《電磁場與電磁波》（第四版）習(xí)題集：第3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解

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1、第3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 靜態(tài)電磁場是電磁場的一種特珠形式。當(dāng)場源（電荷、電流）不隨時間變化時，所激發(fā)的電場、磁場也不隨時間變化，稱為靜態(tài)電磁場。靜止電荷產(chǎn)生的靜電場、在導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定運動電荷形成的恒定電場以及恒定電流產(chǎn)生的恒定磁場都屬于靜態(tài)電磁場。由麥克斯韋方程組可以看出，當(dāng)場量不隨時間變化時，電場矢量滿足的方程和磁場矢量滿足的方程是相互獨立的，也就是說在靜態(tài)情況下，電場和磁場是各自存在的，我們可以分別討論。 本章將分別介紹靜電場、恒定電場和恒定磁場的分析方法，最后介紹靜電場邊值問題的解法。 3.1 靜電場分析 靜電場是靜止電荷激發(fā)的，是電磁場的一種重要的和特珠的形式。

2、 3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件 1． 基本方程 考慮到電磁場的源量（靜止電荷q）和場量（E、D）不隨時間變化這一特征，由麥克斯韋方程組得出靜電場的基本方程為 積分形式 微分形式 以及 （3.1.5） 基本方程表明靜電場是有源（通量源）無旋場，靜止電荷是產(chǎn)生靜電場通量源；電力線（E線）從正的靜止電荷發(fā)出，終于負(fù)的靜止電荷。 2. 邊界條件 在兩種電介質(zhì)的分界面上，電場強度滿足以下關(guān)系式 或 （3.1.6） 表明電場強度的切向分量是連續(xù)的。

3、 電位移矢量滿足的關(guān)系式是 或 （3.1.7） 表明在兩種媒質(zhì)的分界面上存在自由面電荷分布時，電位移矢量的法向分量是不連續(xù)的。 若分界面上不存在面電荷，即，則 或 （3.1.8） 此時，在分界面上，D的法向分量是連續(xù)的。式（3.1.8）可改寫為 可見，當(dāng)時E的法向分量是不連續(xù)的，這是因為分界面上存在束縛電荷密度。 3.1.2 電位函數(shù) 1. 電位和電位差 由靜電場的基本方程和矢量恒等式可知，電場強度矢量E可以表示為標(biāo)量函數(shù)的梯度，即 （3.1.9

4、） 式中的標(biāo)量函數(shù)稱為靜電場的電位函數(shù)，簡稱為電位，單位為V（伏特）。此式適用于任何靜止電荷產(chǎn)生的靜電場，即靜電場的電場強度矢量等于負(fù)的電位梯度。 對于點電荷的電場 考慮到以下梯度運算結(jié)果 則有 與式（3.1.9）比較，可得到點電荷q產(chǎn)生的電場的電位函數(shù)為 （3.1.10） 式中為任意常數(shù)。 應(yīng)用疊加原理，根據(jù)式（3.1.10）可得到點電荷系、線電荷、面電荷以及體電荷產(chǎn)生的電場的電位函數(shù)分別為 （3.1.11） （3.1.12）

5、 （3.1.13） （3.1.14） 通常用等位面形象地描述電位的空間分布。例如，點電荷電場的等位面是同心球面族。根據(jù)和標(biāo)量函數(shù)梯度的性質(zhì)可知，E線垂直于等位面，且總是指向電位下降最快的方向。 若已知電荷分布，則可利用式（3.1.11）～（3.1.14）求得電位函數(shù)，再利用求得電場強度。這樣做比直接求要簡單些。 在的兩端點乘，得 對上式兩端從點P到點Q沿任意路徑進行積分，得 可見，點P、Q之間的電位差的物理意義是把一個單位正電荷從點P沿任意路徑移動到點Q的過程中，電場力所做的功。 為了使電場中每一點電位具有確定的值，必須選定場中某一固定

6、點作為電位參考點，即規(guī)定該固定點的電位為零。例如，若選定Q點為電位參考點，即規(guī)定，則P點的電位為 （3.1.15） 若場源電荷分布在有限區(qū)域，通常選定無限遠(yuǎn)處為電位參考點，此時 （3.1.16） 2. 靜電位的微分方程 在均勻、線性和各向同性電介質(zhì)中，是一個常數(shù)。因此將代入中，得 故得 （3.1.17） 即靜電位滿足標(biāo)量泊松方程。若空間內(nèi)無自由電荷分布，即，則滿足拉普拉斯方程 （3.

7、1.18） 在通過解泊松方程或拉普拉斯方程求時，需應(yīng)用邊界條件來確定常數(shù)。下面介紹電位的邊界條件。 設(shè)和是介質(zhì)分界面兩側(cè)、緊貼分界面的相鄰兩點，其電位分別為和。由于在兩種介質(zhì)中E均為有限值，當(dāng)和都無限貼近分界面，即其間距時，。因此，分界面兩側(cè)的電位是相等的，即 （3.1.19） 又由可導(dǎo)出 （3.1.20） 若分界面上不存在自由面電荷，即，則上式變?yōu)? （3.1.21） 若第二種媒質(zhì)為導(dǎo)體，因達(dá)到靜電平衡后導(dǎo)

8、體內(nèi)部的電場為零，導(dǎo)體為等位體，故導(dǎo)體表面上，電位的邊界條件為 （3.1.22） 例3.1.1 求如圖2.2.3所示電偶極子的電位 解 空間任一點處的電位等于兩個點電荷的電位疊加，即 式中 ， 對遠(yuǎn)離電偶極子的場點，，則 故得 （3.1.23） 應(yīng)用球面坐標(biāo)系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場強度 （3.1.24） 顯然，此處的運算要比例2.2.1中直接計算電場強度E要簡單得多。 例3.1.2 求均勻電場的電

9、位分布。 解 選定均勻電場空間中的一點o為坐標(biāo)原點，而任意點P的位置矢量為r，則 若選擇點o為電位參考點，即，則 在球坐標(biāo)系中，取極軸與的方向一致，即，則有 在圓柱面坐標(biāo)系中，取與x軸方向一致，即，而，則有 例3.1.3 兩塊無限大接地導(dǎo)體平板分別置于x=0和x=a處，在兩板之間的x=b處有一面密度為的均勻電荷分布，如圖3.1.1所示。求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場。 解 在兩塊無限大接地導(dǎo)體平板之間，除x=b處有均勻面電荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程 o b a x y 圖3.1.1 兩塊無限大平行板

