《電磁場(chǎng)與電磁波》（第四版）習(xí)題集：第3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解

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1、第3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解 靜態(tài)電磁場(chǎng)是電磁場(chǎng)的一種特珠形式。當(dāng)場(chǎng)源（電荷、電流）不隨時(shí)間變化時(shí)，所激發(fā)的電場(chǎng)、磁場(chǎng)也不隨時(shí)間變化，稱為靜態(tài)電磁場(chǎng)。靜止電荷產(chǎn)生的靜電場(chǎng)、在導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定運(yùn)動(dòng)電荷形成的恒定電場(chǎng)以及恒定電流產(chǎn)生的恒定磁場(chǎng)都屬于靜態(tài)電磁場(chǎng)。由麥克斯韋方程組可以看出，當(dāng)場(chǎng)量不隨時(shí)間變化時(shí)，電場(chǎng)矢量滿足的方程和磁場(chǎng)矢量滿足的方程是相互獨(dú)立的，也就是說(shuō)在靜態(tài)情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)是各自存在的，我們可以分別討論。 本章將分別介紹靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)的分析方法，最后介紹靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法。 3.1 靜電場(chǎng)分析 靜電場(chǎng)是靜止電荷激發(fā)的，是電磁場(chǎng)的一種重要的和特珠的形式。

2、 3.1.1 靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件 1． 基本方程 考慮到電磁場(chǎng)的源量（靜止電荷q）和場(chǎng)量（E、D）不隨時(shí)間變化這一特征，由麥克斯韋方程組得出靜電場(chǎng)的基本方程為 積分形式 微分形式 以及 （3.1.5） 基本方程表明靜電場(chǎng)是有源（通量源）無(wú)旋場(chǎng)，靜止電荷是產(chǎn)生靜電場(chǎng)通量源；電力線（E線）從正的靜止電荷發(fā)出，終于負(fù)的靜止電荷。 2. 邊界條件 在兩種電介質(zhì)的分界面上，電場(chǎng)強(qiáng)度滿足以下關(guān)系式 或 （3.1.6） 表明電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的。

3、 電位移矢量滿足的關(guān)系式是 或 （3.1.7） 表明在兩種媒質(zhì)的分界面上存在自由面電荷分布時(shí)，電位移矢量的法向分量是不連續(xù)的。 若分界面上不存在面電荷，即，則 或 （3.1.8） 此時(shí)，在分界面上，D的法向分量是連續(xù)的。式（3.1.8）可改寫為 可見，當(dāng)時(shí)E的法向分量是不連續(xù)的，這是因?yàn)榉纸缑嫔洗嬖谑`電荷密度。 3.1.2 電位函數(shù) 1. 電位和電位差 由靜電場(chǎng)的基本方程和矢量恒等式可知，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E可以表示為標(biāo)量函數(shù)的梯度，即 （3.1.9

4、） 式中的標(biāo)量函數(shù)稱為靜電場(chǎng)的電位函數(shù)，簡(jiǎn)稱為電位，單位為V（伏特）。此式適用于任何靜止電荷產(chǎn)生的靜電場(chǎng)，即靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量等于負(fù)的電位梯度。 對(duì)于點(diǎn)電荷的電場(chǎng) 考慮到以下梯度運(yùn)算結(jié)果 則有 與式（3.1.9）比較，可得到點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電場(chǎng)的電位函數(shù)為 （3.1.10） 式中為任意常數(shù)。 應(yīng)用疊加原理，根據(jù)式（3.1.10）可得到點(diǎn)電荷系、線電荷、面電荷以及體電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)的電位函數(shù)分別為 （3.1.11） （3.1.12）

5、 （3.1.13） （3.1.14） 通常用等位面形象地描述電位的空間分布。例如，點(diǎn)電荷電場(chǎng)的等位面是同心球面族。根據(jù)和標(biāo)量函數(shù)梯度的性質(zhì)可知，E線垂直于等位面，且總是指向電位下降最快的方向。 若已知電荷分布，則可利用式（3.1.11）～（3.1.14）求得電位函數(shù)，再利用求得電場(chǎng)強(qiáng)度。這樣做比直接求要簡(jiǎn)單些。 在的兩端點(diǎn)乘，得 對(duì)上式兩端從點(diǎn)P到點(diǎn)Q沿任意路徑進(jìn)行積分，得 可見，點(diǎn)P、Q之間的電位差的物理意義是把一個(gè)單位正電荷從點(diǎn)P沿任意路徑移動(dòng)到點(diǎn)Q的過(guò)程中，電場(chǎng)力所做的功。 為了使電場(chǎng)中每一點(diǎn)電位具有確定的值，必須選定場(chǎng)中某一固定

6、點(diǎn)作為電位參考點(diǎn)，即規(guī)定該固定點(diǎn)的電位為零。例如，若選定Q點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，即規(guī)定，則P點(diǎn)的電位為 （3.1.15） 若場(chǎng)源電荷分布在有限區(qū)域，通常選定無(wú)限遠(yuǎn)處為電位參考點(diǎn)，此時(shí) （3.1.16） 2. 靜電位的微分方程 在均勻、線性和各向同性電介質(zhì)中，是一個(gè)常數(shù)。因此將代入中，得 故得 （3.1.17） 即靜電位滿足標(biāo)量泊松方程。若空間內(nèi)無(wú)自由電荷分布，即，則滿足拉普拉斯方程 （3.

7、1.18） 在通過(guò)解泊松方程或拉普拉斯方程求時(shí)，需應(yīng)用邊界條件來(lái)確定常數(shù)。下面介紹電位的邊界條件。 設(shè)和是介質(zhì)分界面兩側(cè)、緊貼分界面的相鄰兩點(diǎn)，其電位分別為和。由于在兩種介質(zhì)中E均為有限值，當(dāng)和都無(wú)限貼近分界面，即其間距時(shí)，。因此，分界面兩側(cè)的電位是相等的，即 （3.1.19） 又由可導(dǎo)出 （3.1.20） 若分界面上不存在自由面電荷，即，則上式變?yōu)? （3.1.21） 若第二種媒質(zhì)為導(dǎo)體，因達(dá)到靜電平衡后導(dǎo)

8、體內(nèi)部的電場(chǎng)為零，導(dǎo)體為等位體，故導(dǎo)體表面上，電位的邊界條件為 （3.1.22） 例3.1.1 求如圖2.2.3所示電偶極子的電位 解 空間任一點(diǎn)處的電位等于兩個(gè)點(diǎn)電荷的電位疊加，即 式中 ， 對(duì)遠(yuǎn)離電偶極子的場(chǎng)點(diǎn)，，則 故得 （3.1.23） 應(yīng)用球面坐標(biāo)系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場(chǎng)強(qiáng)度 （3.1.24） 顯然，此處的運(yùn)算要比例2.2.1中直接計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度E要簡(jiǎn)單得多。 例3.1.2 求均勻電場(chǎng)的電

9、位分布。 解 選定均勻電場(chǎng)空間中的一點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，而任意點(diǎn)P的位置矢量為r，則 若選擇點(diǎn)o為電位參考點(diǎn)，即，則 在球坐標(biāo)系中，取極軸與的方向一致，即，則有 在圓柱面坐標(biāo)系中，取與x軸方向一致，即，而，則有 例3.1.3 兩塊無(wú)限大接地導(dǎo)體平板分別置于x=0和x=a處，在兩板之間的x=b處有一面密度為的均勻電荷分布，如圖3.1.1所示。求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場(chǎng)。 解 在兩塊無(wú)限大接地導(dǎo)體平板之間，除x=b處有均勻面電荷分布外，其余空間均無(wú)電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程 o b a x y 圖3.1.1 兩塊無(wú)限大平行板

