八年級數學下冊 17 勾股定理課件 （新版）新人教版.ppt

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第十七章勾股定理 1 斯學派 他們首先發(fā)現了勾股定理 因此 在國外人們通常稱勾股定理為畢達哥拉斯 年希臘曾經發(fā)行了一枚紀念票 定理 為了紀念畢達哥拉斯學派 1955 兩千多年前 古希臘有個畢達哥拉斯學派 他們首先發(fā)現了勾股定理 因此在國外人們通常稱勾股定理為畢達哥拉斯定理 為了紀念畢達哥拉斯學派 1955年希臘曾經發(fā)行了一枚紀念郵票 相傳 畢達哥拉斯發(fā)現這一定理時 曾宰牛百頭 廣設盛宴 表示慶賀 對這個定理的重視可想而知 勾股定理的歷史 2 相傳 一次畢達哥拉斯去朋友家作客 發(fā)現朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數量關系 勾股定理的歷史 3 我國是最早了解勾股定理的國家之一 早在三千多年前 周朝數學家商高就提出 將一根直尺折成一個直角 如果勾等于三 股等于四 那么弦就等于五 即 勾三 股四 弦五 它被記載于我國古代著名的數學著作 周髀算經 中 弦 4 勾股定理 直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 如果直角三角形兩直角邊分別為a b 斜邊為c 那么 即 5 那么勾股定理是如何證明的呢 6 4 4 8 SA SB SC C 圖甲 1 觀察圖甲 小方格的邊長為1 正方形A B C的面積各為多少 正方形A B C的面積有什么關系 7 C 圖乙 2 觀察圖乙 小方格的邊長為1 正方形A B C的面積各為多少 9 16 25 SA SB SC 正方形A B C的面積有什么關系 4 4 8 SA SB SC 圖甲 8 圖乙 2 觀察圖乙 小方格的邊長為1 9 16 25 SA SB SC 正方形A B C的面積有什么關系 4 4 8 SA SB SC 圖甲 a b c a b c 9 3 猜想a b c之間的關系 a2 b2 c2 10 11 12 a a a a b b b b c c c c 用拼圖法證明 13 用拼圖法證明 14 用拼圖法證明 S大正方形 4 S直角三角形 S小正方形 a2 b2 c2 15 勾股定理 如果直角三角形兩直角邊分別為a b 斜邊為c 那么 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 a c 勾 弦 b 股 16 勾股定理的其它證法 勾股定理是幾何中一個非常重要的定理 自古以來人們進行了大量的長期的研究 目前世界上可查到的證明方法有三百多種 17 我國有記載的最早勾股定理的證明 是三國時 我國古代數學家趙爽在他所著的 勾股圓方圖注 中 用四個全等的直角三角形拼成一個中空的正方形來證明的 每個直角三角形的面積叫朱實 中間的正方形面積叫黃實 大正方形面積叫弦實 這個圖也叫弦圖 18 大正方形面積怎么求 趙爽弦圖 結論 19 20 美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數學史上被傳為佳話人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀 簡捷 易懂 明了的證明 就把這一證法稱為 總統(tǒng) 證法 有趣的總統(tǒng)證法 21 結論變形 c2 a2 b2 直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 22 結論 在直角三角形中 已知兩邊可以求第三邊 例1在Rt ABC中 BC 24 AC 7 求AB的長 B 24 A C 7 如果將題目變?yōu)?在Rt ABC中 AB 41 BC 40 求AC的長呢 24 Rt ABC中 C是直角 AC2 BC2 AB2 八年級下冊 勾股定理 理解 例題分析 23 1 在Rt ABC中 90 1 已知 a 6 8 求c 2 已知 a 40 c 41 求b 3 已知 c 13 b 5 求a 4 已知 a b 3 4 c 15 求a b 1 在直角三角形中 已知兩邊 可求第三邊 2 可用勾股定理建立方程 常見勾股數 試一試 24 2 已知 Rt BC中 AB AC 則BC的長為 25 3 如圖 折疊長方形的一邊 使點D落在BC邊上的點F處 若AB 8 AD 10 求 EC的長 10 4 6 8 10 x E F D