【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué) 北師大版一輪訓(xùn)練：第2篇 第10講 變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

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1、 第10講　變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1．(20xx·宜春模擬)曲線(xiàn)y＝x3在原點(diǎn)處的切線(xiàn)(　　)． A．不存在 B．有1條，其方程為y＝0 C．有1條，其方程為x＝0 D．有2條，它們的方程分別為y＝0，x＝0 解析　∵y′＝3x2，∴k＝y(tǒng)′|x＝0＝0， ∴曲線(xiàn)y＝x3在原點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為y＝0. 答案　B 2．已知f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，則x0等于(　　)． A．e2　 B．e　 C．　 D．ln 2 解析　f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1， 由f′(

2、x0)＝2，即ln x0＋1＝2，解得x0＝e. 答案　B 3．(20xx·江西九校聯(lián)考)曲線(xiàn)y＝3ln x＋x＋2在點(diǎn)P0處的切線(xiàn)方程為4x－y－1＝0，則點(diǎn)P0的坐標(biāo)是(　　)． A．(0,1)　 B．(1，－1) C．(1,3)　 D．(1,0) 解析　由題意知y′＝＋1＝4，解得x＝1，此時(shí)4×1－y－1＝0，解得y＝3，∴點(diǎn)P0的坐標(biāo)是(1,3)． 答案　C 4．(20xx·煙臺(tái)期末)設(shè)函數(shù)f(x)＝xsin x＋cos x的圖像在點(diǎn)(t，f(t))處切線(xiàn)的斜率為k，則函數(shù)k＝g(t)的部分圖像為(　　)． 解析　函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)＝(xsin x＋

3、cos x)′＝xcos x，即k＝g(t)＝tcos t，則函數(shù)g(t)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，排除A，C.當(dāng)0＜t＜時(shí)，g(t)＞0，所以排除D，選B. 答案　B 5．曲線(xiàn)y＝－在點(diǎn)M處的切線(xiàn)的斜率為(　　)． A．－　 B．　 C．－　 D． 解析　y′＝＝， 故所求切線(xiàn)斜率k＝y(tǒng)′|x＝＝. 答案　B 二、填空題 6．(20xx·廣東卷)若曲線(xiàn)y＝ax2－ln x在點(diǎn)(1，a)處的切線(xiàn)平行于x軸，則a＝________. 解析　y′＝2ax－，∴y′|x＝1＝2a－1＝0，∴a＝. 答案　 7．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，則f′(2)＝_______

4、_. 解析　由題意得f′(x)＝2x＋3f′(2)， ∴f′(2)＝2×2＋3f′(2)，∴f′(2)＝－2. 答案?。? 8．(20xx·江西卷)若曲線(xiàn)y＝xα＋1(α∈R)在點(diǎn)(1,2)處的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則α＝________. 解析　y′＝αxα－1，∴斜率k＝y(tǒng)′|x＝1＝α＝＝2，∴α＝2. 答案　2 三、解答題 9．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝ex·ln x； (2)y＝x； (3)y＝x－sin cos ； (4)y＝(＋1) . 解　(1)y′＝(ex·ln x)′＝exln x＋ex·＝ex. (2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－. (

5、3)先使用三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得 y＝x－sin cos ＝x－sin x， ∴y′＝′＝x′－(sin x)′＝1－cos x. (4)先化簡(jiǎn)，y＝·－＋－1＝－x＋x－， ∴y′＝－x－－x－＝－. 10．(20xx·漢中模擬)f(x)＝ax－，g(x)＝ln x，x＞0，a∈R是常數(shù)． (1)求曲線(xiàn)y＝g(x)在點(diǎn)P(1，g(1))處的切線(xiàn)l. (2)是否存在常數(shù)a，使l也是曲線(xiàn)y＝f(x)的一條切線(xiàn)．若存在，求a的值；若不存在，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由． 解　(1)由題意知，g(1)＝0，又g′(x)＝，g′(1)＝1，所以直線(xiàn)l的方程為y＝x－1. (2)設(shè)y＝f(x)在x＝x0

6、處的切線(xiàn)為l，則有 解得此時(shí)f(2)＝1， 即當(dāng)a＝時(shí)，l是曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)Q(2,1)的切線(xiàn)． 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 一、選擇題 1．(20xx·惠州一模)設(shè)P為曲線(xiàn)C：y＝x2＋2x＋3上的點(diǎn)，且曲線(xiàn)C在點(diǎn)P處切線(xiàn)傾斜角的取值范圍是，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是(　　)． A．　 B．[－1,0] C．[0,1]　 D． 解析　設(shè)P(x0，y0)，傾斜角為α，y′＝2x＋2，則k＝tan α＝2x0＋2∈[0,1]，解得x0∈，故選A. 答案　A 2．設(shè)f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn(x)＝f′n－

7、1(x)，n∈N＋，則f2 013(x)等于(　　)． A．sin x　 B．－sin x　 C．cos x　 D．－cos x 解析　f1(x)＝f0′(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝sin x，…，由規(guī)律知，這一系列函數(shù)式值的周期為4，故f2 013(x)＝cos x. 答案　C 二、填空題 3．(20xx·武漢中學(xué)月考)已知曲線(xiàn)f(x)＝xn＋1(n∈N＋)與直線(xiàn)x＝1交于點(diǎn)P，設(shè)曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，則log2 013x1＋log2 013x2＋…

8、＋log2 013x2 012的值為_(kāi)_______． 解析　f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1， 點(diǎn)P(1,1)處的切線(xiàn)方程為y－1＝(n＋1)(x－1)， 令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝， ∴x1·x2·…·x2 012＝×××…××＝，則log2 013x1＋log2 013x2＋…＋log2 013x2 012 ＝log2 013(x1x2…x2 012)＝－1. 答案?。? 三、解答題 4．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－，曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線(xiàn)方程為7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)證明：曲線(xiàn)y＝f(x)上任

9、一點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x＝0和直線(xiàn)y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值． (1)解　方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3， 當(dāng)x＝2時(shí)，y＝.又f′(x)＝a＋，于是 解得故f(x)＝x－. (2)證明　設(shè)P(x0，y0)為曲線(xiàn)上任一點(diǎn)， 由f′(x)＝1＋知曲線(xiàn)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線(xiàn)方程為y－y0＝(x－x0)，即y－(x0－)＝(x－x0)．令x＝0，得y＝－，從而得切線(xiàn)與直線(xiàn)x＝0交點(diǎn)坐標(biāo)為.令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線(xiàn)與直線(xiàn)y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0)． 所以點(diǎn)P(x0，y0)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為|2x0|＝6. 故曲線(xiàn)y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x＝0和直線(xiàn)y＝x所圍成的三角形面積為定值，此定值為6.