10、 方程的解為 利用邊界條件，得 處， 處， 于是有 由此解得 最后得 3.1.3 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容 電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，它是描述導(dǎo)體系統(tǒng)儲(chǔ)存電荷能力的物理量。我們定義兩導(dǎo)體系統(tǒng)的電容為任一導(dǎo)體上的總電荷與兩導(dǎo)體之間的電位差之比，即 （3.1.25） 電容的單位是F（法拉）。電容的大小與電荷量、電位差無(wú)關(guān)，因?yàn)樵摫戎禐槌?shù)。電容的大小只是導(dǎo)體系統(tǒng)的物理尺度及周圍電介質(zhì)的特性參數(shù)的函數(shù)。 本節(jié)介紹雙導(dǎo)體系統(tǒng)的電容計(jì)算及多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容的概念。 1．雙導(dǎo)體的電容計(jì)算 在電子與電

11、氣工程中常用的傳輸線，例如平行板線、平行雙線、同軸線都屬于雙導(dǎo)體系統(tǒng)。通常，這類傳輸線的縱向尺寸遠(yuǎn)大于橫向尺寸。因而可作為平行平面電場(chǎng)（二維場(chǎng)）來(lái)研究，只需計(jì)算傳輸線單位長(zhǎng)度的電容。其計(jì)算步驟如下：（1）根據(jù)導(dǎo)體的幾何形狀，選取合適的坐標(biāo)系；（2）假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷+q和-q；（3）根據(jù)假定的電荷求出E；（4）由求得電位差；（5）求出比值。 圖3.1.2 平行雙線傳輸線 例3.1.4 平行雙線傳輸線的結(jié)構(gòu)如圖3.1.2所示，導(dǎo)線的半徑為a，兩導(dǎo)線軸線相距為D，且，設(shè)周圍介質(zhì)為空氣。試求傳輸線單位長(zhǎng)度的電容。 解：設(shè)兩導(dǎo)線單位長(zhǎng)度帶電量分別為和。由于，

12、故可近似地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩導(dǎo)線的表面上。應(yīng)用高斯定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間德平面上任一點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度為 兩導(dǎo)線間的電位差 故得平行雙線傳輸線單位長(zhǎng)度的電容為 （3.1.26） 圖3.1.3 同軸線 b 例3.1.5 同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為，內(nèi)外導(dǎo)體間填充介電常數(shù)為的均勻電介質(zhì)，如圖3.1.3所示。試求同軸線單位長(zhǎng)度的電容。 解 設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長(zhǎng)度帶電量分別為和，應(yīng)用高斯定律求得內(nèi)外導(dǎo)體間任意點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度為 內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為 同軸線單位長(zhǎng)度的電容

13、 （3.1.27） 2. 部分電容 在工程應(yīng)用中，經(jīng)常遇到由三個(gè)或更多的導(dǎo)體系統(tǒng)組成的多導(dǎo)體系統(tǒng)。譬如，計(jì)及大地作用的架空平行雙線傳輸線、耦合帶狀線、屏蔽多芯電纜等。在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，任何兩個(gè)導(dǎo)體間的電壓都要受到其余導(dǎo)體上的電荷的影響。因此，研究多導(dǎo)體系統(tǒng)時(shí)，必須將電容的概念推廣，引入部分電容的概念。所謂部分電容，是指多導(dǎo)體系統(tǒng)中，一個(gè)導(dǎo)體在其余導(dǎo)體的影響下，與另一個(gè)導(dǎo)體構(gòu)成的電容。 圖3.1.4 多導(dǎo)體系統(tǒng) 大地 1 2 N （1）電位系數(shù) 圖3.1.4表示N個(gè)導(dǎo)體和大地構(gòu)成的多導(dǎo)體系統(tǒng)，各導(dǎo)體的位置、形狀及周圍介質(zhì)均是固定的，取大地為電位參考點(diǎn)（零電位點(diǎn)）。當(dāng)

14、這個(gè)導(dǎo)體系統(tǒng)中的任何一個(gè)導(dǎo)體上充以一電荷時(shí)，它將以一定的方式使所有導(dǎo)體（包括充以電荷的導(dǎo)體本身）具有一定的電位。由于電位與各導(dǎo)體所帶電荷量之間成線性關(guān)系，所以各導(dǎo)體的電位為 （3.1.28a） 或表示為 （3.1.28b） 式中的稱為電位系數(shù)。下標(biāo)相同的稱為自電位系數(shù)；下標(biāo)不同的稱為互電位系數(shù)。電位系數(shù)有以下特點(diǎn)： （a）在數(shù)值上等于第j個(gè)導(dǎo)體上的總電量為一個(gè)單位，而其余導(dǎo)體上的總電量都為零時(shí)，第i個(gè)導(dǎo)體上的電位。即 （b）只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無(wú)關(guān)

15、； （c）所有電位系數(shù)，且具有對(duì)稱性，即。 （2）電容系數(shù) 對(duì)方程（3.1.28a）求解，可得各導(dǎo)體上的電荷量 （3.1.29a） 或表示為 （3.1.29b） 式中稱為電容系數(shù)或感應(yīng)系數(shù)。下標(biāo)相同的系數(shù)稱為自電容系數(shù)或自感應(yīng)系數(shù)，下標(biāo)不同的系數(shù)稱為互電容系數(shù)或互感應(yīng)系數(shù)。電容系數(shù)具有以下特點(diǎn)： （a）在數(shù)值上等于第j個(gè)導(dǎo)體的電位為一個(gè)單位、而其余導(dǎo)體接地時(shí)，第i個(gè)導(dǎo)體上的電量，即 （b）只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無(wú)關(guān)； （c）具有對(duì)稱性，即；互電容系

16、數(shù)，自電容系數(shù)； （d）電容系數(shù)與電位系數(shù)的關(guān)系為： 式中△是方程組（3.1.28）的電位系數(shù)組成的行列式，是行列式的余子式。 （3）部分電容 引入符號(hào)和，則方程組（3.1.29）可改寫為 （3.1.30a） 或表示為 （3.1.30b） 上式表明多導(dǎo)體系統(tǒng)中的任何一個(gè)導(dǎo)體的電荷是由N部分電荷組成。例如，導(dǎo)體1的電荷的第一部分與導(dǎo)體1的電位（即導(dǎo)體1與地之間的電壓）成正比，比值是導(dǎo)體與地之間的部分電容；第二部分與導(dǎo)體1、2間的電壓成正比，比值則為導(dǎo)體1、2間的部分電容；……。 多導(dǎo)體系統(tǒng)中，每一導(dǎo)體與地之間以及與其它導(dǎo)體之間都存在部分電容。是導(dǎo)

17、體i與地之間的部分電容，稱為導(dǎo)體i的自有部分電容。是導(dǎo)體i與導(dǎo)體j之間的部分電容，稱為導(dǎo)體i與導(dǎo)體j之間互有部分電容。部分電容有以下特點(diǎn)： （a）在數(shù)值上等于全部導(dǎo)體的電位都為一個(gè)單位時(shí)，第個(gè)導(dǎo)體上總電荷量的值； （b）在數(shù)值上等于第個(gè)導(dǎo)體上的電位為一個(gè)單位、其余導(dǎo)體都接地時(shí)，第個(gè)導(dǎo)體上感應(yīng)電荷的大?。? （c）所有部分電容都大于零，即； （d）部分電容具有對(duì)稱性，即。 大地 1 2 圖3.1.5 大地上空的平行雙導(dǎo)線 由個(gè)導(dǎo)體構(gòu)成的系統(tǒng)共有個(gè)部分電容，這些部分電容形成一個(gè)電容網(wǎng)絡(luò)。以計(jì)及大地影響的平行雙線傳輸線為例，如圖3.1.5所示，有三個(gè)部分電容。導(dǎo)線1、2間