10、 方程的解為 利用邊界條件，得 處， 處， 于是有 由此解得 最后得 3.1.3 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容 電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，它是描述導(dǎo)體系統(tǒng)儲存電荷能力的物理量。我們定義兩導(dǎo)體系統(tǒng)的電容為任一導(dǎo)體上的總電荷與兩導(dǎo)體之間的電位差之比，即 （3.1.25） 電容的單位是F（法拉）。電容的大小與電荷量、電位差無關(guān)，因為該比值為常數(shù)。電容的大小只是導(dǎo)體系統(tǒng)的物理尺度及周圍電介質(zhì)的特性參數(shù)的函數(shù)。 本節(jié)介紹雙導(dǎo)體系統(tǒng)的電容計算及多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容的概念。 1．雙導(dǎo)體的電容計算 在電子與電

11、氣工程中常用的傳輸線，例如平行板線、平行雙線、同軸線都屬于雙導(dǎo)體系統(tǒng)。通常，這類傳輸線的縱向尺寸遠(yuǎn)大于橫向尺寸。因而可作為平行平面電場（二維場）來研究，只需計算傳輸線單位長度的電容。其計算步驟如下：（1）根據(jù)導(dǎo)體的幾何形狀，選取合適的坐標(biāo)系；（2）假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷+q和-q；（3）根據(jù)假定的電荷求出E；（4）由求得電位差；（5）求出比值。 圖3.1.2 平行雙線傳輸線 例3.1.4 平行雙線傳輸線的結(jié)構(gòu)如圖3.1.2所示，導(dǎo)線的半徑為a，兩導(dǎo)線軸線相距為D，且，設(shè)周圍介質(zhì)為空氣。試求傳輸線單位長度的電容。 解：設(shè)兩導(dǎo)線單位長度帶電量分別為和。由于，

12、故可近似地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩導(dǎo)線的表面上。應(yīng)用高斯定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間德平面上任一點P的電場強度為 兩導(dǎo)線間的電位差 故得平行雙線傳輸線單位長度的電容為 （3.1.26） 圖3.1.3 同軸線 b 例3.1.5 同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為，內(nèi)外導(dǎo)體間填充介電常數(shù)為的均勻電介質(zhì)，如圖3.1.3所示。試求同軸線單位長度的電容。 解 設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長度帶電量分別為和，應(yīng)用高斯定律求得內(nèi)外導(dǎo)體間任意點電場強度為 內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為 同軸線單位長度的電容

13、 （3.1.27） 2. 部分電容 在工程應(yīng)用中，經(jīng)常遇到由三個或更多的導(dǎo)體系統(tǒng)組成的多導(dǎo)體系統(tǒng)。譬如，計及大地作用的架空平行雙線傳輸線、耦合帶狀線、屏蔽多芯電纜等。在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，任何兩個導(dǎo)體間的電壓都要受到其余導(dǎo)體上的電荷的影響。因此，研究多導(dǎo)體系統(tǒng)時，必須將電容的概念推廣，引入部分電容的概念。所謂部分電容，是指多導(dǎo)體系統(tǒng)中，一個導(dǎo)體在其余導(dǎo)體的影響下，與另一個導(dǎo)體構(gòu)成的電容。 圖3.1.4 多導(dǎo)體系統(tǒng) 大地 1 2 N （1）電位系數(shù) 圖3.1.4表示N個導(dǎo)體和大地構(gòu)成的多導(dǎo)體系統(tǒng)，各導(dǎo)體的位置、形狀及周圍介質(zhì)均是固定的，取大地為電位參考點（零電位點）。當(dāng)

14、這個導(dǎo)體系統(tǒng)中的任何一個導(dǎo)體上充以一電荷時，它將以一定的方式使所有導(dǎo)體（包括充以電荷的導(dǎo)體本身）具有一定的電位。由于電位與各導(dǎo)體所帶電荷量之間成線性關(guān)系，所以各導(dǎo)體的電位為 （3.1.28a） 或表示為 （3.1.28b） 式中的稱為電位系數(shù)。下標(biāo)相同的稱為自電位系數(shù)；下標(biāo)不同的稱為互電位系數(shù)。電位系數(shù)有以下特點： （a）在數(shù)值上等于第j個導(dǎo)體上的總電量為一個單位，而其余導(dǎo)體上的總電量都為零時，第i個導(dǎo)體上的電位。即 （b）只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)

15、； （c）所有電位系數(shù)，且具有對稱性，即。 （2）電容系數(shù) 對方程（3.1.28a）求解，可得各導(dǎo)體上的電荷量 （3.1.29a） 或表示為 （3.1.29b） 式中稱為電容系數(shù)或感應(yīng)系數(shù)。下標(biāo)相同的系數(shù)稱為自電容系數(shù)或自感應(yīng)系數(shù)，下標(biāo)不同的系數(shù)稱為互電容系數(shù)或互感應(yīng)系數(shù)。電容系數(shù)具有以下特點： （a）在數(shù)值上等于第j個導(dǎo)體的電位為一個單位、而其余導(dǎo)體接地時，第i個導(dǎo)體上的電量，即 （b）只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)； （c）具有對稱性，即；互電容系

16、數(shù)，自電容系數(shù)； （d）電容系數(shù)與電位系數(shù)的關(guān)系為： 式中△是方程組（3.1.28）的電位系數(shù)組成的行列式，是行列式的余子式。 （3）部分電容 引入符號和，則方程組（3.1.29）可改寫為 （3.1.30a） 或表示為 （3.1.30b） 上式表明多導(dǎo)體系統(tǒng)中的任何一個導(dǎo)體的電荷是由N部分電荷組成。例如，導(dǎo)體1的電荷的第一部分與導(dǎo)體1的電位（即導(dǎo)體1與地之間的電壓）成正比，比值是導(dǎo)體與地之間的部分電容；第二部分與導(dǎo)體1、2間的電壓成正比，比值則為導(dǎo)體1、2間的部分電容；……。 多導(dǎo)體系統(tǒng)中，每一導(dǎo)體與地之間以及與其它導(dǎo)體之間都存在部分電容。是導(dǎo)

17、體i與地之間的部分電容，稱為導(dǎo)體i的自有部分電容。是導(dǎo)體i與導(dǎo)體j之間的部分電容，稱為導(dǎo)體i與導(dǎo)體j之間互有部分電容。部分電容有以下特點： （a）在數(shù)值上等于全部導(dǎo)體的電位都為一個單位時，第個導(dǎo)體上總電荷量的值； （b）在數(shù)值上等于第個導(dǎo)體上的電位為一個單位、其余導(dǎo)體都接地時，第個導(dǎo)體上感應(yīng)電荷的大小； （c）所有部分電容都大于零，即； （d）部分電容具有對稱性，即。 大地 1 2 圖3.1.5 大地上空的平行雙導(dǎo)線 由個導(dǎo)體構(gòu)成的系統(tǒng)共有個部分電容，這些部分電容形成一個電容網(wǎng)絡(luò)。以計及大地影響的平行雙線傳輸線為例，如圖3.1.5所示，有三個部分電容。導(dǎo)線1、2間

