2018高考數(shù)學 100題系列 第20題 函數(shù)零點的個數(shù)問題 文

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1、 第20題 函數(shù)零點的個數(shù)問題 I．題源探究·黃金母題 【例1】求函數(shù)的零點的個數(shù)． 【答案】1． 【解析】的定義域為．由零點存在性定理知有零點．又在上是單調(diào)遞增函數(shù)，只有一個零點． 精彩解讀 【試題來源】人教版A版必修1第88頁例1． 【母題評析】本題考查了零點存在性定理、函數(shù)零點個數(shù)的判斷． 【思路方法】判斷函數(shù)是否存在零點可用零點存在性定理或利用數(shù)形結(jié)合法．而要判斷函數(shù)有幾個零點，還需要借助函數(shù)的單調(diào)性． II．考場精彩·真題回放 【例2】【2017高考江蘇卷第14題】設是定義在且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間上， 其中集合，則方程的解的個數(shù)是 ．

2、【答案】8 【解析】由于，則需考慮的情況，在此范圍內(nèi)，且時，設，且互質(zhì)．若，則由，可設，且互質(zhì)． 因此，則，此時左邊為整數(shù)，右邊非整數(shù)，矛盾，因此．因此不可能與每個周期內(nèi)對應的部分相等，只需考慮與每個周期的部分的交點，畫出函數(shù)圖象，圖中交點除外其它交點橫坐標均為無理數(shù)，屬于每個周期的部分，且處，則在附近僅有一個交點，一次方程解的個數(shù)為8． 【例3】【2016高考新課標I改編】函數(shù)在有 個零點． 【答案】D． 【解析】函數(shù)|在上是偶函數(shù)，其圖象關于軸對稱，故先考慮其在上有幾個零點．在上有零點．設． 在上有零點．又由，可得，設其解為，易知且在上有唯一零點，設為且．

3、從而當時，，即；當時，，即，故時，為單調(diào)遞減函數(shù)；當時，為單調(diào)遞增函數(shù)． 又在上有唯一零點．由函數(shù)圖象的對稱性可知在上有兩個零點． 【命題意圖】本題主要考查考查了零點存在性定理、函數(shù)零點個數(shù)的判斷．本題能較好的考查考生分析問題解決問題的能力． 【考試方向】這類試題在考查題型上，通?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中等偏易，考查基礎知識的識記、理解與應用． 【難點中心】解答此類問題，關鍵在于靈活選擇方法，如直接求解，或數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，或借助于導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的零點個數(shù)． 【例4】【2015年高考江蘇卷】已知函數(shù)，，則方程實根的個數(shù)為_

4、_________． 【答案】4． 【解析】方程等價于，即或共多少個根，，數(shù)形結(jié)合可得：與有兩個交點；，同理可得與有兩個交點，所以共計個． 【命題意圖】本題主要考查考查了零點存在性定理、函數(shù)零點個數(shù)的判斷．本題能較好的考查考生分析問題解決問題的能力． 【考試方向】這類試題在考查題型上，通常基本以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較大． 【難點中心】一些對數(shù)型方程不能直接求出其零點，常通過平移、對稱變換轉(zhuǎn)化為相應的函數(shù)圖像問題，利用數(shù)形結(jié)合法將方程根的個數(shù)轉(zhuǎn)化為對應函數(shù)零點個數(shù)，而函數(shù)零點個數(shù)的判斷通常轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像交點的個數(shù)．這時函數(shù)圖像是解題關鍵，不僅要研究其走勢（單調(diào)性，極值點

5、、漸近線等），而且要明確其變化速度快慢． III．理論基礎·解題原理 1．零點的定義：一般地，對于函數(shù)，我們把方程的實數(shù)根稱為函數(shù)的零點． 2．函數(shù)零點存在性定理：設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個零點，即至少有一點，使得． （1）在上連續(xù)是使用零點存在性定理判定零點的前提； （2）零點存在性定理中的幾個“不一定”（假設連續(xù)） ① 若，則的零點不一定只有一個，可以有多個； ② 若，那么在不一定有零點； ③ 若在有零點，則不一定必須異號． 3．若在上是單調(diào)函數(shù)且連續(xù)，則在的零點唯一． 4．函數(shù)的零點、方程的根、兩圖像交點之間的聯(lián)系： 設函數(shù)為，則的零點

6、即為滿足方程的根，若，則方程可轉(zhuǎn)變?yōu)?，即方程的根在坐標系中為交點的橫坐標，其范圍和個數(shù)可從圖像中得到． 由此看來，函數(shù)的零點，方程的根，兩圖像的交點這三者各有特點，且能相互轉(zhuǎn)化，在解決有關根的問題以及已知根的個數(shù)求參數(shù)范圍這些問題時要用到這三者的靈活轉(zhuǎn)化． 5．函數(shù)的零點，方程的根，兩函數(shù)的交點在零點問題中的作用 （1）函數(shù)的零點： 工具：零點存在性定理； 作用：通過代入特殊值精確計算，將零點圈定在一個較小的范圍內(nèi)； 缺點：方法單一，只能判定零點存在而無法判斷個數(shù)，且能否得到結(jié)論與代入的特殊值有關． （2）方程的根： 工具：方程的等價變形； 作用：當所給函數(shù)不易于分析性質(zhì)和圖