18、的等效輸入電容為；導(dǎo)線1和大地間的等效輸入電容為；導(dǎo)線2和大地間的等效輸入電容為；通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得和，就可計(jì)算出各個(gè)部分電容。多數(shù)實(shí)際的多導(dǎo)體系統(tǒng)的各個(gè)部分電容只有通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到。 3.1.4 靜電場(chǎng)的能量 靜電場(chǎng)最基本的性質(zhì)是對(duì)靜止電荷有作用力，這表明靜電場(chǎng)有能量。電場(chǎng)能量來(lái)源于建立電荷系統(tǒng)的過(guò)程中外界提供的能量。例如給導(dǎo)體充電時(shí)，外電源要對(duì)電荷做功，提高電荷的電位能，這就構(gòu)成了電荷系統(tǒng)的能量。 本節(jié)要討論的是靜電場(chǎng)的能量，故假設(shè)導(dǎo)體和介質(zhì)都是固定的，且介質(zhì)是線性和各向同性的。 1. 靜電場(chǎng)的能量 因?yàn)橐懻摰氖窍到y(tǒng)被充電并達(dá)到穩(wěn)定后的電場(chǎng)能量，故應(yīng)與充電過(guò)程無(wú)關(guān)。我們假設(shè)系統(tǒng)從零開

19、始被充電，充電完畢后的最終電荷分布為、電位函數(shù)為。如果在充電過(guò)程中使各點(diǎn)的電荷密度按最終值的同一比例因子增加，則各點(diǎn)的電位也將按同一比例因子增加。也就是說(shuō)，充電過(guò)程中某一時(shí)刻的電荷分布為，其電位分布就為。令從0到1，把充電過(guò)程用無(wú)數(shù)次增加微分電位的過(guò)程的疊加來(lái)表示，則當(dāng)時(shí)，對(duì)于某體積元，其電位為，欲送入微分電荷，外電源需要作的功是。因此對(duì)整個(gè)空間，外電源所作的總功為 根據(jù)能量守恒定律，外電源所作的功轉(zhuǎn)換為電場(chǎng)的能量，因此整個(gè)空間增加的電場(chǎng)能量為 充電過(guò)程完成后，系統(tǒng)的總能量為 （3.1.31） 電場(chǎng)能量的單位是J（焦耳）。 如果電荷是以面密度分布在曲

20、面上，則式（3.1.31）變?yōu)? （3.1.32） 注意，式（3.1.31）、（3.1.32）中，分別是電荷元、所在點(diǎn)的電位，積分遍及整個(gè)有電荷的區(qū)域。 對(duì)于多導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，因?yàn)槊總€(gè)導(dǎo)體上的電位為常數(shù)，則式（3.1.32）變?yōu)? （3.1.33） 例如，雙導(dǎo)體系統(tǒng)被充電后，導(dǎo)體1帶電荷為+q，導(dǎo)體2帶電荷為-q；電位分別為是和，則電場(chǎng)能量為 （3.1.34） 2. 能量密度 電場(chǎng)能量存在于整個(gè)電場(chǎng)空間。下面導(dǎo)出用電場(chǎng)矢量表示的計(jì)算電場(chǎng)能量的公式。將代入式（3.1.31）得 上式

21、中應(yīng)用了矢量公式和高斯散度定理。 在式（3.1.31）中的體積分是對(duì)整個(gè)空間的積分，因?yàn)橹挥心切┐嬖陔姾傻目臻g才對(duì)積分有貢獻(xiàn)，故我們把積分區(qū)域無(wú)限擴(kuò)大并不會(huì)影響積分的結(jié)果。當(dāng)積分的體積無(wú)限擴(kuò)大時(shí)，包圍該體積的表面積也將無(wú)限擴(kuò)大。只要電荷是分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面無(wú)限擴(kuò)大時(shí)，有限區(qū)域內(nèi)的電荷就可近似為一個(gè)點(diǎn)電荷。這樣，就可利用點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位、電位移矢量D的以下關(guān)系 ， 故，而閉合面，故當(dāng)時(shí)，必有 則得 （3.1.35） 對(duì)于線性和各向同性介質(zhì)，，故上式可表示為 （3.1.36

22、） 上式表明電場(chǎng)能量?jī)?chǔ)存在電場(chǎng)不為零的空間，能量密度為 （3.1.37） 能量密度的單位是。 例3.1.6 半徑為a的球形空間均勻分布著體電荷密度為的電荷，試求電場(chǎng)能量。 解 方法之一：利用公式（3.1.36）計(jì)算 根據(jù)高斯定律求得電場(chǎng)強(qiáng)度 故 方法之二：利用公式（3.1.31）計(jì)算。 先求出電位分布 故 3.1.5 靜電力 在靜電場(chǎng)中，各個(gè)帶電體都要受到電場(chǎng)力作用。原則上，帶電體之間的靜電力可用庫(kù)侖定律來(lái)計(jì)算，但對(duì)于電荷分布形狀較為復(fù)雜的帶電體，這種計(jì)算往往是很困難的。這里介紹用虛

23、位移法來(lái)計(jì)算靜電力。 采用虛位移法計(jì)算靜電力，要用到廣義坐標(biāo)和廣義力的概念。所謂廣義坐標(biāo)，是指確定系統(tǒng)中各帶電導(dǎo)體的形狀、尺寸和位置的一組獨(dú)立幾何量；而企圖改變某一廣義坐標(biāo)的力，就稱為對(duì)應(yīng)于該坐標(biāo)的廣義力。廣義力乘上由它引起的廣義坐標(biāo)的增量，就等于所作的功。 在由N個(gè)導(dǎo)體組成的系統(tǒng)中，假設(shè)只有第i個(gè)帶電導(dǎo)體在電場(chǎng)力的作用下有一個(gè)廣義坐標(biāo)g發(fā)生位移，則電場(chǎng)力做功，系統(tǒng)的靜電能量增加量為，根據(jù)能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能關(guān)系為 （3.1.38） 式中的是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量?？煞譃橐韵聝煞N情況： 1. 假設(shè)各帶電體的電

24、荷保持不變（恒電荷系統(tǒng)） 當(dāng)?shù)趇個(gè)導(dǎo)體發(fā)生虛位移時(shí)，所有帶電體都不和外電源連接，此時(shí)，則由式（3.1.38）得 故得 （3.1.39） 式中的“－”號(hào)表明此時(shí)電場(chǎng)力做功是靠減少系統(tǒng)的電場(chǎng)能量來(lái)實(shí)現(xiàn)，因?yàn)橄到y(tǒng)與外電源斷開，沒有提供能量。 2.假設(shè)各帶電導(dǎo)體的電位保持不變（恒電位系統(tǒng)） 當(dāng)?shù)趇個(gè)導(dǎo)體發(fā)生虛位移時(shí)，所有導(dǎo)體應(yīng)分別與外部電源相連接。此時(shí)外部電壓源供給的能量為 根據(jù)式（3.1.33）得到系統(tǒng)的靜電能量增量為 可見，外電壓源向系統(tǒng)提供給系統(tǒng)的能量只有一半是用于靜電能量的增加，另一半則是用于電場(chǎng)力做功，即電場(chǎng)力做功等

