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1、題型七題型七 幾何圖形探究題幾何圖形探究題類型一類型一 幾何圖形旋轉探究幾何圖形旋轉探究類型二類型二 幾何圖形動點探究幾何圖形動點探究類型三類型三 幾何圖形背景變換探究幾何圖形背景變換探究類型一類型一 幾何圖形旋轉探究幾何圖形旋轉探究典例精講例 1 如如圖圖，等邊，等邊ABC中，中，CE平分平分ACB，D 為為BC邊上一點，且邊上一點，且DECD，連接，連接BE.(1)(1)若若CE4，BC6 ，求線段，求線段BE的長；的長；(2)(2)如圖如圖，取，取BE中點中點P，連接，連接AP、PD、AD，求證：，求證：APPD且且AP PD；(3)(3)如圖如圖，把圖，把圖中的中的CDE 繞點繞點 C
2、 順時針旋轉任順時針旋轉任33意角度，然后連接意角度，然后連接BE，點，點P為為BE中點，連接中點，連接AP，PD，AD，問第，問第(2)問中的結論還成立嗎？若成立，問中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由請證明；若不成立，請說明理由(1)【思維教練思維教練】已知已知CE、BC的值的值，且且CE平分平分ACB，要求要求BE的長，則想到過點的長，則想到過點E作作BC的垂線構造直角三角形，的垂線構造直角三角形，運用勾股定理即可求解運用勾股定理即可求解解解：如解圖如解圖，過點過點E作作EGBC于于G，ABC是等邊三角形是等邊三角形，ACB60，CE平分平分ACB，例例1題解圖題解圖B
3、CE30，在在RtCEG中中，CE4，ECG30，EG2，CG2 ，BGBCCG4 ，在在RtBEG中，由勾股定理得中，由勾股定理得BE = .3322BGEG22(4 3)22 13例例1題解圖題解圖(2)【思維教練思維教練】要證要證APPD且且APPD，則只需證則只需證明明PAD30，APD90，ADP60，進進而可想到構造全等三角形，可延長而可想到構造全等三角形，可延長DP到到H，使使PHPD，連接連接AH，BH，證明證明AHD為等邊三角形，便為等邊三角形，便可利用等邊三角形的性質求解可利用等邊三角形的性質求解證明證明：如解圖如解圖，延長，延長DP到到H，使使PHPD，連連接接AH，BH
4、，P是是BE的中點，的中點，BPPE，在在BPH和和EPD中中，BPHEPD(SAS)，例例1 1題解圖題解圖PHPDHPBDPEBPEP PHBPDE，BHDE，BHDE，BHDEDC，HBDBDE180，BDE60，DBH120，HBA60，在在ABH和和ACD中中例例1 1題解圖題解圖HBDCHBADCAABAC ABHACD(SAS)，AHAD，HABDAC，HADBAC60，AHD是等邊三角形是等邊三角形，又又DPHP，APPD且且AP PD.3例例1 1題解圖題解圖(3)【思維教練】【思維教練】輔助線作法同輔助線作法同(2)(2)，延長延長DP到到M，使使DPPM，連接連接BM，A
5、M，證明證明AMD為為等邊三角形即可進而只需證得等邊三角形即可進而只需證得AMAD，MAD60即可，想到即可，想到AM、AD分別在分別在AMB和和ADC中，且中，且ABAC，則只需證明則只需證明AMBADC即可，再結合已知即可，再結合已知P為為BE、MD中點中點，CDDE，延長，延長ED交交BC于于N，便可求證便可求證 解解：成立成立 證明：如解圖證明：如解圖，延長延長DP到到M，使得使得PMPD，連連 接接AM、BM，延長延長ED交交BC于于N，在在BPM和和EPD中中，BPMEPD(SAS)，BMED, MBPDEP，例例1 1題解圖題解圖BPPEBPMEPDPMPD BMEDCD，BMD
6、E，MBNENC.又又NDC180CDE60，ACN60， 則則NDCACN60，DNC180ACNACDNDC60ACD；MBNABCABM60ABM，ABMACD， 在在ABM和和ACD中中，例例1 1題解圖題解圖 ABAC ABMACD BMCDABMACD(SAS)，AMAD，BAMCAD，MADBAC60，AMD是等邊三角形，是等邊三角形， 又又DPPM，APPD且且AP PD.3例例1 1題解圖題解圖類型二類型二 幾何圖形動點探究幾何圖形動點探究典例精講例 2 在等腰在等腰RtABC中，中，ABAC，BAC90，點，點D是斜邊是斜邊BC的中點，點的中點，點E是線段是線段AB上一上一
7、動動點點(點點E不與不與A、B重合重合)，連接，連接DE，作，作DFDE交交AC于點于點F，連接，連接EF.(1)如圖如圖，如果，如果BC4，當，當E是線段是線段AB的中點時，的中點時，求線段求線段EF的長；的長；(2)如圖如圖，求證：，求證：BC (AEAF)；(3)如圖如圖，點，點M是線段是線段EF的中點，連接的中點，連接AM，在，在線段線段AB上是否存在點上是否存在點E，使得，使得BC4AM？若存在，？若存在，求求EAM的度數；若不存在，請說明理由的度數；若不存在，請說明理由2(1)【思維教練】要求【思維教練】要求EF的長，已知點的長，已知點D、E分別為分別為BC、AB的中點，且的中點，