18、的等效輸入電容為；導(dǎo)線1和大地間的等效輸入電容為；導(dǎo)線2和大地間的等效輸入電容為；通過實驗測得和，就可計算出各個部分電容。多數(shù)實際的多導(dǎo)體系統(tǒng)的各個部分電容只有通過實驗測量得到。 3.1.4 靜電場的能量 靜電場最基本的性質(zhì)是對靜止電荷有作用力，這表明靜電場有能量。電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外界提供的能量。例如給導(dǎo)體充電時，外電源要對電荷做功，提高電荷的電位能，這就構(gòu)成了電荷系統(tǒng)的能量。 本節(jié)要討論的是靜電場的能量，故假設(shè)導(dǎo)體和介質(zhì)都是固定的，且介質(zhì)是線性和各向同性的。 1. 靜電場的能量 因為要討論的是系統(tǒng)被充電并達(dá)到穩(wěn)定后的電場能量，故應(yīng)與充電過程無關(guān)。我們假設(shè)系統(tǒng)從零開

19、始被充電，充電完畢后的最終電荷分布為、電位函數(shù)為。如果在充電過程中使各點的電荷密度按最終值的同一比例因子增加，則各點的電位也將按同一比例因子增加。也就是說，充電過程中某一時刻的電荷分布為，其電位分布就為。令從0到1，把充電過程用無數(shù)次增加微分電位的過程的疊加來表示，則當(dāng)時，對于某體積元，其電位為，欲送入微分電荷，外電源需要作的功是。因此對整個空間，外電源所作的總功為 根據(jù)能量守恒定律，外電源所作的功轉(zhuǎn)換為電場的能量，因此整個空間增加的電場能量為 充電過程完成后，系統(tǒng)的總能量為 （3.1.31） 電場能量的單位是J（焦耳）。 如果電荷是以面密度分布在曲

20、面上，則式（3.1.31）變?yōu)? （3.1.32） 注意，式（3.1.31）、（3.1.32）中，分別是電荷元、所在點的電位，積分遍及整個有電荷的區(qū)域。 對于多導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，因為每個導(dǎo)體上的電位為常數(shù)，則式（3.1.32）變?yōu)? （3.1.33） 例如，雙導(dǎo)體系統(tǒng)被充電后，導(dǎo)體1帶電荷為+q，導(dǎo)體2帶電荷為-q；電位分別為是和，則電場能量為 （3.1.34） 2. 能量密度 電場能量存在于整個電場空間。下面導(dǎo)出用電場矢量表示的計算電場能量的公式。將代入式（3.1.31）得 上式

21、中應(yīng)用了矢量公式和高斯散度定理。 在式（3.1.31）中的體積分是對整個空間的積分，因為只有那些存在電荷的空間才對積分有貢獻(xiàn)，故我們把積分區(qū)域無限擴大并不會影響積分的結(jié)果。當(dāng)積分的體積無限擴大時，包圍該體積的表面積也將無限擴大。只要電荷是分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面無限擴大時，有限區(qū)域內(nèi)的電荷就可近似為一個點電荷。這樣，就可利用點電荷產(chǎn)生的電位、電位移矢量D的以下關(guān)系 ， 故，而閉合面，故當(dāng)時，必有 則得 （3.1.35） 對于線性和各向同性介質(zhì)，，故上式可表示為 （3.1.36

22、） 上式表明電場能量儲存在電場不為零的空間，能量密度為 （3.1.37） 能量密度的單位是。 例3.1.6 半徑為a的球形空間均勻分布著體電荷密度為的電荷，試求電場能量。 解 方法之一：利用公式（3.1.36）計算 根據(jù)高斯定律求得電場強度 故 方法之二：利用公式（3.1.31）計算。 先求出電位分布 故 3.1.5 靜電力 在靜電場中，各個帶電體都要受到電場力作用。原則上，帶電體之間的靜電力可用庫侖定律來計算，但對于電荷分布形狀較為復(fù)雜的帶電體，這種計算往往是很困難的。這里介紹用虛

23、位移法來計算靜電力。 采用虛位移法計算靜電力，要用到廣義坐標(biāo)和廣義力的概念。所謂廣義坐標(biāo)，是指確定系統(tǒng)中各帶電導(dǎo)體的形狀、尺寸和位置的一組獨立幾何量；而企圖改變某一廣義坐標(biāo)的力，就稱為對應(yīng)于該坐標(biāo)的廣義力。廣義力乘上由它引起的廣義坐標(biāo)的增量，就等于所作的功。 在由N個導(dǎo)體組成的系統(tǒng)中，假設(shè)只有第i個帶電導(dǎo)體在電場力的作用下有一個廣義坐標(biāo)g發(fā)生位移，則電場力做功，系統(tǒng)的靜電能量增加量為，根據(jù)能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能關(guān)系為 （3.1.38） 式中的是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量?？煞譃橐韵聝煞N情況： 1. 假設(shè)各帶電體的電

24、荷保持不變（恒電荷系統(tǒng)） 當(dāng)?shù)趇個導(dǎo)體發(fā)生虛位移時，所有帶電體都不和外電源連接，此時，則由式（3.1.38）得 故得 （3.1.39） 式中的“－”號表明此時電場力做功是靠減少系統(tǒng)的電場能量來實現(xiàn)，因為系統(tǒng)與外電源斷開，沒有提供能量。 2.假設(shè)各帶電導(dǎo)體的電位保持不變（恒電位系統(tǒng)） 當(dāng)?shù)趇個導(dǎo)體發(fā)生虛位移時，所有導(dǎo)體應(yīng)分別與外部電源相連接。此時外部電壓源供給的能量為 根據(jù)式（3.1.33）得到系統(tǒng)的靜電能量增量為 可見，外電壓源向系統(tǒng)提供給系統(tǒng)的能量只有一半是用于靜電能量的增加，另一半則是用于電場力做功，即電場力做功等