25、于靜電能量的增量 故得 （3.1.40） 以上兩種情況得到的結(jié)果應(yīng)該是相同的。因?yàn)槭聦?shí)上帶電體并沒有發(fā)生位移，電場(chǎng)分布當(dāng)然也沒有發(fā)生變化，由式（3.1.39）和（3.1.40）求得的是所討論的系統(tǒng)在當(dāng)時(shí)狀態(tài)下的電荷和電位所對(duì)應(yīng)的靜電力。 圖3.1.6 部分填充介質(zhì)的平行板電容器 例3.1.7 有一平行板電容器，極板面積為，板間距離為，用一塊介電常數(shù)為的介質(zhì)片填充在兩極板之間（x

26、 故電容器儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量為 當(dāng)電容器與電源相連接時(shí)，保持不變，設(shè)位移變量為x，由式（3.1.40），可得介質(zhì)片受到的靜電力為 因?yàn)?，所以介質(zhì)片所受到的力有把介質(zhì)片拉入電容器極板間的趨勢(shì)。 當(dāng)電容器被充電后與電源斷開，則極板上的電荷q保持不變，電容器的儲(chǔ)能為 則由式（3.1.39）求得介質(zhì)片受到的靜電力為 考慮到下面的關(guān)系 同樣得到 3.2導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)分析 若電流密度矢量不隨時(shí)間變化，它僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)，則構(gòu)成一個(gè)恒定電流場(chǎng)。要在導(dǎo)電媒質(zhì)中維持恒定電流，必須存在一個(gè)恒定電場(chǎng)。本節(jié)將討論恒定電場(chǎng)的基本性質(zhì)，并將它與靜電場(chǎng)比較。 3.2.1

27、 恒定電場(chǎng)的基本方程和邊界條件 1. 基本方程 電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度是恒定電場(chǎng)的基本場(chǎng)矢量。我們討論的是恒定電流，要維持電流不隨時(shí)間變化，則空間的電場(chǎng)也必須是恒定不變的，這就要求電荷的空間分布也不隨時(shí)間變化，所以有。根據(jù)電流連續(xù)性方程，得 （3.2.1a） 相應(yīng)的微分形式 （3.2.1b） 式（3.2.1a）表明從閉合面穿出的電流恒為零，因而閉合面包圍的體積內(nèi)的電量也不隨時(shí)間改變。故我們可以得出結(jié)論：盡管電流是電荷的運(yùn)動(dòng)，但在恒定電流的狀態(tài)下電荷分布并不隨時(shí)間

28、改變。由此我們可以認(rèn)定恒定電場(chǎng)也是保守場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度沿任一閉合路徑的線積分恒為零，即 （3.2.2a） 相應(yīng)的微分形式 （3.2.2b） 因而，恒定電場(chǎng)也可用電位梯度表示 （3.2.3） 式（3.2.1a）和（3.2.2a）是恒定電場(chǎng)基本方程的積分形式；式（3.2.1b）和（3.2.2b）則是對(duì)應(yīng)的微分形式。 將代入，可以導(dǎo)出均勻?qū)щ娒劫|(zhì)（常數(shù)）中的電位滿足拉普拉斯方程，即

29、 （3.2.4） 2. 邊界條件 將恒定電場(chǎng)基本方程的積分形式（3.2.1a）和（3.2.2a）應(yīng)用到兩種不同導(dǎo)電媒質(zhì)的分界面上，可導(dǎo)出恒定電場(chǎng)的邊界條件為 或 （3.2.5） 或 （3.2.6） 由于，因此，電位函數(shù)的邊界條件為 （3.2.7） （3.2.8） 應(yīng)該注意，由于導(dǎo)體內(nèi)存在恒定電場(chǎng)，根據(jù)邊界條件可知

30、，在導(dǎo)體表面上的電場(chǎng)既有法向分量，又有切向分量，電場(chǎng)矢量E并不垂直于表面，因而此時(shí)的導(dǎo)體表面不是等位面。由式（3.2.5）和（3.2.6）可導(dǎo)出場(chǎng)矢量在分界面上的折射關(guān)系 （3.2.9） 3.2.2 恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬 縱觀前面的討論，我們看到均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中的恒定電場(chǎng)（電源外部）和均勻電介質(zhì)中的靜電場(chǎng)（電荷密度的區(qū)域）有很多相似之處，表3.2.1列出兩種場(chǎng)的基本方程和邊界條件。 表3.2.1 恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬 均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中的恒定電場(chǎng)（電源外部） 均勻電介質(zhì)中的靜電場(chǎng)（的區(qū)域） 基本方程

31、 本構(gòu)關(guān)系 位函數(shù)方程 邊界條件 從表3.2.1可看出，兩種場(chǎng)的各個(gè)物理量之間有以下一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：、、、。因?yàn)閮煞N場(chǎng)的電位都是拉普拉斯方程的解，所以當(dāng)兩種場(chǎng)用電位表示的邊界條件相同時(shí)，則兩種場(chǎng)的解的形式必定是相同的。因此，對(duì)于欲求解的恒定電場(chǎng)問(wèn)題，如果對(duì)應(yīng)的具有相同邊界形狀的靜電場(chǎng)問(wèn)題的解為已知，則恒定電場(chǎng)的解便可利用上面的對(duì)偶關(guān)系直接寫出，無(wú)需重新求解，這個(gè)方法也稱為靜電比擬法。 在靜電場(chǎng)中，兩導(dǎo)體間充滿介電常數(shù)為的均勻電介質(zhì)時(shí)的電容為 （3.2.10） 式中的q是帶正電荷的導(dǎo)體1上的電量，U是

32、兩導(dǎo)體間的電壓。 在恒定電場(chǎng)中兩個(gè)電極間充滿電導(dǎo)率為的均勻?qū)щ娒劫|(zhì)時(shí)的電導(dǎo)為 （3.2.11） 式中的I是從導(dǎo)體1（電極1）表面流出的電流。注意，電極是由良導(dǎo)體構(gòu)成，電極內(nèi)的電場(chǎng)可視為零，電極表面可視為等位面，從而導(dǎo)出式（3.2.11）。比較式（3.2.10）和（3.2.11）可看出，如果在靜電場(chǎng)中兩導(dǎo)體的電容為已知，則用同樣的兩個(gè)導(dǎo)體作電極時(shí)，填充均勻?qū)щ娒劫|(zhì)的電導(dǎo)就可直接從電容的表達(dá)式中將換成而得到。 靜電比擬法也在實(shí)驗(yàn)中得到應(yīng)用，為了用實(shí)驗(yàn)研究靜電場(chǎng)，常采用恒定電流來(lái)模擬靜電場(chǎng)，因?yàn)樵诤愣妶?chǎng)中進(jìn)行測(cè)量要比在靜電場(chǎng)中測(cè)量容易得多。 例3.2.1 同

33、軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體之間填充一種非理想介質(zhì)（設(shè)其介電常數(shù)為，電導(dǎo)率為）；試計(jì)算同軸線單位長(zhǎng)度的絕緣電阻。 解 方法之一：用恒定電場(chǎng)的基本關(guān)系式求解 假設(shè)同軸線的內(nèi)外導(dǎo)體間加恒定電壓，由于填充介質(zhì)的，介質(zhì)中的漏電流沿徑向從內(nèi)導(dǎo)體流到外導(dǎo)體。另外，內(nèi)外導(dǎo)體中有軸向電流，導(dǎo)體中存在很小的軸向電場(chǎng)，因而漏電介質(zhì)中也存在切向電場(chǎng)，但，故可忽略。介質(zhì)中任一點(diǎn)處的漏電流密度為 式中的I是通過(guò)半徑為的單位長(zhǎng)度同軸圓柱面的漏電流。電場(chǎng)強(qiáng)度為 而內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為 則得同軸線單位長(zhǎng)度的絕緣電阻（漏電阻）為 方法之二：用靜電比擬法求解 a r 圖3.2