C B A 8 x 8 x 26 利用勾股定理證明 4 如圖 ABC中 CD AB于D求證 AC2 BC2 AB AD BD 27 18 1勾股定理2 28 1 在Rt ABC中 C 90 1 已知a 3 b 4 則c 2 已知a 6 c 10 則b 3 已知a 2 b 4 則c 2 直角三角形的兩條邊長分別為5 12 則第三邊長為 測驗 29 3 如圖 折疊長方形的一邊 使點D落在BC邊上的點F處 若AB 8 AD 10 求 EC的長 10 4 6 8 10 x E F D C B A 8 x 8 x 30 4 如圖 在 ABC中 AB AC D點在CB延長線上 求證 AD2 AB2 BD CD 31 如圖 在 ABC中 AB AC D點在CB延長線上 求證 AD2 AB2 BD CD 證明 過A作AE BC于E E AB AC BE CE 在Rt ADE中 AD2 AE2 DE2 在Rt ABE中 AB2 AE2 BE2 AD2 AB2 AE2 DE2 AE2 BE2 DE2 BE2 DE BE DE BE DE CE DE BE BD CD 32 勾股定理 如果直角三角形兩直角邊分別為a b 斜邊為c 那么 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 a c 勾 弦 b 股 33 探究1 求下列各邊長 1 1 2 45 等腰直角三角形三邊的比為1 1 45 34 探究2 求下列各邊長 1 4 30 30 30 含有30 的直角三角形三邊的比為1 2 35 練習1 在Rt ABC中 90 AB 10 1 A 30 求 BC AC 2 A 45 求 BC AC 36 A C O B D 練習2 一個3m長的梯子AB 斜靠在一豎直的墻AO上 這時AO的距離為2 5m 如果梯子的頂端A沿墻下滑0 5m 那么梯子底端B也外移0 5m嗎 37 探究3 在數軸上畫出表示的點 38 擴展 利用勾股定理作出長為的線段 1 1 39 18 1勾股定理3 40 如圖 一圓柱高8cm 底面半徑2cm 一只螞蟻從點A爬到點B處吃食 要爬行的最短路程是 的值取3 B B 8 O A 2 蛋糕 A C 探究 41 如圖 正四棱柱的底面邊長為5cm 側棱長為8cm 一只螞蟻欲從正四棱柱的底面上的點A沿棱柱側面到點C1處吃食物 那么它需要爬行的最短路徑是多少 B C A B1 C1 D1 A1 D 5 8 5 42 將四棱柱的側面展開 連結AC1 B A B1 D1 A1 D 5 5 8 43 直角三角形兩直角邊分別為5厘米 12厘米 那么斜邊上的高是多少 a b c h 44 如圖 在 ABC中 ACB 90 CD是高 若AB 13cm AC 5cm 求CD的長 A B C D C 90 AC2 BC2 AB2 八年級下冊 勾股定理 運用 45 18 1勾股定理逆定理 46 勾股定理 互逆命題 如果直角三角形兩直角邊分別為a b 斜邊為c 那么 勾股定理的逆定理 47 互逆命題 兩個命題中 如果第一個命題的題設是第二個命題的結論 而第一個命題的結論又是第二個命題的題設 那么這兩個命題叫做互逆命題 如果把其中一個叫做原命題 那么另一個叫做它的逆命題 48 互逆定理 如果一個定理的逆命題經過證明是真命題 那么它也是一個定理 這兩個定理叫做互逆定理 其中一個叫做另一個的逆定理 49 定理與逆定理 我們已經學習過哪些互逆的定理 1 任何一個命題都有逆命題 原命題與逆命題的關系是題設和結論相互轉換 2 原命題正確 逆命題不一定正確 原命題不正確 逆命題可能正確 3 一個定理未必有逆定理 50 1 等腰三角形的兩底角相等 原命題 如果一個三角形是等腰三角形 那么這個三角形的兩底角相等 逆命題 如果一個三角形的兩底角相等 那么這個三角形是等腰三角形 寫出下列命題的逆命題并判斷它們是否成立 51 2 兩直線平行 同位角相等 原命題 如果兩條直線平行 那么同位角相等 逆命題 如果同位角相等 那么兩直線平行 52 3 三內角之比為1 2 3的三角形為直角三角形 原命題 如果一個三角形三內角之比為1 2 3 那么這個三角形是直角三角形 逆命題 如果一個三角形是直角三角形 那么這個三角形三內角之比為1 2 3 53 練習 說出下列命題的逆命題 并說明這些命題的逆命題成立嗎 1 兩條直線平行 內錯角相等 2 如果兩個實數相等 那么它們的絕對值相等 3 全等三角形的對應角相等 4 到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上 