25、于靜電能量的增量 故得 （3.1.40） 以上兩種情況得到的結(jié)果應(yīng)該是相同的。因為事實上帶電體并沒有發(fā)生位移，電場分布當(dāng)然也沒有發(fā)生變化，由式（3.1.39）和（3.1.40）求得的是所討論的系統(tǒng)在當(dāng)時狀態(tài)下的電荷和電位所對應(yīng)的靜電力。 圖3.1.6 部分填充介質(zhì)的平行板電容器 例3.1.7 有一平行板電容器，極板面積為，板間距離為，用一塊介電常數(shù)為的介質(zhì)片填充在兩極板之間（x

26、 故電容器儲存的電場能量為 當(dāng)電容器與電源相連接時，保持不變，設(shè)位移變量為x，由式（3.1.40），可得介質(zhì)片受到的靜電力為 因為，所以介質(zhì)片所受到的力有把介質(zhì)片拉入電容器極板間的趨勢。 當(dāng)電容器被充電后與電源斷開，則極板上的電荷q保持不變，電容器的儲能為 則由式（3.1.39）求得介質(zhì)片受到的靜電力為 考慮到下面的關(guān)系 同樣得到 3.2導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析 若電流密度矢量不隨時間變化，它僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)，則構(gòu)成一個恒定電流場。要在導(dǎo)電媒質(zhì)中維持恒定電流，必須存在一個恒定電場。本節(jié)將討論恒定電場的基本性質(zhì)，并將它與靜電場比較。 3.2.1

27、 恒定電場的基本方程和邊界條件 1. 基本方程 電流密度和電場強度是恒定電場的基本場矢量。我們討論的是恒定電流，要維持電流不隨時間變化，則空間的電場也必須是恒定不變的，這就要求電荷的空間分布也不隨時間變化，所以有。根據(jù)電流連續(xù)性方程，得 （3.2.1a） 相應(yīng)的微分形式 （3.2.1b） 式（3.2.1a）表明從閉合面穿出的電流恒為零，因而閉合面包圍的體積內(nèi)的電量也不隨時間改變。故我們可以得出結(jié)論：盡管電流是電荷的運動，但在恒定電流的狀態(tài)下電荷分布并不隨時間

28、改變。由此我們可以認(rèn)定恒定電場也是保守場，電場強度沿任一閉合路徑的線積分恒為零，即 （3.2.2a） 相應(yīng)的微分形式 （3.2.2b） 因而，恒定電場也可用電位梯度表示 （3.2.3） 式（3.2.1a）和（3.2.2a）是恒定電場基本方程的積分形式；式（3.2.1b）和（3.2.2b）則是對應(yīng)的微分形式。 將代入，可以導(dǎo)出均勻?qū)щ娒劫|(zhì)（常數(shù)）中的電位滿足拉普拉斯方程，即

29、 （3.2.4） 2. 邊界條件 將恒定電場基本方程的積分形式（3.2.1a）和（3.2.2a）應(yīng)用到兩種不同導(dǎo)電媒質(zhì)的分界面上，可導(dǎo)出恒定電場的邊界條件為 或 （3.2.5） 或 （3.2.6） 由于，因此，電位函數(shù)的邊界條件為 （3.2.7） （3.2.8） 應(yīng)該注意，由于導(dǎo)體內(nèi)存在恒定電場，根據(jù)邊界條件可知

30、，在導(dǎo)體表面上的電場既有法向分量，又有切向分量，電場矢量E并不垂直于表面，因而此時的導(dǎo)體表面不是等位面。由式（3.2.5）和（3.2.6）可導(dǎo)出場矢量在分界面上的折射關(guān)系 （3.2.9） 3.2.2 恒定電場與靜電場的比擬 縱觀前面的討論，我們看到均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中的恒定電場（電源外部）和均勻電介質(zhì)中的靜電場（電荷密度的區(qū)域）有很多相似之處，表3.2.1列出兩種場的基本方程和邊界條件。 表3.2.1 恒定電場與靜電場的比擬 均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中的恒定電場（電源外部） 均勻電介質(zhì)中的靜電場（的區(qū)域） 基本方程

31、 本構(gòu)關(guān)系 位函數(shù)方程 邊界條件 從表3.2.1可看出，兩種場的各個物理量之間有以下一一對應(yīng)關(guān)系：、、、。因為兩種場的電位都是拉普拉斯方程的解，所以當(dāng)兩種場用電位表示的邊界條件相同時，則兩種場的解的形式必定是相同的。因此，對于欲求解的恒定電場問題，如果對應(yīng)的具有相同邊界形狀的靜電場問題的解為已知，則恒定電場的解便可利用上面的對偶關(guān)系直接寫出，無需重新求解，這個方法也稱為靜電比擬法。 在靜電場中，兩導(dǎo)體間充滿介電常數(shù)為的均勻電介質(zhì)時的電容為 （3.2.10） 式中的q是帶正電荷的導(dǎo)體1上的電量，U是

32、兩導(dǎo)體間的電壓。 在恒定電場中兩個電極間充滿電導(dǎo)率為的均勻?qū)щ娒劫|(zhì)時的電導(dǎo)為 （3.2.11） 式中的I是從導(dǎo)體1（電極1）表面流出的電流。注意，電極是由良導(dǎo)體構(gòu)成，電極內(nèi)的電場可視為零，電極表面可視為等位面，從而導(dǎo)出式（3.2.11）。比較式（3.2.10）和（3.2.11）可看出，如果在靜電場中兩導(dǎo)體的電容為已知，則用同樣的兩個導(dǎo)體作電極時，填充均勻?qū)щ娒劫|(zhì)的電導(dǎo)就可直接從電容的表達(dá)式中將換成而得到。 靜電比擬法也在實驗中得到應(yīng)用，為了用實驗研究靜電場，常采用恒定電流來模擬靜電場，因為在恒定電場中進行測量要比在靜電場中測量容易得多。 例3.2.1 同

33、軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體之間填充一種非理想介質(zhì)（設(shè)其介電常數(shù)為，電導(dǎo)率為）；試計算同軸線單位長度的絕緣電阻。 解 方法之一：用恒定電場的基本關(guān)系式求解 假設(shè)同軸線的內(nèi)外導(dǎo)體間加恒定電壓，由于填充介質(zhì)的，介質(zhì)中的漏電流沿徑向從內(nèi)導(dǎo)體流到外導(dǎo)體。另外，內(nèi)外導(dǎo)體中有軸向電流，導(dǎo)體中存在很小的軸向電場，因而漏電介質(zhì)中也存在切向電場，但，故可忽略。介質(zhì)中任一點處的漏電流密度為 式中的I是通過半徑為的單位長度同軸圓柱面的漏電流。電場強度為 而內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為 則得同軸線單位長度的絕緣電阻（漏電阻）為 方法之二：用靜電比擬法求解 a r 圖3.2