34、.1 半球形接地器 I 由例3.1.5得到同軸線單位長(zhǎng)度的電容為 因此，同軸線單位長(zhǎng)度的漏電導(dǎo)為 則得絕緣電阻為 例3.2.2 計(jì)算半球形接地器的接地電阻。 解 通常要求電子、電氣設(shè)備與大地有良好的連接，將金屬物體埋入地內(nèi)，并將需接地的設(shè)備與該物體連接就構(gòu)成接地器。當(dāng)接地器埋藏不深時(shí)可近似用半球形接地器代替，如圖3.2.1所示。 接地電阻是指電流由接地器流入大地再向無(wú)限遠(yuǎn)處擴(kuò)散所遇到的電阻，主要是接地器附近的大地電阻。 設(shè)大地的電導(dǎo)率為，流過(guò)接地器的電流為I，則大地中的電流密度為 故 則接地電阻為 也可用靜電比擬法求得接地電阻。均勻介質(zhì)中的孤立

35、球的電容為，故均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中孤立球的電導(dǎo)為，半球的電導(dǎo)為，故半球形接地器的接地電阻為 3.3 恒定磁場(chǎng)分析 恒定磁場(chǎng)是由恒定電流激發(fā)的，是電磁場(chǎng)的另一種重要的和特殊的形式。 3.3.1 恒定磁場(chǎng)的基本方程和邊界條件 1. 基本方程 考慮到恒定磁場(chǎng)的源（恒定電流）和場(chǎng)量（B、H）不隨時(shí)間變化這一特征，由麥克斯韋方程組得出恒定磁場(chǎng)的基本方程為 積分形式 微分形式 以及 （3.3.5） 基本方程表明恒定磁場(chǎng)是無(wú)源（無(wú)通量源）、有旋場(chǎng)，恒定電流是產(chǎn)生恒定磁場(chǎng)的漩渦源；磁力線是與源電流相交鏈的閉合曲線。 2. 邊界條

36、件 在不同磁介質(zhì)的分界面上一般都存在著磁化面電流，B和H在經(jīng)過(guò)分界面時(shí)要發(fā)生突變。在分界面上B滿足的關(guān)系式為 或 （3.3.6） 表明分界面上B的法向分量是連續(xù)的。 在分界面上H滿足的關(guān)系式為 或 （3.3.7） 若分界面上不存在自由面電流，則 或 （3.3.8） 表明此時(shí)的磁場(chǎng)強(qiáng)度切向分量是連續(xù)的。 3.3.2 矢量磁位和標(biāo)量磁位 根據(jù)恒定磁場(chǎng)的特征，也可以在磁場(chǎng)中引入位函數(shù)。 1. 矢量磁位 利用磁場(chǎng)的無(wú)散度特征，用一矢量的旋度來(lái)代替磁感應(yīng)強(qiáng)度B，這是因?yàn)橐粋€(gè)矢

37、量的旋度再取散度恒等于零，即，而，故令 （3.3.9） 式中的A為矢量磁位，或稱磁矢位，單位是（特斯拉米）或（韋伯/米），它是一個(gè)輔助量。 根據(jù)亥姆霍茲定理，要惟一地確定一個(gè)矢量必須同時(shí)給出它的旋度和散度。因此，要惟一確定磁矢位A，必須對(duì)A的散度作一個(gè)規(guī)定。對(duì)于恒定磁場(chǎng)，一般規(guī)定 （3.3.10） 并稱這種規(guī)定為庫(kù)侖規(guī)范。在這種規(guī)范下，磁矢位A就被惟一確定。 在均勻、線性和各向同性磁介質(zhì)中，將代入，得 又利用矢量恒等式和庫(kù)侖規(guī)范，得到

38、 （3.3.11） 上式稱為磁矢位A的泊松方程。在無(wú)源區(qū)域，有 （3.3.12） 上式稱為磁矢位A的拉普拉斯方程。 在直角坐標(biāo)系中，、，故式（3.3.11）可表示為 由于、和均為常矢量，故上式可分解為三個(gè)分量的泊松方程，即 （3.3.13） 式（3.3.13）所示的三個(gè)分量泊松方程與靜電位的泊松方程形式相同，可以確認(rèn)它們的求解方法和所得到的解的形式也應(yīng)相同，故可參照電位的形式直接寫出 （

39、3.3.14） 將以上三個(gè)分量合并即得磁矢位泊松方程的解 （3.3.15） 上式中的，它的存在不會(huì)影響B(tài)。 同樣可以寫出 （3.3.16） （3.3.17） 可見，電流元產(chǎn)生的磁矢位是與電流元矢量平行的矢量，這是引入磁矢位的優(yōu)點(diǎn)之一。 根據(jù)恒定磁場(chǎng)在不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件 ， 以及，可得到不同媒質(zhì)分界面上磁矢位A的邊界條件為 （3.3.18） （3.3.19） 例3.

40、3.1 求小圓環(huán)電流的矢量磁位和磁場(chǎng)。 解 如圖3.3.1所示，小圓環(huán)的半徑為a，通過(guò)的電流為I。取小圓環(huán)位于xy平面內(nèi)，圓心與球坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合。由于場(chǎng)具有對(duì)稱性，我們?nèi)z平面內(nèi)的一點(diǎn)作為場(chǎng)點(diǎn)將不失一般性。圖中 圖 3.3.1小圓環(huán)電流 故得 對(duì)于遠(yuǎn)離小圓環(huán)的區(qū)域，有，所以 將以上關(guān)系式代入式（3.3.17），得 由于在面上，故上式可寫為 （3.3.20） 式中是小圓環(huán)的面積。 利用球面坐標(biāo)系中旋度的計(jì)算公式，可得到

41、小圓環(huán)電流的遠(yuǎn)區(qū)磁感應(yīng)強(qiáng)度為 （3.3.21） 可見，小圓環(huán)電流的遠(yuǎn)區(qū)磁場(chǎng)分布與電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場(chǎng)分布相似，于是將小圓環(huán)電流稱為磁偶極子，并把稱為磁偶極子的磁矩，簡(jiǎn)稱磁偶極矩，表示為 （3.3.22） 這樣，式（3.3.20）又可寫成 （3.3.23） 或 （3.3.24） x z 圖3.3.2 直線電流的矢量磁位 例3.3.2 求無(wú)限長(zhǎng)直線

42、電流的矢量磁位。 解 先計(jì)算如圖3.3.2所示的長(zhǎng)度為的直線電流的矢量磁位。電流元產(chǎn)生的矢量磁位 對(duì)直線l積分，得 當(dāng)時(shí) （3.3.25） 可見，當(dāng)時(shí)，A為無(wú)限大，即無(wú)限長(zhǎng)直線電流的矢量磁位為無(wú)限大。為了解決這一困難，我們將的點(diǎn)（即矢量磁位的參考點(diǎn)）選取在處，即令 故有 這樣做是允許的，因?yàn)樵贏的表示式中附加一個(gè)常矢量C，并不會(huì)影響B(tài)的計(jì)算。因此，式（3.3.25）可表示為 （3.3.26） 相應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

43、（3.3.27） 2.標(biāo)量磁位 若所研究的空間不存在自由電流，即，則此空間內(nèi)有。因此，也可以將H表示為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度，即 （3.3.28） 式中的稱為標(biāo)量磁位，或磁標(biāo)位。 在均勻、線性和各向同性媒質(zhì)中，將、代入中，得 即 （3.3.29） 此即標(biāo)量磁位所滿足的拉普拉斯方程。 在沒有自由電流的兩種不同媒質(zhì)的分界面上，由邊界條件和可導(dǎo)出標(biāo)量磁位的邊界條件為 （3.3.30）

