【創(chuàng)新設(shè)計】高考數(shù)學(xué) 北師大版一輪訓(xùn)練：第2篇 第8講 函數(shù)與方程

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1、 第8講　函數(shù)與方程 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1．(20xx·商洛模擬)函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點個數(shù)是(　　)． A．0　 B．1　 C．2　 D．3 解析　由已知得f′(x)＝ex＋3＞0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(－1)＝e－1－3＜0，f(1)＝e＋3＞0，所以f(x)的零點個數(shù)是1，選B. 答案　B 2．在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝ex＋4x－3的零點所在的區(qū)間為(　　)． A．　 B． C．　 D． 解析　∵f(x)＝ex＋4x－3，∴f′(x)＝ex＋4＞0. ∴f(x)在其定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)．

2、 ∵f＝e－－4＜0，f(0)＝e0＋4×0－3＝－2＜0， f＝e－2＜0，f＝e－1＞0， ∴f·f＜0，故選C. 答案　C 3．若函數(shù)f(x)＝ax2－x－1有且僅有一個零點，則實數(shù)a的取值為(　　)． A．0　 B．－　 C．0或－　 D．2 解析　當(dāng)a＝0時，函數(shù)f(x)＝－x－1為一次函數(shù)，則－1是函數(shù)的零點，即函數(shù)僅有一個零點； 當(dāng)a≠0時，函數(shù)f(x)＝ax2－x－1為二次函數(shù)，并且僅有一個零點，則一元二次方程ax2－x－1＝0有兩個相等實根． ∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－. 綜上，當(dāng)a＝0或a＝－時，函數(shù)僅有一個零點． 答案　C 4．(20xx·朝陽

3、區(qū)期末)函數(shù)f(x)＝2x－－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實數(shù)a 的取值范圍是(　　)． A．(1,3)　 B．(1,2) C．(0,3)　 D．(0,2) 解析　因為函數(shù)f(x)＝2x－－a在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)f(x)＝2x－－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則有，所以0＜a＜3. 答案　C 5．已知函數(shù)f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零點分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是(　　)． A．x2＜x1＜x3　 B．x1＜x2＜x3 C．x1＜x3＜x2　 D．x3＜x2＜x1 解析　依據(jù)零點的意義，轉(zhuǎn)化為函

4、數(shù)y＝x分別和y＝－2x，y＝－ln x，y＝＋1的交點的橫坐標(biāo)大小問題，作出草圖，易得x1＜0＜x2＜1＜x3. 答案　B 二、填空題 6．若函數(shù)f(x)＝ax＋b(a≠0)有一個零點是2，那么函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點是________． 解析　由已知條件2a＋b＝0，即b＝－2a， g(x)＝－2ax2－ax＝－2ax， 則g(x)的零點是x＝0，x＝－. 答案　0，－ 7．函數(shù)f(x)＝3x－7＋ln x的零點位于區(qū)間(n，n＋1)(n∈N)內(nèi)，則n＝________. 解析　求函數(shù)f(x)＝3x－7＋ln x的零點，可以大致估算兩個相鄰自然數(shù)的函數(shù)值，如f(2

5、)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e＝1，所以f(2)＜0，f(3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f(3)＞0，所以函數(shù)f(x)的零點位于區(qū)間(2,3)內(nèi)，故n＝2. 答案　2 8．已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析　畫出f(x)＝ 的圖像，如圖． 由函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個零點，結(jié)合圖像得：0＜m＜1，即m∈(0,1)． 答案　(0,1) 三、解答題 9．函數(shù)f(x)＝x3－3x＋2. (1)求f(x)的零點； (2)求分別滿足f(x)＜0，f(x)＝0，f(x)＞0的x的取值范

6、圍． 解　f(x)＝x3－3x＋2＝x(x－1)(x＋1)－2(x－1)＝ (x－1)(x2＋x－2)＝(x－1)2(x＋2)． (1)令f(x)＝0，函數(shù)f(x)的零點為x＝1或x＝－2. (2)令f(x)＜0，得x＜－2； 所以滿足f(x)＜0的x的取值范圍是(－∞，－2)； 滿足f(x)＝0的x的取值集合是{1，－2}； 令f(x)＞0，得－2＜x＜1或x＞1，滿足f(x)＞0的x的取值范圍是(－2,1)∪(1，＋∞)． 10．若關(guān)于x的方程3x2－5x＋a＝0的一個根在(－2,0)內(nèi)，另一個根在(1,3)內(nèi)，求a的取值范圍． 解　設(shè)f(x)＝3x2－5x＋a，

7、則f(x)為開口向上的拋物線(如圖所示)． ∵f(x)＝0的兩根分別在區(qū)間(－2，0)，(1,3)內(nèi)， ∴ 即 解得－12＜a＜0. ∴所求a的取值范圍是(－12,0)． 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 一、選擇題 1．(20xx·煙臺模擬)如圖是函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的圖像，則函數(shù)g(x)＝ln x＋f′(x)的零點所在區(qū)間是(　　)． A．　 B．(1,2) C．　 D．(2,3) 解析　由f(x)的圖像知0＜b＜1，f(1)＝0，從而－2＜a＜－1，g(x)＝ln x＋2x＋a，g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，g＝ln ＋1＋a＜0，g(1)＝2＋

8、a＞0，g·g(1)＜0，故選C. 答案　C 2．(20xx·天津卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若實數(shù)a，b滿足f(a)＝0，g(b)＝0，則(　　)． A．g(a)＜0＜f(b)　 B．f(b)＜0＜g(a) C．0＜g(a)＜f(b)　 D．f(b)＜g(a)＜0 解析　由f′(x)＝ex＋1＞0知f(x)在R上單調(diào)遞增， 且f(0)＝1－2＜0，f(1)＝e－1＞0， 所以f(a)＝0時，a∈(0,1)． 又g(x)＝ln x＋x2－3在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， 且g(1)＝－2＜0，所以g(a)＜0， 由g(2)＝ln 2＋1＞0，

9、g(b)＝0，得b∈(1,2)． 又f(1)＝e－1＞0，∴f(b)＞0.故g(a)＜0＜f(b)． 答案　A 二、填空題 3．(20xx·哈爾濱四校檢測)已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且當(dāng)x∈[－1,1]時，f(x)＝|x|，函數(shù)g(x)＝則函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間[－5,5]上的零點的個數(shù)為________． 解析　函數(shù)y＝f(x)(x∈R)滿足f(x＋1)＝－f(x)，故f(x＋2)＝－f(x＋1)＝－[－f(x)]＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為2，作出x∈[－1,1]時，f(x)＝|x|的圖像，并利用周期性作出函數(shù)f(x)在[－

10、5,5]上的圖像，在同一坐標(biāo)系內(nèi)再作出g(x)在[－5,5]上的圖像，由圖像可知，函數(shù)f(x)與g(x)的圖像有9個交點，所以函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間[－5,5]上的零點的個數(shù)為9. 答案　9 三、解答題 4．(20xx·臨川模擬)已知二次函數(shù)f(x)的最小值為－4，且關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)求函數(shù)g(x)＝－4ln x的零點個數(shù)． 解　(1)∵f(x)是二次函數(shù)，且關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}， ∴f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－

11、3a，且a>0. ∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1. 故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x2－2x－3. (2)∵g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2(x>0)， ∴g′(x)＝1＋－＝. 當(dāng)x變化時，g′(x)，g(x)的取值變化情況如下： x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞) g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x)  極大值  極小值  當(dāng)0