34、.1 半球形接地器 I 由例3.1.5得到同軸線單位長度的電容為 因此，同軸線單位長度的漏電導(dǎo)為 則得絕緣電阻為 例3.2.2 計算半球形接地器的接地電阻。 解 通常要求電子、電氣設(shè)備與大地有良好的連接，將金屬物體埋入地內(nèi)，并將需接地的設(shè)備與該物體連接就構(gòu)成接地器。當(dāng)接地器埋藏不深時可近似用半球形接地器代替，如圖3.2.1所示。 接地電阻是指電流由接地器流入大地再向無限遠(yuǎn)處擴散所遇到的電阻，主要是接地器附近的大地電阻。 設(shè)大地的電導(dǎo)率為，流過接地器的電流為I，則大地中的電流密度為 故 則接地電阻為 也可用靜電比擬法求得接地電阻。均勻介質(zhì)中的孤立

35、球的電容為，故均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中孤立球的電導(dǎo)為，半球的電導(dǎo)為，故半球形接地器的接地電阻為 3.3 恒定磁場分析 恒定磁場是由恒定電流激發(fā)的，是電磁場的另一種重要的和特殊的形式。 3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件 1. 基本方程 考慮到恒定磁場的源（恒定電流）和場量（B、H）不隨時間變化這一特征，由麥克斯韋方程組得出恒定磁場的基本方程為 積分形式 微分形式 以及 （3.3.5） 基本方程表明恒定磁場是無源（無通量源）、有旋場，恒定電流是產(chǎn)生恒定磁場的漩渦源；磁力線是與源電流相交鏈的閉合曲線。 2. 邊界條

36、件 在不同磁介質(zhì)的分界面上一般都存在著磁化面電流，B和H在經(jīng)過分界面時要發(fā)生突變。在分界面上B滿足的關(guān)系式為 或 （3.3.6） 表明分界面上B的法向分量是連續(xù)的。 在分界面上H滿足的關(guān)系式為 或 （3.3.7） 若分界面上不存在自由面電流，則 或 （3.3.8） 表明此時的磁場強度切向分量是連續(xù)的。 3.3.2 矢量磁位和標(biāo)量磁位 根據(jù)恒定磁場的特征，也可以在磁場中引入位函數(shù)。 1. 矢量磁位 利用磁場的無散度特征，用一矢量的旋度來代替磁感應(yīng)強度B，這是因為一個矢

37、量的旋度再取散度恒等于零，即，而，故令 （3.3.9） 式中的A為矢量磁位，或稱磁矢位，單位是（特斯拉米）或（韋伯/米），它是一個輔助量。 根據(jù)亥姆霍茲定理，要惟一地確定一個矢量必須同時給出它的旋度和散度。因此，要惟一確定磁矢位A，必須對A的散度作一個規(guī)定。對于恒定磁場，一般規(guī)定 （3.3.10） 并稱這種規(guī)定為庫侖規(guī)范。在這種規(guī)范下，磁矢位A就被惟一確定。 在均勻、線性和各向同性磁介質(zhì)中，將代入，得 又利用矢量恒等式和庫侖規(guī)范，得到

38、 （3.3.11） 上式稱為磁矢位A的泊松方程。在無源區(qū)域，有 （3.3.12） 上式稱為磁矢位A的拉普拉斯方程。 在直角坐標(biāo)系中，、，故式（3.3.11）可表示為 由于、和均為常矢量，故上式可分解為三個分量的泊松方程，即 （3.3.13） 式（3.3.13）所示的三個分量泊松方程與靜電位的泊松方程形式相同，可以確認(rèn)它們的求解方法和所得到的解的形式也應(yīng)相同，故可參照電位的形式直接寫出 （

39、3.3.14） 將以上三個分量合并即得磁矢位泊松方程的解 （3.3.15） 上式中的，它的存在不會影響B(tài)。 同樣可以寫出 （3.3.16） （3.3.17） 可見，電流元產(chǎn)生的磁矢位是與電流元矢量平行的矢量，這是引入磁矢位的優(yōu)點之一。 根據(jù)恒定磁場在不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件 ， 以及，可得到不同媒質(zhì)分界面上磁矢位A的邊界條件為 （3.3.18） （3.3.19） 例3.

40、3.1 求小圓環(huán)電流的矢量磁位和磁場。 解 如圖3.3.1所示，小圓環(huán)的半徑為a，通過的電流為I。取小圓環(huán)位于xy平面內(nèi)，圓心與球坐標(biāo)系的原點重合。由于場具有對稱性，我們?nèi)z平面內(nèi)的一點作為場點將不失一般性。圖中 圖 3.3.1小圓環(huán)電流 故得 對于遠(yuǎn)離小圓環(huán)的區(qū)域，有，所以 將以上關(guān)系式代入式（3.3.17），得 由于在面上，故上式可寫為 （3.3.20） 式中是小圓環(huán)的面積。 利用球面坐標(biāo)系中旋度的計算公式，可得到

41、小圓環(huán)電流的遠(yuǎn)區(qū)磁感應(yīng)強度為 （3.3.21） 可見，小圓環(huán)電流的遠(yuǎn)區(qū)磁場分布與電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場分布相似，于是將小圓環(huán)電流稱為磁偶極子，并把稱為磁偶極子的磁矩，簡稱磁偶極矩，表示為 （3.3.22） 這樣，式（3.3.20）又可寫成 （3.3.23） 或 （3.3.24） x z 圖3.3.2 直線電流的矢量磁位 例3.3.2 求無限長直線

42、電流的矢量磁位。 解 先計算如圖3.3.2所示的長度為的直線電流的矢量磁位。電流元產(chǎn)生的矢量磁位 對直線l積分，得 當(dāng)時 （3.3.25） 可見，當(dāng)時，A為無限大，即無限長直線電流的矢量磁位為無限大。為了解決這一困難，我們將的點（即矢量磁位的參考點）選取在處，即令 故有 這樣做是允許的，因為在A的表示式中附加一個常矢量C，并不會影響B(tài)的計算。因此，式（3.3.25）可表示為 （3.3.26） 相應(yīng)的磁感應(yīng)強度為

43、（3.3.27） 2.標(biāo)量磁位 若所研究的空間不存在自由電流，即，則此空間內(nèi)有。因此，也可以將H表示為一個標(biāo)量函數(shù)的梯度，即 （3.3.28） 式中的稱為標(biāo)量磁位，或磁標(biāo)位。 在均勻、線性和各向同性媒質(zhì)中，將、代入中，得 即 （3.3.29） 此即標(biāo)量磁位所滿足的拉普拉斯方程。 在沒有自由電流的兩種不同媒質(zhì)的分界面上，由邊界條件和可導(dǎo)出標(biāo)量磁位的邊界條件為 （3.3.30）