44、 （3.3.31） 3.3.3 電感 在線性和各向同性媒質(zhì)中，電流回路在空間產(chǎn)生的磁場(chǎng)與回路中的電流成正比。因此，穿過(guò)回路的磁通量（或磁鏈）也與回路中的電流成正比。在恒定磁場(chǎng)中，把穿過(guò)回路的磁通量（或磁鏈）與回路中的電流的比值稱為電感系數(shù)，簡(jiǎn)稱電感。與靜電場(chǎng)中定義的電容C、恒定電場(chǎng)中定義的電阻相似，電感只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何參數(shù)和周圍媒質(zhì)有關(guān)，與電流、磁通量無(wú)關(guān)。 電感可分為自感和互感，本節(jié)討論自感和互感的計(jì)算。 1. 自感 設(shè)回路中的電流為I，它所產(chǎn)生的磁場(chǎng)與回路交鏈的自感磁鏈為，則磁鏈與回路中的電流I成正比關(guān)系，其比值

45、 （3.3.32） 稱為回路的自感系數(shù)，簡(jiǎn)稱自感。自感的單位是H（亨利）。 在計(jì)算粗導(dǎo)體回路的自感時(shí)，通常將自感表示為內(nèi)自感與外自感之和。導(dǎo)體內(nèi)部的磁場(chǎng)僅與部分電流相交鏈，相應(yīng)的磁鏈稱為內(nèi)磁鏈，用表示，則內(nèi)自感為 （3.3.33） 全部在導(dǎo)體外部的閉合的磁鏈稱為外磁鏈，用表示，則外自感為 （3.3.34） 回路的總自感為 （3.3.35） 圖 3.3.3 同軸電纜的橫

46、截面 下面舉例說(shuō)明兩種常用的雙導(dǎo)體系統(tǒng)的自感的計(jì)算。 例3.3.3 計(jì)算同軸線單位長(zhǎng)度的電感。 解 設(shè)同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a ，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，外導(dǎo)體的厚度可忽略不計(jì)。內(nèi)、外導(dǎo)體之間是空氣，或聚乙烯等電介質(zhì)，磁導(dǎo)率為；內(nèi)、外導(dǎo)體材料一般是金屬銅，磁導(dǎo)率也是。同軸線的橫截面如圖3.3.3所示。 設(shè)同軸線中的電流為，根據(jù)安培環(huán)路定律求得內(nèi)導(dǎo)體中任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 穿過(guò)由軸向?yàn)閱挝婚L(zhǎng)度、寬為構(gòu)成的矩形面積元的磁通為 因?yàn)榕c這一部分磁通相交鏈的電流不是導(dǎo)體中的全部電流，而只是的一部分，兩者的關(guān)系為 所以，與相應(yīng)的磁鏈為 內(nèi)導(dǎo)體中單位長(zhǎng)

47、度的自感磁鏈總量為 由此得到單位長(zhǎng)度的內(nèi)自感 （3.3.36） 在內(nèi)、外導(dǎo)體之間，由安培環(huán)路定律可得到任一點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度為 故 由此得到單位長(zhǎng)度的外自感 同軸線單位長(zhǎng)度的自感為 圖 3.3.4 平行雙線傳輸線 1=1 例3.3.4 計(jì)算平行雙線傳輸線單位長(zhǎng)度的電感。 解 設(shè)導(dǎo)線的半徑為a，兩導(dǎo)線的軸線相距為D，且D>>a。導(dǎo)線及其周圍媒質(zhì)的磁導(dǎo)率皆為，兩導(dǎo)線中通過(guò)的電流為。如圖3.3.4所示。 由于，故在計(jì)算導(dǎo)線外部的磁場(chǎng)時(shí)，可近似地認(rèn)為電流集

48、中于導(dǎo)線的幾何軸線上。根據(jù)安培環(huán)路定理和疊加原理，可求得雙兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 穿過(guò)兩導(dǎo)線之間軸線方向?yàn)閱挝婚L(zhǎng)度的面積的外磁鏈為 由此得到平行雙線傳輸線單位長(zhǎng)度的外自感為 （3.3.37） 而兩根導(dǎo)線單位長(zhǎng)度的內(nèi)自感為 故得平行雙線傳輸線單位長(zhǎng)度的電感為 2. 互感 如圖3.3.5所示的兩個(gè)彼此靠近的導(dǎo)線回路和，回路中的電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)除了與回路本身交鏈外，還與回路相交鏈。由回路的電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)與回路相交鏈的磁鏈，稱為回路與回路間的互感磁鏈，用表示。比值

49、 （3.3.38） 稱為回路對(duì)回路間的互感系數(shù)，簡(jiǎn)稱互感?；ジ械膯挝皇荋（亨利）。同理，回路對(duì)回路間的互感為 （3.3.39） O 圖 3.3.5兩回路間的互感 利用矢量磁位可導(dǎo)出計(jì)算互感的一般公式。圖3.3.5中，回路中的電流在回路上的任一點(diǎn)產(chǎn)生的矢量磁位為 則由電流產(chǎn)生磁場(chǎng)與回路相交鏈的磁鏈為 故 （3.3.40） 同樣，可導(dǎo)出回路對(duì)回路電流的互感為 （3.

50、3.41） 式（3.3.40）和（3.3.41）稱為紐曼公式，這是計(jì)算互感的一般公式。比較該兩式可看出，即兩個(gè)導(dǎo)線回路之間只有一個(gè)互感值。 例3.3.5 如圖3.3.6所示，長(zhǎng)直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)線回路共面，試計(jì)算它們之間的互感。 解 設(shè)長(zhǎng)直導(dǎo)線中通過(guò)電流I，根據(jù)安培環(huán)路定理，得 圖3.3.6 長(zhǎng)直導(dǎo)線與三角形回路 o 穿過(guò)三角形回路面積的磁通為 式中的，故 則得長(zhǎng)直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)線回路間的互感為 例3.3.6 兩個(gè)互相平行且共軸的圓線圈，半徑分別為和，中心相距為，設(shè)（或），求兩線圈之間的互感。 圖 3.3.7 兩個(gè)平行且共軸

51、的線圈 解 如圖3.3.7所示,，與之間的夾角，，，以及 由紐曼公式得 一般情況下，上述積分只能用橢圓積分來(lái)表示。但是若時(shí)，可進(jìn)行近似 于是 本題還可以在時(shí)的條件下，利用例3.3.1的結(jié)果來(lái)求得互感M。半徑為的小圓線圈中由電流時(shí)，它在遠(yuǎn)區(qū)的矢量磁位為 在半徑為的線圈上，的值為常數(shù)，故 式中的，故 3.3.4 恒定磁場(chǎng)的能量 1. 磁場(chǎng)能量 電流回路在恒定磁場(chǎng)中要受到磁場(chǎng)力的作用而發(fā)生運(yùn)動(dòng)，表明恒定磁場(chǎng)儲(chǔ)存著能量。磁場(chǎng)

52、能量就是在建立電流的過(guò)程中由電源供給的，因?yàn)楫?dāng)電流從零開始增加時(shí)，回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)要阻止電流的增加，因而必須有外加電壓克服回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。假設(shè)所有的電流回路都固定不動(dòng)，即沒有機(jī)械功，同時(shí)假定導(dǎo)線中流過(guò)電流時(shí)產(chǎn)生的焦耳熱損耗可以忽略。這樣，外電源所做的功將全部轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)的磁場(chǎng)能量。此時(shí)，回路上的外加電壓和回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是大小相等而方向相反的。 法拉第電磁感應(yīng)定律指出，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等于與回路交鏈的磁鏈的時(shí)間變化率，即回路j中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 而外加電壓等于 時(shí)間內(nèi)與回路j相連接的電源所做的功為 如果系統(tǒng)包括N個(gè)回路，增加的磁能就為