54 例1判斷由a b c組成的三角形是不是直角三角形 1 a 15 b 8 c 17 2 a 13 b 15 c 14 解 152 82 225 64 289172 289 152 82 172 這個三角形是直角三角形 55 下面以a b c為邊長的三角形是不是直角三角形 如果是那么哪一個角是直角 1 a 25b 20c 15 2 a 13b 14c 15 4 a b c 3 4 5 是 是 不是 是 A 900 B 900 C 900 3 a 1b 2c 像25 20 15 能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數 稱為勾股數 56 B A 銳角三角形B 直角三角形C 鈍角三角形D 等邊三角形 1 57 已知 如圖 四邊形ABCD中 B 900 AB 3 BC 4 CD 12 AD 13 求四邊形ABCD的面積 3 4 12 13 58 分析 先來判斷a b c三邊哪條最長 可以代m n為滿足條件的特殊值來試 m 5 n 4 則a 9 b 40 c 41 c最大 ABC是直角三角形 59 自主評價 1 勾股定理的逆定理 2 什么叫做互逆命題 原命題與逆命題 3 什么稱為互為逆定理 60 勾股定理練習課 61 勾股定理 如果直角三角形兩直角邊分別為a b 斜邊為c 那么 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 a c 勾 弦 b 股 等腰直角三角形三邊的比為1 1 含有30 的直角三角形三邊的比為1 2 小結 62 1 運用勾股定理計算 知兩邊長直接求一邊 只知一邊長 可運用方程求另兩邊 對于含45度和30度的直角三角形 可用比例求邊長 2 運用勾股定理證明 構造直角三角形 63 1 直角三角形的兩條直角邊長分別為3 4 則斜邊長為 2 等腰直角三角形的腰長是1 則底邊長為 3 直角三角形中 30度的角所對的邊為5 則另兩邊長為 測驗 64 4 等腰三角形底邊上的高為8 周長為32 求 這個三角形的面積 65 5 在平面直角坐標系中 點 3 4 與原點之間的距離是 點 3 4 與點 2 1 之間的距離是 66 7 若正方形的面積為3cm2 則它的對角線長是 8 一個直角三角形的三邊為三個連續(xù)偶數 則它的三邊長分別為 6 在 ABC中 C 90 1 若c 10 a b 3 4 a b 2 若a 8 b 15 則c 67 9 已知 如圖 在Rt ABC中 C 90 1 2 CD 1 5 BD 2 5 求AC的長 68 10 如圖 一塊直角三角形的紙片 兩直角邊AC 6 BC 8 現將直角邊AC沿直線AD折疊 使它落在斜邊AB上 且與AE重合 求CD的長 A C D B E 第8題圖 69 11 如圖 在Rt ABC中 C 90 A 15 BC 1 求 ABC的面積 B C A D 70 12 ABC中 A 45 B 30 BC 8 求AC的邊長 A B C 71 13 如圖 小潁同學折疊一個直角三角形的紙片 使A與B重合 折痕為DE 若已知AC 10cm BC 6cm 你能求出CE的長嗎 C 72 14 如圖 ACB ABD 90 CA CB DAB 30 AD 8 求 AC的長 73 15 如圖 在四邊形ABCD中 BAD 900 DBC 900 AD 3 AB 4 BC 12 求CD 74 16 直角三角形兩直角邊分別為5厘米 12厘米 那么斜邊上的高是多少 75 8 ABC中 周長是24 C 90 且b 6 則三角形的面積是多少 A B C a b c 解 周長是24 且b 6 a c 24 6 18 設a x 則c 18 x C 90 a2 b2 c2 x2 62 18 x 2 解得 x 8 八年級下冊 勾股定理 運用 76 已知三角形ABC中 AB 10 BC 21 AC 17 求BC邊上的高線AD A B C D 解 設BD X 則DC 21 X AD BC AD2 AB2 BD2 102 X2 AD2 AC2 CD2 172 21 X 2 解 得X 6 102 X2 172 21 X 2 AD2 102 62 64 AD 8 77 8 ABC中 周長是 C 90 且c 2 則三角形的面積是多少 A B C a b c 八年級下冊 勾股定理 勾股定理 運用 9 直角三角形中 斜邊長是 面積為2 則三角形的周長是多少 78 如圖 在Rt ABC中 C 90 AC BC 且BC 5 求三角形ABC的面積和底邊上的高 