【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué) 北師大版一輪訓(xùn)練：第3篇 步驟規(guī)范三角函數(shù)及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)2

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1、 步驟規(guī)范練——三角函數(shù)及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) (建議用時(shí)：90分鐘) 一、選擇題 1．(20xx·山東師大附中月考)化簡＝ (　　)． A．－2　　 B．－　　 C．－1　　 D．1 解析?。剑剑剑?. 答案　C 2．(20xx·咸陽二模)在△ABC中，A＝，AB＝2，且△ABC的面積為，則邊AC的長為 (　　)． A．1　　 B．　　 C．2　　 D． 解析　由題意知S△ABC＝×AB×AC×sin A＝×2×AC×＝，∴AC＝1. 答案　A 3．(20xx·陜西五校聯(lián)考)已知銳角α滿足cos 2α＝cos，則sin 2

2、α等于(　　)． A.　　B．－　　 C.　　D．－ 解析　∵α∈，∴2α∈(0，π)，－α∈. 又cos 2α＝cos，2α＝－α或2α＋－α＝0， ∴α＝或α＝－(舍)． ∴sin 2α＝sin ＝，故選A. 答案　A 4．(20xx·南昌模擬)已知角A為△ABC的內(nèi)角，且sin 2A＝－，則sin A－cos A＝ (　　)． A.　　 B．－　　 C．－　　 D． 解析　∵A為△ABC的內(nèi)角，且sin 2A＝2sin Acos A＝－＜0，∴sin A＞0，cos A＜0，∴sin A－cos A＞0. 又(sin A－cos A)2＝1－2si

3、n Acos A＝. ∴sin A－cos A＝. 答案　A 5．(20xx·銅川模擬)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若sin2 A＋sin2 C－sin2 B＝sin Asin C，則角B為 (　　)． A.　　 B．　　 C.π　　 D．π 解析　由正弦定理可得a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝＝＝，所以B＝. 答案　A 6．(20xx·湛江二模)若三條線段的長分別為3,5,7，則用這三條線段 (　　)． A．能組成直角三角形　　 B．能組成銳角三角形 C．能組成鈍角三角形　　 D．不能組成三角形 解析　設(shè)能構(gòu)成三角形的最大

4、邊為a＝7，所對(duì)角為A，則cos A＝＝－＜0， 故A為鈍角，即構(gòu)成的三角形為鈍角三角形． 答案　C 7．(20xx·安徽卷)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長分別為a，b， C.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，則角C＝ (　　)． A.　　 B．　　 C.　　 D． 解析　由3sin A＝5sin B，得3a＝5b，∴a＝b， 代入b＋c＝2a中，得c＝ B．由余弦定理， 得cos C＝＝－，∴C＝. 答案　B 8．(20xx·東北三校聯(lián)考)設(shè)α，β都是銳角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，則cos β＝ (　　)． A.　　

5、 B． C.或　　 D．或 解析　α，β都是銳角， 當(dāng)cos α＝時(shí)，sin α＝. 因?yàn)閏os α＝＜，所以α＞60°. 又sin(α＋β)＝＜， 所以α＋β＜60°或α＋β＞120°. 顯然α＋β＜60°不可能，所以α＋β為鈍角． 又sin(α＋β)＝，因此cos(α＋β)＝－， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－×＋×＝＝. 答案　A 9．(20xx·新課標(biāo)全國Ⅰ卷)已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，則b＝

6、(　　)． A．10　　 B．9　　 C．8　　 D．5 解析　化簡23cos2A＋cos 2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cos A＝.由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A，代入數(shù)據(jù)，得b＝5. 答案　D 10．(20xx·天津卷)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，則sin∠BAC＝(　　)． A.　　 B．　　 C.　　 D． 解析　由余弦定理，得AC2＝BA2＋BC2－2BA· BCcos B＝()2＋32－2××3cos＝5. ∴AC＝，由正弦定理＝，得 sin∠BAC＝＝＝＝. 答案　C 二、填空題 11．(

