【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué) 北師大版一輪訓(xùn)練：第2篇 第4講 二次函數(shù)性質(zhì)的再研究與冪函數(shù)

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1、 第4講　二次函數(shù)性質(zhì)的再研究與冪函數(shù) 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1．冪函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，則它的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　)． A．(0，＋∞)　 B．[0，＋∞) C．(－∞，0)　 D．(－∞，＋∞) 解析　設(shè)冪函數(shù)y＝xα，則2α＝，解得α＝－2，所以y＝x－2，故函數(shù)y＝x－2的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0)． 答案　C 2．(20xx·鎮(zhèn)安中學(xué))二次函數(shù)y＝－x2＋4x＋t圖像的頂點(diǎn)在x軸上，則t的值是(　　)． A．－4　 B．4　 C．－2　 D．2 解析　二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)在x軸上，所以Δ＝42－4×(－1)×t＝0，解得t＝－4

2、. 答案　A 3．(20xx·西安檢測(cè))若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的圖像與x軸的交點(diǎn)為(1,0)和(3,0)，則函數(shù)f(x)(　　)． A．在(－∞，2]上遞減，在[2，＋∞)上遞增 B．在(－∞，3)上遞增 C．在[1,3]上遞增 D．單調(diào)性不能確定 解析　由已知可得該函數(shù)的圖像的對(duì)稱(chēng)軸為x＝2，又二次項(xiàng)系數(shù)為1＞0，所以f(x)在(－∞，2]上是遞減的，在[2，＋∞)上是遞增的． 答案　A 4．若a＜0，則0.5a,5a,5－a的大小關(guān)系是(　　)． A．5－a＜5a＜0.5a　 B．5a＜0.5a＜5－a C．0.5a＜5－a＜5a　 D．5a＜5－a＜0.5a

3、 解析　5－a＝a，因?yàn)閍＜0時(shí)，函數(shù)y＝xa單調(diào)遞減，且＜0.5＜5，所以5a＜0.5a＜5－a. 答案　B 5．設(shè)abc＞0，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖像可能是(　　)． 解析　由A，C，D知，f(0)＝c＜0. ∵abc＞0，∴ab＜0，∴對(duì)稱(chēng)軸x＝－＞0， 知A，C錯(cuò)誤，D符合要求． 由B知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－＜0，B錯(cuò)誤． 答案　D 二、填空題 6．二次函數(shù)y＝f(x)滿足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)，且f(x)＝0有兩個(gè)實(shí)根x1，x2，則x1＋x2＝________. 解析　由f(3＋x)＝f(3－x)，知函數(shù)y＝f(

4、x)的圖像關(guān)于直線x＝3對(duì)稱(chēng)，應(yīng)有＝3?x1＋x2＝6. 答案　6 7．(20xx·南昌檢測(cè))已知函數(shù)y＝－x2＋4ax在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析　根據(jù)題意，得對(duì)稱(chēng)軸x＝2a≤1，所以a≤. 答案　 8．已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________． 解析　將方程有兩個(gè)不同的實(shí)根轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)． 作出函數(shù)f(x)的圖像，如圖，由圖像可知，當(dāng)0

5、三、解答題 9．已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且f(x)＞－2x的解集為{x|1＜x＜3}，方程f(x)＋6a＝0有兩相等實(shí)根，求f(x)的解析式． 解　設(shè)f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3) (a＜0)， 則f(x)＝ax2－4ax＋3a－2x， f(x)＋6a＝ax2－(4a＋2)x＋9a， Δ＝[－(4a＋2)]2－36a2＝0，即(5a＋1)(a－1)＝0， 解得a＝－或a＝1(舍去)． 因此f(x)的解析式為f(x)＝－x2－x－. 10．設(shè)函數(shù)y＝x2－2x，x∈[－2，a]，求函數(shù)的最小值g(a)． 解　∵函數(shù)y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴對(duì)稱(chēng)軸

6、為直線x＝1，而x＝1不一定在區(qū)間[－2，a]內(nèi)，應(yīng)進(jìn)行討論． 當(dāng)－2

7、像在y＝x的圖像的下方，作出冪函數(shù)f(x)＝xα在第一象限的圖像，由圖像可知α＜1時(shí)滿足題意，故選B. 答案　B 2．已知函數(shù)f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的圖像與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)右側(cè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)． A．(0,1)　 B．(0,1] C．(－∞，1)　 D．(－∞，1] 解析　用特殊值法．令m＝0，由f(x)＝0得x＝適合，排除A，B.令m＝1，由f(x)＝0得x＝1適合，排除C. 答案　D 二、填空題 3．已知函數(shù)f(x)＝x，給出下列四個(gè)命題： ①若x＞1，則f(x)＞1； ②若0＜x1＜x2，則f(x2)－f(x1)＞x2－x1； ③

8、若0＜x1＜x2，則x2f(x1)＜x1f(x2)； ④若0＜x1＜x2，則＜f. 其中，所有正確命題的序號(hào)是________． 解析　對(duì)于①：∵y＝x在(0，＋∞)上為增函數(shù)， ∴當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＞f(1)＝1，①正確；對(duì)于②：取x1＝，x2＝4，此時(shí)f(x1)＝，f(x2)＝2，但f(x2)－f(x1)＜x2－x1，②錯(cuò)誤；對(duì)于③：構(gòu)造函數(shù)g(x)＝＝，則g′(x)＝＝－＜0，所以g(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，當(dāng)x2＞x1＞0時(shí)，有＜，即x1f(x2)＜x2f(x1)，③錯(cuò)誤；對(duì)于④：畫(huà)出f(x)＝x在(0，＋∞)的圖像，可知＜f，④正確． 答案　①④ 三、解答題 4

9、．(20xx·江西九校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝x2＋2x.現(xiàn)已畫(huà)出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖像，如圖所示，請(qǐng)根據(jù)圖像： (1)寫(xiě)出函數(shù)f(x)(x∈R)的增區(qū)間； (2)寫(xiě)出函數(shù)f(x)(x∈R)的解析式； (3)若函數(shù)g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1,2])，求函數(shù)g(x)的最小值． 解　(1)f(x)在區(qū)間(－1,0)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增． (2)設(shè)x＞0，則－x＜0，函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝x2＋2x， ∴f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x＞0)， ∴f(x)＝ (3)g(x)＝x2－2x－2ax＋2，對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝a＋1， 當(dāng)a＋1≤1，即a≤0時(shí)，g(1)＝1－2a為最小值； 當(dāng)1＜a＋1≤2，即0＜a≤1時(shí)，g(a＋1)＝－a2－2a＋1為最小值；當(dāng)a＋1＞2，即a＞1時(shí)， g(2)＝2－4a為最小值． 綜上，g(x)min＝