53、 （3.3.42） 回路j的磁鏈為 （3.3.43） 式中的是互感系數(shù)。當(dāng)時(shí)，是回路j的自感系數(shù)。將式（3.3.43）代入式（3.3.42）得 我們假設(shè)各回路中的電流同時(shí)從零開始以相同的百分比上升，即，則,于是 （3.3.44） 例如，當(dāng)N=1時(shí)，；當(dāng)N=2時(shí)，、、，故 將式（3.3.43）代入式（3.3.44）得 （3.3.45） 式中的A是N個(gè)回路在上的合成矢量磁位。上面的結(jié)果適用于細(xì)導(dǎo)線回路的情況，對(duì)于分布電流的情形

54、，在式（3.3.45）中代入得 （3.3.46） 上式中的積分是對(duì)所有的空間進(jìn)行的。當(dāng)然，我們可以把積分區(qū)域擴(kuò)大到整個(gè)空間，也不會(huì)影響到積分的值。 2.能量密度 前面導(dǎo)出的計(jì)算磁場(chǎng)能量的公式（3.3.45）、（3.3.46）似乎會(huì)使人們認(rèn)為磁場(chǎng)能量只存在于有電流的導(dǎo)體內(nèi)。實(shí)際上，磁場(chǎng)能量?jī)?chǔ)存在整個(gè)磁場(chǎng)存在的空間。下面導(dǎo)出用磁場(chǎng)矢量表示磁能的公式。將代入式（3.3.46）中得 注意，當(dāng)令體積趨于無(wú)限大時(shí)，上式右邊第二項(xiàng)積分變?yōu)榱?。因?yàn)?、、，故被積函數(shù)至少按反比變化，而面積按變化，故時(shí)，積分變?yōu)榱?。于是得?

55、 （3.3.47） 上式的積分是對(duì)整個(gè)空間取的，當(dāng)然只有磁場(chǎng)不等于零的那部分空間才對(duì)積分有貢獻(xiàn)。此結(jié)果表明磁場(chǎng)能量?jī)?chǔ)存于場(chǎng)空間，被積函數(shù)可視為磁場(chǎng)能量密度，表示為 （3.3.48） 圖 3.3.8同軸線橫截面圖 c 能量密度的單位。 例3.3.7 求同軸線單位長(zhǎng)度內(nèi)儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量。 解 如圖3.3.8所示，同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a ，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，外導(dǎo)體的外半徑為c。內(nèi)、外導(dǎo)體之間填充的介質(zhì)以及導(dǎo)體的磁導(dǎo)率均為。設(shè)電流為I，根據(jù)安培環(huán)路定律求出磁場(chǎng)分布

56、 由此即可求出三個(gè)區(qū)域單位長(zhǎng)度內(nèi)的磁場(chǎng)能量分別為 同軸線單位長(zhǎng)度儲(chǔ)存的總磁場(chǎng)能量為 3.3.5 磁場(chǎng)力 兩個(gè)載流回路間的磁場(chǎng)力可由安培力公式計(jì)算。但是我們常常希望與靜電力的計(jì)算類似，用磁場(chǎng)能量的空間變化率來(lái)計(jì)算磁場(chǎng)力。 為簡(jiǎn)化討論，我們僅考慮兩個(gè)回路的情況，所得到的結(jié)果可推廣到一般情況。設(shè)回路在磁場(chǎng)力作用下發(fā)生了一個(gè)小的位移（這里的是一個(gè)廣義坐標(biāo)），回路保持不動(dòng)。下面分別考慮當(dāng)回路位移時(shí)，兩回路磁鏈不變和電流不變這兩種情形。 （1）兩回路的磁鏈不變，即常數(shù)、常數(shù)。由于回路發(fā)生位移，兩回路中的電流必定發(fā)生改變，這樣才能維持兩回路的

57、磁鏈不變。由于和等于常數(shù)，兩回路中都沒有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，故與回路相連接的電源不對(duì)回路輸入能量(假定導(dǎo)線的焦耳熱損耗可以忽略)，所以回路發(fā)生位移所需的機(jī)械功只有靠磁場(chǎng)釋放能量來(lái)提供，即 故得 （3.3.49） （2）兩回路中電流不改變，即常數(shù)、常數(shù)。由于回路發(fā)生位移，兩回路中的磁鏈必定發(fā)生改變，因此兩個(gè)回路都有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。此時(shí)，外接電源必然要做功來(lái)克服感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)以保持和不變。電源所做的功為，即外接電源輸入能量的一半用于增加磁場(chǎng)能量，另一半則用于使回路位移所需要的機(jī)械功，即 故得 （3.3.50）

58、因兩個(gè)電流回路的磁場(chǎng)能量為 將其代入式(3.3.50)中，得 （3.3.51） 上式表明，在和不變的情況下，磁場(chǎng)能量的改變（即磁力）僅是由于互感M的改變引起的。 圖3.3.9 電磁鐵的力 應(yīng)該指出，上面假設(shè)的不變和不變是在一個(gè)回路發(fā)生位移下的兩種假定情形，無(wú)論是假定不變還是不變，求出的磁場(chǎng)力應(yīng)該是相同的。而且，對(duì)于不止兩個(gè)回路的情形，其中任一個(gè)回路的受力都同樣可以按式（3.3.50）。 例3.3.8 如圖3.3.9所示的一個(gè)電磁鐵，由鐵軛（繞有匝線圈的鐵芯）和銜鐵構(gòu)成。鐵軛和銜鐵的橫截面積均為，平均長(zhǎng)度分別為和。鐵軛與

59、銜鐵之間有一很小的空氣隙，其長(zhǎng)度為。設(shè)線圈中的電流為，鐵軛和銜鐵的磁導(dǎo)率為，若忽略漏磁和邊緣效應(yīng)，求鐵軛對(duì)銜鐵的吸引力。 解 作用在銜鐵上的磁場(chǎng)力有減小空氣隙的趨勢(shì)，可通過(guò)式（3.3.49）或式（3.3.50）計(jì)算。在忽略漏磁和邊緣效應(yīng)的情況下，若保持磁通不變，則和不變，儲(chǔ)存在鐵軛和銜鐵中的磁場(chǎng)能量也不變，而空氣隙中的磁場(chǎng)能量則要變化。于是作用在銜鐵上的磁場(chǎng)力為 式中是空氣隙中的磁場(chǎng)強(qiáng)度。 根據(jù)安培環(huán)路定律，有 由于和，考慮到，由上式可得到 故得到鐵軛對(duì)銜鐵的吸引力 若采用式（3.3.54）計(jì)算，則儲(chǔ)存在系統(tǒng)中的磁場(chǎng)能量 同樣得到鐵軛對(duì)銜鐵的吸引力為

60、 圖 3.3.10 共軸的圓形線圈 例3.3.8 兩個(gè)互相平行且共軸的圓形線圈，相距為，半徑分別為和，其中。兩線圈中分別載有電流和，如圖3.3.10所示。求兩線圈間的磁場(chǎng)力 。 解 利用例3.3.6的結(jié)果，當(dāng)時(shí)，兩線圈的互感為 據(jù)式（3.3.51）得兩線圈間的磁場(chǎng)力為 式中的負(fù)號(hào)表示當(dāng)與的方向相同時(shí)，為吸引力；當(dāng)與方向相反時(shí)，為排斥力。 3.4 靜態(tài)場(chǎng)的邊值問(wèn)題及解的惟一性定理 靜態(tài)場(chǎng)問(wèn)題通常分為兩大類：分布型問(wèn)題和邊值型問(wèn)題。由已知場(chǎng)源（電荷、電流）分布，直接從場(chǎng)的積分公式求空間各點(diǎn)的場(chǎng)分布，稱為分布型問(wèn)題。如果已知場(chǎng)量在場(chǎng)域邊界上的值，求場(chǎng)