44、 （3.3.31） 3.3.3 電感 在線性和各向同性媒質(zhì)中，電流回路在空間產(chǎn)生的磁場與回路中的電流成正比。因此，穿過回路的磁通量（或磁鏈）也與回路中的電流成正比。在恒定磁場中，把穿過回路的磁通量（或磁鏈）與回路中的電流的比值稱為電感系數(shù)，簡稱電感。與靜電場中定義的電容C、恒定電場中定義的電阻相似，電感只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何參數(shù)和周圍媒質(zhì)有關(guān)，與電流、磁通量無關(guān)。 電感可分為自感和互感，本節(jié)討論自感和互感的計算。 1. 自感 設(shè)回路中的電流為I，它所產(chǎn)生的磁場與回路交鏈的自感磁鏈為，則磁鏈與回路中的電流I成正比關(guān)系，其比值

45、 （3.3.32） 稱為回路的自感系數(shù)，簡稱自感。自感的單位是H（亨利）。 在計算粗導(dǎo)體回路的自感時，通常將自感表示為內(nèi)自感與外自感之和。導(dǎo)體內(nèi)部的磁場僅與部分電流相交鏈，相應(yīng)的磁鏈稱為內(nèi)磁鏈，用表示，則內(nèi)自感為 （3.3.33） 全部在導(dǎo)體外部的閉合的磁鏈稱為外磁鏈，用表示，則外自感為 （3.3.34） 回路的總自感為 （3.3.35） 圖 3.3.3 同軸電纜的橫

46、截面 下面舉例說明兩種常用的雙導(dǎo)體系統(tǒng)的自感的計算。 例3.3.3 計算同軸線單位長度的電感。 解 設(shè)同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a ，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，外導(dǎo)體的厚度可忽略不計。內(nèi)、外導(dǎo)體之間是空氣，或聚乙烯等電介質(zhì)，磁導(dǎo)率為；內(nèi)、外導(dǎo)體材料一般是金屬銅，磁導(dǎo)率也是。同軸線的橫截面如圖3.3.3所示。 設(shè)同軸線中的電流為，根據(jù)安培環(huán)路定律求得內(nèi)導(dǎo)體中任一點的磁感應(yīng)強度為 穿過由軸向為單位長度、寬為構(gòu)成的矩形面積元的磁通為 因為與這一部分磁通相交鏈的電流不是導(dǎo)體中的全部電流，而只是的一部分，兩者的關(guān)系為 所以，與相應(yīng)的磁鏈為 內(nèi)導(dǎo)體中單位長

47、度的自感磁鏈總量為 由此得到單位長度的內(nèi)自感 （3.3.36） 在內(nèi)、外導(dǎo)體之間，由安培環(huán)路定律可得到任一點磁感應(yīng)強度為 故 由此得到單位長度的外自感 同軸線單位長度的自感為 圖 3.3.4 平行雙線傳輸線 1=1 例3.3.4 計算平行雙線傳輸線單位長度的電感。 解 設(shè)導(dǎo)線的半徑為a，兩導(dǎo)線的軸線相距為D，且D>>a。導(dǎo)線及其周圍媒質(zhì)的磁導(dǎo)率皆為，兩導(dǎo)線中通過的電流為。如圖3.3.4所示。 由于，故在計算導(dǎo)線外部的磁場時，可近似地認(rèn)為電流集

48、中于導(dǎo)線的幾何軸線上。根據(jù)安培環(huán)路定理和疊加原理，可求得雙兩導(dǎo)線之間的平面上任一點的磁感應(yīng)強度為 穿過兩導(dǎo)線之間軸線方向為單位長度的面積的外磁鏈為 由此得到平行雙線傳輸線單位長度的外自感為 （3.3.37） 而兩根導(dǎo)線單位長度的內(nèi)自感為 故得平行雙線傳輸線單位長度的電感為 2. 互感 如圖3.3.5所示的兩個彼此靠近的導(dǎo)線回路和，回路中的電流產(chǎn)生的磁場除了與回路本身交鏈外，還與回路相交鏈。由回路的電流產(chǎn)生的磁場與回路相交鏈的磁鏈，稱為回路與回路間的互感磁鏈，用表示。比值

49、 （3.3.38） 稱為回路對回路間的互感系數(shù)，簡稱互感?；ジ械膯挝皇荋（亨利）。同理，回路對回路間的互感為 （3.3.39） O 圖 3.3.5兩回路間的互感 利用矢量磁位可導(dǎo)出計算互感的一般公式。圖3.3.5中，回路中的電流在回路上的任一點產(chǎn)生的矢量磁位為 則由電流產(chǎn)生磁場與回路相交鏈的磁鏈為 故 （3.3.40） 同樣，可導(dǎo)出回路對回路電流的互感為 （3.

50、3.41） 式（3.3.40）和（3.3.41）稱為紐曼公式，這是計算互感的一般公式。比較該兩式可看出，即兩個導(dǎo)線回路之間只有一個互感值。 例3.3.5 如圖3.3.6所示，長直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)線回路共面，試計算它們之間的互感。 解 設(shè)長直導(dǎo)線中通過電流I，根據(jù)安培環(huán)路定理，得 圖3.3.6 長直導(dǎo)線與三角形回路 o 穿過三角形回路面積的磁通為 式中的，故 則得長直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)線回路間的互感為 例3.3.6 兩個互相平行且共軸的圓線圈，半徑分別為和，中心相距為，設(shè)（或），求兩線圈之間的互感。 圖 3.3.7 兩個平行且共軸

51、的線圈 解 如圖3.3.7所示,，與之間的夾角，，，以及 由紐曼公式得 一般情況下，上述積分只能用橢圓積分來表示。但是若時，可進行近似 于是 本題還可以在時的條件下，利用例3.3.1的結(jié)果來求得互感M。半徑為的小圓線圈中由電流時，它在遠(yuǎn)區(qū)的矢量磁位為 在半徑為的線圈上，的值為常數(shù)，故 式中的，故 3.3.4 恒定磁場的能量 1. 磁場能量 電流回路在恒定磁場中要受到磁場力的作用而發(fā)生運動，表明恒定磁場儲存著能量。磁場