如圖 在Rt ABC中 C 90 A 30 且AC 3 求BC的長和三角形ABC的面積 79 12 如圖 ABC中 A 45 B 30 BC 8 求AC的長 A B C D 8 4 4 4 2 八年級下冊 勾股定理 運用 80 6 如圖 四邊形ABCD中 B D 90 C 45 AD 1 BC 2 求CD的長 A B C D E 1 2 450 450 1 2 1 B 90 C 45 BC 2 2 B 90 C 45 則 E 45 ADE 90 C 45 AD 1 DE AD 1 則BE BC 2 八年級下冊 勾股定理 勾股定理 運用 81 10 如圖 在四邊形ABCD中 BAD 900 DBC 900 AD 3 AB 4 BC 12 求CD和四邊形ABCD的面積 D A B C 八年級下冊 勾股定理 勾股定理 運用 82 9 在等腰 ABC中 AB AC 13cm BC 10cm 求 ABC的面積 A B C D 13 13 10 H AB AC AD BC 作AD BC于D 八年級下冊 勾股定理 勾股定理 運用 83 2 等腰三角形底邊上的高為8 周長為32 求這個三角形的面積 8 D A B C 解 設這個三角形為ABC 高為AD 設BD為X 則AB為 16 X 由勾股定理得 X2 82 16 X 2 即X2 64 256 32X X2 X 6 S ABC BC AD 2 2 6 8 2 48 84 2 三角形ABC中 AB 10 AC 17 BC邊上的高線AD 8 求 1 BD 2 CD 3 BC 25 或7 85 例4 在下圖中 BC長為3厘米 AB長為4厘米 AF長為12厘米 求正方形CDEF的面積 AC2 32 42 52 SCDEF FC2 AF2 AC2 122 52 132 169厘米2 例5 如圖 直角三角形三邊上的半圓面積之間有什么關系 S1 S2 S3 即 兩直角邊上的半圓面積之和等于斜邊上半圓的面積 86 1 小明從家出發(fā)向正北方向走了150米 接著向正東方向走到離家250米遠的地方 小明向正東方向走了多遠 2 一架云梯長25米 斜靠在一面墻上 梯子底端離墻7米 1 這個梯子的頂端距地面有多高 2 如果梯子的頂端下滑了4米 那么梯子的底部在水平方向也滑動了4米嗎 87 鄭凱想知道學校旗桿的高 他發(fā)現旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米 當他把繩子的下端拉開5米后 發(fā)現下端剛好接觸地面 你能幫他算出旗桿的高嗎 A B C 5米 X 1 米 x米 88 如圖是一個三級臺階 它的每一級的長寬和高分別為20dm 3dm 2dm A和B是這個臺階兩個相對的端點 A點有一只螞蟻 想到B點去吃可口的食物 則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是多少 3 2 3 2 3 89 已知 在Rt ABC中 C 900 A B C的對邊分別為a b c 設 ABC的面積為S 周長為P 1 填表 2 如果a b c m 觀察上表猜想 用含有m的代數式表示 3 證明 2 中的結論 90 如圖 長方體的長為15cm 寬為10cm 高為20cm 點B離點C5cm 一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B 需要爬行的最短距離是多少 10 20 E A E C B 20 15 10 F D E F 91 10 20 B 5 10 20 A C E A E C B 20 15 10 F D E F 15 92 葭生池中今有方池一丈 葭生其中央 出水一尺 引葭赴岸 適與岸齊 問 水深 葭長各幾何 X 1 X 1尺 解 可設葭長為x尺 則水深為 x 1 尺 則有 x 1 2 52 x2 解得 x 13 所以 葭長13尺 水深12尺 葭 ji 八年級下冊 勾股定理 勾股定理 運用 93 我怎么走會最近呢 7 有一個圓柱 它的高等于12厘米 底面半徑等于3厘米 在圓柱下底面上的A點有一只螞蟻 它想從點A爬到點B 螞蟻沿著圓柱側面爬行的最短路程是多少 的值取3 高12cm B A 長18cm 的值取3 AB2 92 122 81 144 225 AB 15 cm 螞蟻爬行的最短路程是15厘米 152 94 再見 95 教學反思 教會學生找勾股數能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數 稱為勾股數 96