61、域內(nèi)的場(chǎng)分布，就屬于邊值型問(wèn)題。我們已在前幾節(jié)介紹了一些簡(jiǎn)單的分布型問(wèn)題的解法，本章將介紹一些靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法 靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法可分為解析法和數(shù)值法。解析法給出的結(jié)果是場(chǎng)量的解析表示式，本章只介紹鏡像法和分離變量法。數(shù)值法則是通過(guò)數(shù)值計(jì)算，給出場(chǎng)量的一組離散數(shù)據(jù)，本章只介紹有限差分法。由于電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和廣泛應(yīng)用，數(shù)值法獲得極大的發(fā)展，應(yīng)用前景廣闊。 3.4.1 邊值問(wèn)題的類型 靜態(tài)場(chǎng)的基本方程表明，在靜態(tài)場(chǎng)情況下，電場(chǎng)可用一個(gè)標(biāo)量電位來(lái)描述，磁場(chǎng)可用一個(gè)矢量磁位來(lái)描述，在無(wú)源（）的區(qū)域內(nèi)，磁場(chǎng)也可用一個(gè)標(biāo)量磁位來(lái)描述。在均勻媒質(zhì)中，位函數(shù)滿足泊松方程或拉普拉斯方程。同時(shí)，

62、在場(chǎng)域的邊界面上位函數(shù)還應(yīng)滿足一定的邊界條件。位函數(shù)方程和位函數(shù)的邊界條件一起構(gòu)成位函數(shù)的邊值問(wèn)題。因此，靜態(tài)場(chǎng)問(wèn)題的求解，都可歸結(jié)為在給定的邊界條件下，求解位函數(shù)的泊松方程或拉普拉斯方程。位函數(shù)方程是偏微分方程，位函數(shù)的邊界條件保證了方程的解是惟一的。從數(shù)學(xué)本質(zhì)上看，位函數(shù)的邊值問(wèn)題就是偏微分方程的定解問(wèn)題。 在場(chǎng)域V的邊界面S上給定的邊界條件有以下三種類型，相應(yīng)地把邊值問(wèn)題分為三類： （1）第一類邊界條件是已知位函數(shù)在場(chǎng)域邊界面上各點(diǎn)的值，即給定 （3.4.1） 這類問(wèn)題稱為第一類邊值問(wèn)題或狄里赫利問(wèn)題； （2）

63、第二類邊界條件是已知位函數(shù)在場(chǎng)域邊界面上各點(diǎn)的法向?qū)?shù)值，即給定 （3.4.2） 這類問(wèn)題稱為第二類邊值問(wèn)題或紐曼問(wèn)題； （3）第三類邊界條件是已知一部分邊界面上位函數(shù)的值，而在另一部分邊界面上已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即給定 和 （3.4.3） 這里。這類問(wèn)題稱為第三類邊值問(wèn)題或混合邊值問(wèn)題。 如果場(chǎng)域延伸到無(wú)限遠(yuǎn)處，還必須給出無(wú)限遠(yuǎn)處的邊界條件。對(duì)于源分布在有限區(qū)域的情況，在無(wú)限遠(yuǎn)處的位函數(shù)應(yīng)為有限值，即給出 有限值

64、（3.4.4） 稱為自然邊界條件。 此外，若整個(gè)場(chǎng)域內(nèi)，同時(shí)存在幾種不同的均勻介質(zhì)，則位函數(shù)還應(yīng)滿足不同介質(zhì)分界面上的邊界條件。 3.4.2 惟一性定理 惟一性定理是邊值問(wèn)題的一個(gè)重要定理，表述為：在場(chǎng)域的邊界面上給定或的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場(chǎng)域內(nèi)具有惟一解。 下面采用反證法對(duì)惟一性定理做出證明。設(shè)在邊界面包圍的場(chǎng)域內(nèi)有兩個(gè)位函數(shù)和都滿足泊松方程，即 和 令，則在場(chǎng)域內(nèi) 由于 將上式在整個(gè)場(chǎng)域上積分并利用散度定理，有 （3.4.5） 對(duì)于第一類邊值問(wèn)題，在整個(gè)邊界面上；對(duì)于第二類邊值問(wèn)題，在整個(gè)邊界面上；對(duì)于第三

65、類邊值問(wèn)題，在邊界面的部分上，在邊界面的部分上。 因此，無(wú)論是哪一類邊值問(wèn)題，由式（3.4.5）都將得到 由于是非負(fù)的，要使上式成立，必須在場(chǎng)域內(nèi)處處有。這表明在整個(gè)場(chǎng)域內(nèi)恒為常數(shù)，即 對(duì)于第一類邊值問(wèn)題，由于在邊界面上，所以。故在整個(gè)場(chǎng)域內(nèi)有，即。 對(duì)于第二類邊值問(wèn)題，若與取同一個(gè)參考點(diǎn)，則在參考點(diǎn)處，所以，故在整個(gè)場(chǎng)域內(nèi)也有。 對(duì)于第三類邊值問(wèn)題，由于，所以，故在整個(gè)場(chǎng)域內(nèi)也有。 惟一性定理具有非常重要的意義，首先它指出了靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題具有惟一解的條件，在邊界面上的任一點(diǎn)只須給定或的值，而不能同時(shí)給定兩者的值。其次惟一性定理也為靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的各種求解方法提供了理論依據(jù)，

66、為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)。根據(jù)惟一性定理，在求解邊值問(wèn)題時(shí)，無(wú)論采用什么方法，只要求出的位函數(shù)既滿足相應(yīng)的泊松方程(或拉普拉斯方程)，又滿足給定的邊界條件，則此函數(shù)就是所求出的惟一正確解。 3.5 鏡像法 在靜電場(chǎng)中，如果遇到電荷（稱為原電荷）附近存在一定形狀的導(dǎo)體，此時(shí)導(dǎo)體表面會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷。這樣，導(dǎo)體外部空間的總電場(chǎng)就等于原電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)與感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)的疊加。在一般情況下，直接求解這類問(wèn)題是困難的，這是因?yàn)閷?dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷也是未知量，它也取決于總電場(chǎng)。但是，如果原電荷是點(diǎn)電荷、線電荷，且導(dǎo)體形狀是平面、球、圓柱等簡(jiǎn)單形狀，就可采用鏡像法來(lái)求解這類問(wèn)題。 鏡像法的基本思想，是在所研究的場(chǎng)域以外的某些適當(dāng)?shù)奈恢蒙?，用一些虛設(shè)的電荷（稱為鏡像電荷）等效替代導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷或介質(zhì)分界面上的極化電荷。這樣就把原來(lái)的邊值問(wèn)題的求解轉(zhuǎn)換為均勻無(wú)界空間中的問(wèn)題來(lái)求解。根據(jù)惟一性定理，只要虛設(shè)電荷與場(chǎng)域內(nèi)原有的實(shí)際電荷一起所產(chǎn)生的電場(chǎng)滿足原問(wèn)題所給定的邊界條件，所得結(jié)果就是原問(wèn)題的解。 應(yīng)用鏡像法求解的關(guān)鍵在于如何確定像電荷。根據(jù)惟一性定理，鏡像電荷的確定應(yīng)遵循的兩條原則：