52、能量就是在建立電流的過程中由電源供給的，因為當(dāng)電流從零開始增加時，回路中感應(yīng)電動勢要阻止電流的增加，因而必須有外加電壓克服回路中的感應(yīng)電動勢。假設(shè)所有的電流回路都固定不動，即沒有機械功，同時假定導(dǎo)線中流過電流時產(chǎn)生的焦耳熱損耗可以忽略。這樣，外電源所做的功將全部轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)的磁場能量。此時，回路上的外加電壓和回路中的感應(yīng)電動勢是大小相等而方向相反的。 法拉第電磁感應(yīng)定律指出，回路中的感應(yīng)電動勢等于與回路交鏈的磁鏈的時間變化率，即回路j中的感應(yīng)電動勢為 而外加電壓等于 時間內(nèi)與回路j相連接的電源所做的功為 如果系統(tǒng)包括N個回路，增加的磁能就為

53、 （3.3.42） 回路j的磁鏈為 （3.3.43） 式中的是互感系數(shù)。當(dāng)時，是回路j的自感系數(shù)。將式（3.3.43）代入式（3.3.42）得 我們假設(shè)各回路中的電流同時從零開始以相同的百分比上升，即，則,于是 （3.3.44） 例如，當(dāng)N=1時，；當(dāng)N=2時，、、，故 將式（3.3.43）代入式（3.3.44）得 （3.3.45） 式中的A是N個回路在上的合成矢量磁位。上面的結(jié)果適用于細(xì)導(dǎo)線回路的情況，對于分布電流的情形

54、，在式（3.3.45）中代入得 （3.3.46） 上式中的積分是對所有的空間進行的。當(dāng)然，我們可以把積分區(qū)域擴大到整個空間，也不會影響到積分的值。 2.能量密度 前面導(dǎo)出的計算磁場能量的公式（3.3.45）、（3.3.46）似乎會使人們認(rèn)為磁場能量只存在于有電流的導(dǎo)體內(nèi)。實際上，磁場能量儲存在整個磁場存在的空間。下面導(dǎo)出用磁場矢量表示磁能的公式。將代入式（3.3.46）中得 注意，當(dāng)令體積趨于無限大時，上式右邊第二項積分變?yōu)榱恪Ｒ驗?、、，故被積函數(shù)至少按反比變化，而面積按變化，故時，積分變?yōu)榱?。于是得?

55、 （3.3.47） 上式的積分是對整個空間取的，當(dāng)然只有磁場不等于零的那部分空間才對積分有貢獻(xiàn)。此結(jié)果表明磁場能量儲存于場空間，被積函數(shù)可視為磁場能量密度，表示為 （3.3.48） 圖 3.3.8同軸線橫截面圖 c 能量密度的單位。 例3.3.7 求同軸線單位長度內(nèi)儲存的磁場能量。 解 如圖3.3.8所示，同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a ，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，外導(dǎo)體的外半徑為c。內(nèi)、外導(dǎo)體之間填充的介質(zhì)以及導(dǎo)體的磁導(dǎo)率均為。設(shè)電流為I，根據(jù)安培環(huán)路定律求出磁場分布

56、 由此即可求出三個區(qū)域單位長度內(nèi)的磁場能量分別為 同軸線單位長度儲存的總磁場能量為 3.3.5 磁場力 兩個載流回路間的磁場力可由安培力公式計算。但是我們常常希望與靜電力的計算類似，用磁場能量的空間變化率來計算磁場力。 為簡化討論，我們僅考慮兩個回路的情況，所得到的結(jié)果可推廣到一般情況。設(shè)回路在磁場力作用下發(fā)生了一個小的位移（這里的是一個廣義坐標(biāo)），回路保持不動。下面分別考慮當(dāng)回路位移時，兩回路磁鏈不變和電流不變這兩種情形。 （1）兩回路的磁鏈不變，即常數(shù)、常數(shù)。由于回路發(fā)生位移，兩回路中的電流必定發(fā)生改變，這樣才能維持兩回路的

57、磁鏈不變。由于和等于常數(shù)，兩回路中都沒有感應(yīng)電動勢，故與回路相連接的電源不對回路輸入能量(假定導(dǎo)線的焦耳熱損耗可以忽略)，所以回路發(fā)生位移所需的機械功只有靠磁場釋放能量來提供，即 故得 （3.3.49） （2）兩回路中電流不改變，即常數(shù)、常數(shù)。由于回路發(fā)生位移，兩回路中的磁鏈必定發(fā)生改變，因此兩個回路都有感應(yīng)電動勢。此時，外接電源必然要做功來克服感應(yīng)電動勢以保持和不變。電源所做的功為，即外接電源輸入能量的一半用于增加磁場能量，另一半則用于使回路位移所需要的機械功，即 故得 （3.3.50）

58、因兩個電流回路的磁場能量為 將其代入式(3.3.50)中，得 （3.3.51） 上式表明，在和不變的情況下，磁場能量的改變（即磁力）僅是由于互感M的改變引起的。 圖3.3.9 電磁鐵的力 應(yīng)該指出，上面假設(shè)的不變和不變是在一個回路發(fā)生位移下的兩種假定情形，無論是假定不變還是不變，求出的磁場力應(yīng)該是相同的。而且，對于不止兩個回路的情形，其中任一個回路的受力都同樣可以按式（3.3.50）。 例3.3.8 如圖3.3.9所示的一個電磁鐵，由鐵軛（繞有匝線圈的鐵芯）和銜鐵構(gòu)成。鐵軛和銜鐵的橫截面積均為，平均長度分別為和。鐵軛與

59、銜鐵之間有一很小的空氣隙，其長度為。設(shè)線圈中的電流為，鐵軛和銜鐵的磁導(dǎo)率為，若忽略漏磁和邊緣效應(yīng)，求鐵軛對銜鐵的吸引力。 解 作用在銜鐵上的磁場力有減小空氣隙的趨勢，可通過式（3.3.49）或式（3.3.50）計算。在忽略漏磁和邊緣效應(yīng)的情況下，若保持磁通不變，則和不變，儲存在鐵軛和銜鐵中的磁場能量也不變，而空氣隙中的磁場能量則要變化。于是作用在銜鐵上的磁場力為 式中是空氣隙中的磁場強度。 根據(jù)安培環(huán)路定律，有 由于和，考慮到，由上式可得到 故得到鐵軛對銜鐵的吸引力 若采用式（3.3.54）計算，則儲存在系統(tǒng)中的磁場能量 同樣得到鐵軛對銜鐵的吸引力為

