增． 在處取得最大值， ， ，分別作出，和的圖象，可得兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)

13、，將的圖象向上平移，至經(jīng)過點(diǎn)，有兩個(gè)交點(diǎn)，由，即，解得，當(dāng)時(shí)，兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程兩解．故選A． 【例8】【2018河南鄭州一中模擬】已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，，若定義在上的函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________． 【答案】 ，所以，則．所以， ，畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖像與函數(shù)的圖像，由于直線是過定點(diǎn)斜率是的動直線，數(shù)形結(jié)合可知：當(dāng)與相切時(shí)，即方程有唯一解，可求得，故結(jié)合圖像可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的圖像與直線的圖像有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即定義在上的函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，應(yīng)填答案． 【名師點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是充分運(yùn)用題設(shè)條件先將函數(shù)在區(qū)間上的解

14、析表達(dá)式求出來，再畫出其圖像數(shù)形結(jié)合，從而將問題轉(zhuǎn)化為方程有唯一解，可求得，通過數(shù)形結(jié)合，求得當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的圖像與直線的圖像有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即定義在上的函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)． 【例9】【2017江蘇南師大附中模擬】函數(shù)其中，若函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】 出函數(shù)的圖像，和直線的圖像，結(jié)合函數(shù)的圖像可知：當(dāng)時(shí)，兩直線與函數(shù)共有六個(gè)不同交點(diǎn)，應(yīng)填答案． 【名師點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵關(guān)節(jié)有兩個(gè)：其一是將函數(shù)的零點(diǎn)問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化；其二是要巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想建立不等式組．求解時(shí)還要綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識確定函數(shù)的極值點(diǎn)和極值． 靈

15、活運(yùn)用所學(xué)知識和重要是數(shù)學(xué)思想進(jìn)行分析問題和解決問題是本題一大特征，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想在解決數(shù)學(xué)問題中四兩撥千斤的功能． 【跟蹤練習(xí)】 1．【2018屆山西45校高三第一次聯(lián)考】函數(shù)在區(qū)間（-1，1）和區(qū)間（1，2）上分別存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，結(jié)合二次函數(shù)圖象可知，函數(shù)在區(qū)間（-1，1）和區(qū)間（1，2）上分別存在一個(gè)零點(diǎn)時(shí)， ，解得．故選B． 2．【2018四川綿陽高三第一次診斷性考試】函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．若函數(shù)的圖象與函數(shù)（，且）的圖象有且僅有4個(gè)交點(diǎn)，則的取值集合為（ ）

16、 A． B． C． D． 【答案】C 3．【2018貴州黔東南州上學(xué)期第一次聯(lián)考】已知函數(shù)，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出函數(shù)的圖象如下： 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，有圖可知， ．故選C． 【名師點(diǎn)睛】方程的根或函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)范圍常用方法和思路 （1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍； （2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決； （3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在

17、同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解． 4．【2018四川達(dá)州模擬】已知在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為 ( ) A．（1，2） B．[1，2] C．[1，2) D．（1，2] 【答案】C 【名師點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)的圖象，解答本題關(guān)鍵是將函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)的問題，作出兩函數(shù)的圖象，判斷出參數(shù)的取值范圍，本題以形助數(shù)，是解此類題常用的方法，熟練作出相應(yīng)函數(shù)的圖象對解答本題很重要 5．【2018江西橫峰中學(xué)第一次月考】設(shè)滿足，且在上是增函數(shù)，且，若函數(shù)對所有的，當(dāng)時(shí)都成立，則的取值范圍是（ ） A． B．或

18、或 C．或或 D． 【答案】B 【解析】若函數(shù)對所有的都成立，由已知易得的最大值是1，∴，設(shè) ，欲使恒成立，則?或或，故選B． 6．【2018湖北七校聯(lián)考】已知是奇函數(shù)并且是上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C． 7．已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解

19、析】先作出的圖象，通過圖象可知，如果，則，設(shè)，即，由范圍可得：，從而，所以，而，所以． 【評注】（1）此類問題如果圖象易于作出，可先作圖以便于觀察函數(shù)特點(diǎn)； （2）本題有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，一個(gè)是引入輔助變量，從而用表示出，達(dá)到消元效果，但是要注意是有范圍的（通過數(shù)形結(jié)合需與有兩交點(diǎn)）；一個(gè)是通過圖象判斷出的范圍，從而去掉絕對值． 8．已知函數(shù)，若存在，當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍為 （ ） A． B． C． D． 【答案】C． 9．【2018江西新余一中二?！恳阎瘮?shù)的周期為2，當(dāng)時(shí)， ，如果，則函數(shù)的所有零

20、點(diǎn)之和為（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】 由題意可得，根據(jù)周期性畫出函數(shù)的圖象，以及的圖象，根據(jù)在上單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)時(shí)， ， 當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)與函數(shù)無交點(diǎn)，再根據(jù)的圖象和的圖象都關(guān)于直線對稱，結(jié)合圖象可知有個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，故選D． 【方法點(diǎn)睛】判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：(1) 直接法： 令則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)；(2) 零點(diǎn)存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性) 可確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3) 數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，畫

21、出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在一個(gè)區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，在確定函數(shù)零點(diǎn)的唯一性時(shí)往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，有時(shí)可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題． 10．【2018河北石家莊二中八月高三模擬】已知，若函數(shù)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________． 【答案】 綜上可得： 或 故答案為： 【名師點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路 (1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍； (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決； (3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解． 11．【2018廣東茂名高三五大聯(lián)盟學(xué)校9月聯(lián)考】若函數(shù)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________． 【答案】 【名師點(diǎn)睛】本題的求解過程體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的巧妙運(yùn)用，求解時(shí)先在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像，進(jìn)而借助圖像的直觀建立不等式，進(jìn)而通過解不等式求出參數(shù)的取值范圍． 15