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1、
第五篇 數(shù) 列
第2講 等差數(shù)列及其前n項和
基礎(chǔ)鞏固題組
(建議用時：40分鐘)
一、選擇題
1．(20xx·溫州二模)記Sn為等差數(shù)列{an}前n項和，若－＝1，則其公差d＝ ( )．
A. B．2
C．3 D．4
解析 由－＝1，得－＝1，
即a1＋d－＝1，∴d＝2.
答案 B
2．(20xx·濰坊期末考試)在等差數(shù)列{an}中，a5＋a6＋a7＝15，那么a3＋a4＋…＋a9等于 ( )．
A．21 B．30
C．35 D．40
解析 由題意得3a6＝15，a6＝5.所以a3＋a4＋…＋
2、a9＝7a6＝7×5＝35.
答案 C
3．(20xx·榆林模擬)在等差數(shù)列{an}中，首項a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，則m的值為 ( )．
A．37 B．36
C．20 D．19
解析 由am＝a1＋a2＋…＋a9，得(m－1)d＝9a5＝36d?m＝37.
答案 A
4．(20xx·吉安模擬){an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，已知a7＝5，S7＝21，則S10＝ ( )．
A．40 B．35
C．30 D．28
解析 設(shè)公差為d，則由已知得S7＝，即21＝，解得a1＝1，所以a7＝a1＋6d
3、，所以d＝.所以S10＝10a1＋d＝10＋×＝40.
答案 A
5．(20xx·淄博二模)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足a13＝S13＝13，則a1＝ ( )．
A．－14 B．－13
C．－12 D．－11
解析 在等差數(shù)列中，S13＝＝13，所以a1＋a13＝2，即a1＝2－a13＝2－13＝－11.
答案 D
二、填空題
6．(20xx·肇慶二模)在等差數(shù)列{an}中，a15＝33，a25＝66，則a35＝________.
解析 a25－a15＝10d＝66－33＝33，∴a35＝a25＋10d＝66＋33＝99.
答案 99
4、
7．(20xx·成都模擬)已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝1，前三項之和S3＝9，則{an}的通項an＝________.
解析 由a1＝1，S3＝9，得a1＋a2＋a3＝9，即3a1＋3d＝9，解得d＝2，∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
答案 2n－1
8．(20xx·浙江五校聯(lián)考)若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N＋)，若a2∶a3＝5∶2，則S3∶S5＝________.
解析 ＝＝＝×＝.
答案 3∶2
三、解答題
9．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an＝＋2(n－1)(n∈N＋)．
求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并求an與Sn.
證明
5、 由an＝＋2(n－1)，得Sn＝nan－2n(n－1)(n∈N＋)．
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－4(n－1)，
即an－an－1＝4，
故數(shù)列{an}是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列．
于是，an＝4n－3，Sn＝＝2n2－n(n∈N＋)．
10．(20xx·福建卷)已知等差數(shù)列{an}的公差d＝1，前n項和為Sn.
(1)若1，a1，a3成等比數(shù)列，求a1；
(2)若S5＞a1a9，求a1的取值范圍．
解 (1)因為數(shù)列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比數(shù)列，所以a＝1×(a1＋2)，即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或2.
6、(2)因為數(shù)列{an}的公差d＝1，且S5＞a1a9，所以5a1＋10＞a＋8a1，即a＋3a1－10＜0，解得－5＜a1＜2.
故a1的取值范圍是(－5,2)．
能力提升題組
(建議用時：25分鐘)
一、選擇題
1．(20xx·咸陽模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，則n＝ ( )．
A．12 B．14
C．16 D．18
解析 Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝1
7、4.
答案 B
2．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝13，S3＝S11，當(dāng)Sn最大時，n的值是 ( )．
A．5 B．6
C．7 D．8
解析 法一 由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a7＋a8＝0，根據(jù)首項等于13可推知這個數(shù)列遞減，從而得到a7＞0，a8＜0，故n＝7時，Sn最大．
法二 由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a(bǔ)1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，知當(dāng)n＝7時，Sn最大．
法三 根據(jù)a1＝13，S3＝S11，則這個數(shù)
8、列的公差不等于零，且這個數(shù)列的和先是單調(diào)遞增然后又單調(diào)遞減，根據(jù)公差不為零的等差數(shù)列的前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù)，以及二次函數(shù)圖像的對稱性，得只有當(dāng)n＝＝7時，Sn取得最大值．
答案 C
二、填空題
3．(20xx·九江一模)正項數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n∈N＋，n≥2)，則a7＝________.
解析 因為2a＝a＋a(n∈N＋，n≥2)，所以數(shù)列{a}是以a＝1為首項，以d＝a－a＝4－1＝3為公差的等差數(shù)列，所以a＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝，n≥1.所以a7＝＝.
答案
三、解答題
4．(20xx·西安模擬)已知公差大于零的等差
9、數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝，是否存在非零實數(shù)c使得{bn}為等差數(shù)列？若存在，求出c的值；若不存在，請說明理由．
解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，且d＞0，
由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a2＋a5＝a3＋a4＝22，
所以a3，a4是關(guān)于x 的方程x2－22x＋117＝0的解，所以a3＝9，a4＝13，易知a1＝1，d＝4，故通項為an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
(2)由(1)知Sn＝＝2n2－n，所以bn＝＝.
法一 所以b1＝，b2＝，b3＝(c≠0)．
令2b2＝b1＋b3，解得c＝－.
當(dāng)c＝－時，bn＝＝2n，當(dāng)n≥2時，bn－bn－1＝2.
故當(dāng)c＝－時，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列．
法二 由bn＝＝＝，
∵c≠0，∴可令c＝－，得到bn＝2n.
∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，
∴數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列．
即存在一個非零常數(shù)c＝－，使數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列．
【創(chuàng)新設(shè)計】高考數(shù)學(xué) 北師大版一輪訓(xùn)練：第5篇 第2講 等差數(shù)列及其前n項和