60、 圖 3.3.10 共軸的圓形線圈 例3.3.8 兩個互相平行且共軸的圓形線圈，相距為，半徑分別為和，其中。兩線圈中分別載有電流和，如圖3.3.10所示。求兩線圈間的磁場力 。 解 利用例3.3.6的結(jié)果，當(dāng)時，兩線圈的互感為 據(jù)式（3.3.51）得兩線圈間的磁場力為 式中的負(fù)號表示當(dāng)與的方向相同時，為吸引力；當(dāng)與方向相反時，為排斥力。 3.4 靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理 靜態(tài)場問題通常分為兩大類：分布型問題和邊值型問題。由已知場源（電荷、電流）分布，直接從場的積分公式求空間各點的場分布，稱為分布型問題。如果已知場量在場域邊界上的值，求場

61、域內(nèi)的場分布，就屬于邊值型問題。我們已在前幾節(jié)介紹了一些簡單的分布型問題的解法，本章將介紹一些靜態(tài)場邊值問題的解法 靜態(tài)場邊值問題的解法可分為解析法和數(shù)值法。解析法給出的結(jié)果是場量的解析表示式，本章只介紹鏡像法和分離變量法。數(shù)值法則是通過數(shù)值計算，給出場量的一組離散數(shù)據(jù)，本章只介紹有限差分法。由于電子計算機技術(shù)的發(fā)展和廣泛應(yīng)用，數(shù)值法獲得極大的發(fā)展，應(yīng)用前景廣闊。 3.4.1 邊值問題的類型 靜態(tài)場的基本方程表明，在靜態(tài)場情況下，電場可用一個標(biāo)量電位來描述，磁場可用一個矢量磁位來描述，在無源（）的區(qū)域內(nèi)，磁場也可用一個標(biāo)量磁位來描述。在均勻媒質(zhì)中，位函數(shù)滿足泊松方程或拉普拉斯方程。同時，

62、在場域的邊界面上位函數(shù)還應(yīng)滿足一定的邊界條件。位函數(shù)方程和位函數(shù)的邊界條件一起構(gòu)成位函數(shù)的邊值問題。因此，靜態(tài)場問題的求解，都可歸結(jié)為在給定的邊界條件下，求解位函數(shù)的泊松方程或拉普拉斯方程。位函數(shù)方程是偏微分方程，位函數(shù)的邊界條件保證了方程的解是惟一的。從數(shù)學(xué)本質(zhì)上看，位函數(shù)的邊值問題就是偏微分方程的定解問題。 在場域V的邊界面S上給定的邊界條件有以下三種類型，相應(yīng)地把邊值問題分為三類： （1）第一類邊界條件是已知位函數(shù)在場域邊界面上各點的值，即給定 （3.4.1） 這類問題稱為第一類邊值問題或狄里赫利問題； （2）

63、第二類邊界條件是已知位函數(shù)在場域邊界面上各點的法向?qū)?shù)值，即給定 （3.4.2） 這類問題稱為第二類邊值問題或紐曼問題； （3）第三類邊界條件是已知一部分邊界面上位函數(shù)的值，而在另一部分邊界面上已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即給定 和 （3.4.3） 這里。這類問題稱為第三類邊值問題或混合邊值問題。 如果場域延伸到無限遠(yuǎn)處，還必須給出無限遠(yuǎn)處的邊界條件。對于源分布在有限區(qū)域的情況，在無限遠(yuǎn)處的位函數(shù)應(yīng)為有限值，即給出 有限值

64、（3.4.4） 稱為自然邊界條件。 此外，若整個場域內(nèi)，同時存在幾種不同的均勻介質(zhì)，則位函數(shù)還應(yīng)滿足不同介質(zhì)分界面上的邊界條件。 3.4.2 惟一性定理 惟一性定理是邊值問題的一個重要定理，表述為：在場域的邊界面上給定或的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域內(nèi)具有惟一解。 下面采用反證法對惟一性定理做出證明。設(shè)在邊界面包圍的場域內(nèi)有兩個位函數(shù)和都滿足泊松方程，即 和 令，則在場域內(nèi) 由于 將上式在整個場域上積分并利用散度定理，有 （3.4.5） 對于第一類邊值問題，在整個邊界面上；對于第二類邊值問題，在整個邊界面上；對于第三

65、類邊值問題，在邊界面的部分上，在邊界面的部分上。 因此，無論是哪一類邊值問題，由式（3.4.5）都將得到 由于是非負(fù)的，要使上式成立，必須在場域內(nèi)處處有。這表明在整個場域內(nèi)恒為常數(shù)，即 對于第一類邊值問題，由于在邊界面上，所以。故在整個場域內(nèi)有，即。 對于第二類邊值問題，若與取同一個參考點，則在參考點處，所以，故在整個場域內(nèi)也有。 對于第三類邊值問題，由于，所以，故在整個場域內(nèi)也有。 惟一性定理具有非常重要的意義，首先它指出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件，在邊界面上的任一點只須給定或的值，而不能同時給定兩者的值。其次惟一性定理也為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù)，

66、為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)。根據(jù)惟一性定理，在求解邊值問題時，無論采用什么方法，只要求出的位函數(shù)既滿足相應(yīng)的泊松方程(或拉普拉斯方程)，又滿足給定的邊界條件，則此函數(shù)就是所求出的惟一正確解。 3.5 鏡像法 在靜電場中，如果遇到電荷（稱為原電荷）附近存在一定形狀的導(dǎo)體，此時導(dǎo)體表面會出現(xiàn)感應(yīng)電荷。這樣，導(dǎo)體外部空間的總電場就等于原電荷產(chǎn)生的電場與感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場的疊加。在一般情況下，直接求解這類問題是困難的，這是因為導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷也是未知量，它也取決于總電場。但是，如果原電荷是點電荷、線電荷，且導(dǎo)體形狀是平面、球、圓柱等簡單形狀，就可采用鏡像法來求解這類問題。 鏡像法的基本思想，是在所研究的場域以外的某些適當(dāng)?shù)奈恢蒙希靡恍┨撛O(shè)的電荷（稱為鏡像電荷）等效替代導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷或介質(zhì)分界面上的極化電荷。這樣就把原來的邊值問題的求解轉(zhuǎn)換為均勻無界空間中的問題來求解。根據(jù)惟一性定理，只要虛設(shè)電荷與場域內(nèi)原有的實際電荷一起所產(chǎn)生的電場滿足原問題所給定的邊界條件，所得結(jié)果就是原問題的解。 應(yīng)用鏡像法求解的關(guān)鍵在于如何確定像電荷。根據(jù)惟一性定理，鏡像電荷的確定應(yīng)遵循的兩條原則：