7、20xx·浙江五校聯(lián)盟聯(lián)考)已知sin＝，且x∈，則cos 2x的值為________． 解析　sin 2x＝cos＝1－2sin2 ＝1－2×2＝－， ∵x∈， ∴2x∈. ∴cos 2x＝－＝－. 答案　－ 12．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且AB＝1，BC＝4，則邊BC上的中線AD的長為________． 解析　由△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，可得B＝60°，又在△ABD中，AB＝1，BD＝2，由余弦定理可得AD＝＝. 答案　 13．(20xx·濟(jì)寧期末考試)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若b＝1，c＝，C＝π，則S△AB

8、C＝________. 解析　因?yàn)閏＞b，所以B＜C，所以由正弦定理得＝，即＝＝2，即sin B＝，所以B＝，所以A＝π－－＝.所以S△ABC＝bc sin A＝××＝. 答案　 14．(20xx·天水模擬)f(x)＝2sin2－cos 2x－1，x∈，則f(x)的最小值為________ . 解析　f(x)＝2sin2－cos 2x－1 ＝1－cos 2－cos 2x－1 ＝－cos－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝2sin，因?yàn)椤躼≤，所以≤2x－≤，所以≤sin≤1，所以1≤2sin≤2，即1≤f(x)≤2，所以f(x)的最小值為1. 答案　1 三、解答題 1

9、5．(20xx·金華十校模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin xcos x＋cos2x－，△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且f(B)＝1. (1)求角B的大??； (2)若a＝，b＝1，求c的值． 解　(1)因?yàn)閒(x)＝sin 2x＋cos 2x＝ sin， 所以f(B)＝sin＝1， 又2B＋∈， 所以2B＋＝，所以B＝. (2)法一　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得c2－3c＋2＝0，所以c＝1或c＝2. 法二　由正弦定理＝， 得sin A＝，所以A＝或A＝， 當(dāng)A＝時(shí)，C＝，所以c＝2； 當(dāng)A＝時(shí)，C＝，所以c＝1.所以c＝1或c＝

10、2. 16．(20xx·延安模擬)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的三條邊長分別是a，b，c，且滿足csin A－acos C＝0. (1)求角C的大??； (2)若cos A＝，c＝，求sin B和b的值． 解　(1)由csin A－acos C＝0 得sin Csin A－sin Acos C＝0， ∵A為△ABC的內(nèi)角，∴sin A≠0， ∴sin C－cos C＝0， 即tan C＝，所以C＝. (2)由cos A＝，得sin A＝， ∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C ＝×＋×＝. 在△ABC中，由正弦定理＝， 得b＝＝

11、＝3. 17．(20xx·濰坊一模)已知△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且 acos B＋bsin A＝ C. (1)求角A的大?。? (2)若a＝1，·＝3，求b＋c的值． 解　(1)由acos B＋bsin A＝c，得 sin Acos B＋sin Bsin A＝sin (A＋B)， 即 sin Bsin A＝cos Asin B， 所以tan A＝，故A＝. (2)由·＝3，得bccos ＝3，即bc＝2，① 又a＝1，∴1＝b2＋c2－2bccos ，② 由①②可得(b＋c)2＝7＋4，所以b＋c＝2＋. 18．(20xx·福建卷)如圖

12、，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝2，點(diǎn)M在線段PQ上． (1)若OM＝，求PM的長； (2)若點(diǎn)N在線段MQ上，且∠MON＝30°，問：當(dāng)∠POM取何值時(shí)，△OMN的面積最小？并求出面積的最小值． 解　(1)在△OMP中，∠OPM＝45°，OM＝，OP＝2， 由余弦定理得OM2＝OP2＋MP2－2×OP×MP× cos 45°， 即MP2－4MP＋3＝0，解得MP＝1或MP＝3. (2)設(shè)∠POM＝α，0°≤α≤60°， 在△OMP中，由正弦定理得＝， 所以O(shè)M＝，同理，ON＝. 故S△OMN＝×OM×ON×sin∠MON ＝× ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝. 因?yàn)?°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°， 所以當(dāng)α＝30°時(shí)，sin(2α＋30°)的最大值為1， 此時(shí)△OMN的面積取到最小值． 即∠POM＝30°時(shí) ，△OMN的面積的最小值為8－4.