8、且FDE90，可想到運用中位可想到運用中位線的知識，只需證明線的知識，只需證明F為為AC的中點即可的中點即可證明證明：點點D、E分別是分別是BC、AB的中點的中點，DEAC，又又DFDE，FDEAFD90，BAC90，DFAB，點點F是是AC的中點的中點，EF是是ABC的中位線的中位線，EF BC2.12(2)(2)【思維教練】要證【思維教練】要證BC (AEAF)，觀察圖形觀察圖形可得，可得，BC AC，則只需證得則只需證得AECF即可，已知即可，已知D為為BC中點，想到連接中點，想到連接AD，證明證明ADECDF即可即可22解解：如解圖如解圖，連接，連接AD，點點D是等腰是等腰RtABC斜
9、邊的中點斜邊的中點，AD BCCD，EAD BAC45，ADBADC90，1212例例2題解圖題解圖C45，EADC，ADEADF90，CDFADF90，ADECDF，在在ADE和和CDF中中， EADC ADECDF ADCDADECDF，AEFC，BC AC (FCAF) (AEAF)222例例2題解圖題解圖（3）【思維教練思維教練】假設存在點假設存在點E，使使BC4AM，進而進而求出滿足等號成立的情況，從而可求出求出滿足等號成立的情況，從而可求出EAM的值的值解解：在線段在線段AB上存在點上存在點E，使得使得BC4AM.如解圖如解圖，連接，連接AD、DM，BC4AM，BC2AD，AD2A
10、M，在在RtEAF和和RtEDF中，中，M是是EF的中點的中點，AMDM EF，12例例2 2題解圖題解圖AMDMAD，2AMAD，即即4AMBC，顯然只有顯然只有AM和和AD共線時共線時，2AMAD，4AMBC才成立才成立，此時此時EAM45.例例2 2題解圖題解圖類型三類型三 幾何圖形背景變換探究幾何圖形背景變換探究典例精講例3(2016重慶一中半期考試重慶一中半期考試)在在ABC中，中，ABAC，D為射線為射線BC上一點，上一點，DBDA，E為射線為射線AD上一點，且上一點，且AECD，連接，連接BE.(1)如圖如圖，若，若ADB120，AC ，求，求DE的長；的長；(2)如圖如圖，若，
11、若BE2CD，連接，連接CE并延長，交并延長，交AB于點于點F，求證：求證：CE2EF；3(3)如圖如圖，若，若BEAD，垂足為點，垂足為點E，求證：，求證：AE2 BE2 AD2.1414(1)【思維教練】要求【思維教練】要求DE的長，需知的長，需知AD與與AE的長，的長，已知已知ADB120，ABAC，DBDA，可判定可判定ACD為直角三角形，結合已知為直角三角形，結合已知AECD，AC ，利用三角函數可求得利用三角函數可求得AD與與AE的長，進而的長，進而可得可得DE的長的長3解解：DBDA，ADB120，DBADAB30，ADC60，又又ABAC，CDBA30，CAD90，ADACta
12、n301，CD 2，AECD，AE2.DEAEAD1.sin30AD(2)(2)【思維教練】要證【思維教練】要證CE2EF，只需得到一條線只需得到一條線段等于段等于CE且正好等于且正好等于EF的的2 2倍即可倍即可證明證明：如解圖如解圖，過點，過點A作作 AGBC交交CF延長線于延長線于點點G，DBDA，ABAC，2ABC，ABCACB.2ACB.又又AECD，ABECAD，BEAD.例例3題解圖題解圖BE2CD，AD2CD2AE.即即AEDE.AGBC，GDCE，GAECDE，AGEDCE，GECE，AGDCAE，即即AGE為等腰三角形為等腰三角形，AGBC，1ABC，2ABC，12，F為為
13、GE的中點的中點，CEGE2EF.例例3題解圖題解圖（3）【思維教練】由所證結論是三條邊的平方和【思維教練】由所證結論是三條邊的平方和關系可聯(lián)想到用勾股定理，結合關系可聯(lián)想到用勾股定理，結合 BE2( BE)2可可知要取知要取BE的中點的中點M，而此時在而此時在RtAME中只有當中只有當AM AD時，關系式才成立，從而只需證明時，關系式才成立，從而只需證明AM AD即可，進而想到延長即可，進而想到延長AM至至N，使使M為為AN中中點，即證明點，即證明ANAD即可即可12141212證明：證明：取取BE中點中點M，延長延長AM至點至點N，使使MNAM，連連接接BN、EN，如解圖如解圖，四邊形四邊形ABNE為平行四邊形為平行四邊形，AEBN，1D. ABAC，DBDA，ABCACBBAD，又又BAC180ABCACB，D180BADABD，例例3 3題解圖題解圖BACD1.ABN1ABC，ACDBACABC，ABNACD.BNAECD，ABAC，ABNACD，ADAN2AM.BEAD，AE2ME2AM2，即即AE2( BE)2( AN)2，AE2 BE2 AD2. 14121414例例3 3題解圖題解圖
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