7、像時，可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，從而利用等式的性質(zhì)可對方程進行變形，構造出便于分析的函數(shù)； 缺點：能夠直接求解的方程種類較少，很多轉(zhuǎn)化后的方程無法用傳統(tǒng)方法求出根，也無法判斷根的個數(shù)． （3）兩函數(shù)的交點： 工具：數(shù)形結(jié)合； 作用：前兩個主要是代數(shù)運算與變形，而將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點，是將抽象的代數(shù)運算轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形特征，是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)．通過圖像可清楚的數(shù)出交點的個數(shù)（即零點，根的個數(shù)）或者確定參數(shù)的取值范圍； 缺點：數(shù)形結(jié)合能否解題，一方面受制于利用方程所構造的函數(shù)（故當方程含參時，通常進行參變分離，其目的在于若含的函數(shù)可作出圖像，那么因為另外一個只含參數(shù)的圖像為直線，所以便于觀察），另一方

8、面取決于作圖的精確度，所以會涉及到一個構造函數(shù)的技巧，以及作圖時速度與精度的平衡． IV．題型攻略·深度挖掘 【考試方向】 這類試題在考查題型上，通常基本以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，一般難度較?。羯婕暗暮瘮?shù)為分段函數(shù)，則難度加大． 【技能方法】 1．零點存在性定理的應用：若一個方程有解但無法直接求出時，可考慮將方程一邊構造為一個函數(shù)，從而利用零點存在性定理將零點確定在一個較小的范圍內(nèi)．例如：對于方程，無法直接求出根，構造函數(shù)，由即可判定其零點必在中． 2．判斷函數(shù)在某個區(qū)間上是否存在零點的方法 （1）解方程，當對應方程易解時，可通過解方程，看方程是否有根落在給定區(qū)間上． （2

9、）利用零點存在性定理進行判斷； （3）畫出函數(shù)圖象，通過觀察圖象與軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷． 3．斷函數(shù)零點個數(shù)的常見方法 （1）直接法：解方程，方程有幾個解，函數(shù)就有幾個零點； （2）圖象法：畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與軸的交點個數(shù)即為函數(shù)的零點個數(shù)； （3）將函數(shù)拆成兩個常見函數(shù)和的差，從而，則函數(shù)的零點個數(shù)即為函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)； （4）二次函數(shù)的零點問題主要從三個方面考慮： ①判別式確定零點是否存在；②對稱軸的位置控制零點的位置；③端點值的符號確定零點的個數(shù)． 【易錯指導】 對函數(shù)零點存在的判斷需要注意以下兩點：（1）函數(shù)在上連續(xù)；（2）滿足． 上述方

10、法只能求變號零點，對于非變號零點不能用上述方法求解． 另外需要注意的是：（1）若函數(shù)的圖象在與軸相切，則零點通常稱為不變號零點； （2）函數(shù)的零點不是點，它是函數(shù)與軸的交點的橫坐標，是方程的根． V．舉一反三·觸類旁通 【例1】【2018云南昆明一中高三一?！咳艉瘮?shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)是（ ） A．5個 B．4個 C．3個 D．2個 【答案】D 【解析】如圖：函數(shù)與函數(shù)有2個交點，所以選D． 【例2】【2018河南漯河高中高三上學期二?！恳阎瘮?shù)是上的偶函數(shù)，且，當時，，則函數(shù)的零點個數(shù)是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6

11、【答案】B 【例3】【2018遼寧莊河高中、沈陽二十中高三上學期第一次聯(lián)考】函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ） A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 【答案】D ；當時， ，據(jù)此可得：；當時， ，據(jù)此可得：；當時， ，而，則函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上有2個交點，很明顯，當時，函數(shù)圖象沒有交點，繪制函數(shù)圖象如圖所示，觀察可得：函數(shù)的零點個數(shù)為5個． 【名師點睛】函數(shù)零點的求解與判斷方法： （1）直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點． （2）零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜

12、0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點． （3）利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點． 【例4】【2018貴州黔東南州第一次聯(lián)考】已知函數(shù)，若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 方程有兩個不相等的實數(shù)根等價于函數(shù)與的圖象有兩個不同的交點，有圖可知， ．故選C． 【名師點睛】方程的根或函數(shù)有零點求參數(shù)范圍常用方法和思路 （1）直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍

13、； （2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決； （3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解． 【例5】【2018黑龍江海林模擬】設，又是一個常數(shù)，已知或時， 只有一個實根，當時， 有三個相異實根，給出下列命題： ①和有一個相同的實根； ②和有一個相同的實根； ③的任一實根大于的任一實根； ④的任一實根小于的任一實根． 其中正確命題的個數(shù)為（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A ， 當時， 只有一個實數(shù)根； 當時， 有三個相異實根，故函數(shù)即有極大值，又有極小值，且極

14、小值為0，極大值為4，故 與有一個相同的實數(shù)根，即極大值點，故（1）正確． 與 有一個相同的實根，即極小值點，故（2）正確； 有一實根且函數(shù)最小的零點， 有3個實根均大于函數(shù)的最小零點，故（3）錯誤； 有一實根且小于函數(shù)最小零點， 有三個實根均大于函數(shù)最小的零點，故（4）正確； 所以A選項正確． 【點睛】三次函數(shù)圖象時，要關注三次函數(shù)的極值點個數(shù)，三次函數(shù)的三次項系數(shù)為正，如果有兩個極值點，那么函數(shù)為先再減最后增，滿足對是一個常數(shù)，當或時， 只有一個實根，當時， 有三個相異實根這樣的條件，說明有極小值為0，極大值為4，據(jù)此可畫出函數(shù)的模擬圖像，數(shù)形結(jié)合，逐一驗證． 【例6】【2

15、018安徽阜陽臨泉一中高三上學期二?！恳阎?，若關于的方程 恰好有 個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是______________． 【答案】 令，則當時，方程有一解；當時，方程有兩解；時，方程有三解．∵關于的方程，恰好有4個不相等實數(shù)根，∴關于的方程在和上各有一解，∴，解得，故答案為． 【名師點睛】已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：①直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的范圍；②分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；③數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解． 【例7】【

16、2018江蘇南通如皋高三第一次聯(lián)考】已知函數(shù)若有三個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________． 【答案】 【解析】有三個零點，根據(jù)題意可得時，函數(shù)有一個零點； 時，函數(shù)有兩個零點．當時， ， 恒成立，故；當時， ，要使得有兩個零點，需滿足，解得，綜上可得，故答案為． 【例8】【2017江西宜春豐城九中、高安二中、宜春一中、萬載中學、樟樹中學、宜豐中學屆高三六校聯(lián)考】已知函數(shù)， 的四個零點， ， ， ，且，則的值是__________． 【答案】 【例9】【2018遼寧莊河高中、沈陽二十中高三上學期第一次聯(lián)考】已知函數(shù)將的圖象向右平移兩個單位，得到函數(shù)的圖象． （1）求函數(shù)的解

17、析式； （2）若方程在上有且僅有一個實根，求的取值范圍． 【答案】（1）（2） 【解析】試題分析：（1）借助平移的知識可以直接求出函數(shù)解析式 （2）先換元將問題轉(zhuǎn)化為有且只有一個根，再運用函數(shù)方程思想建立不等式組分析求解． （1）（2）設，則，原方程可化為，于是只須在上有且僅有一個實根． 法1：設，對稱軸，則①．或② 由①得，即，．由②得無解，則． 法2：由，，得，，設，則，． 記，則在上是單調(diào)函數(shù)，因為故要使題設成立，只須．即．從而． 【名師點睛】在解答指數(shù)函數(shù)的綜合題目時可以采用換元法，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的問題，根據(jù)題目要求，如需要分類討論，再加入分類討論． 【例10

18、】【江蘇揚州模擬】設 (R) （1） 若，求在區(qū)間上的最大值； （2） 若，寫出的單調(diào)區(qū)間； （3） 若存在，使得方程有三個不相等的實數(shù)解，求的取值范圍． 【答案】（1） （2） 的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間 （3） 試題解析： （1）當時，=， 在R上為增函數(shù)， 在上為增函數(shù)，則 ． （2），，， 當時， ， 在為增函數(shù) ， 當時，，即，在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，則的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間 ． （3）由（2）可知，當時， 為增函數(shù)，方程不可能有三個不相等實數(shù)根， 當時，由（2）得 ，， 即在有解，由在上為增函數(shù)， 當時， 的最大值為，則 ． 【例1

19、1】【2018海南中學、文昌中學、?？谑械谝恢袑W、農(nóng)墾中學等八校聯(lián)考】設函數(shù)，其中． （1）若直線與函數(shù)的圖象在上只有一個交點，求的取值范圍； （2）若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍． 【答案】（1） 或；（2） ． 令得， 遞減，∴在處取得極小值，且極小值為， ∵， ，∴由數(shù)形結(jié)合可得或． （2）當時， ， ，令得； 令得， 遞增；令得， 遞減，∴在處取得極小值，且極小值為，∵，∴，∵當即時， ，∴，即，∴無解，當即時， ，∴，即，又，∴． 綜上， ． 【名師點睛】函數(shù)交點問題，研究函數(shù)的單調(diào)性找函數(shù)最值，求參；恒成立求參，對于分段函數(shù)來講，分段討論最值即可． 【跟蹤練習

20、】 1．【2018江蘇南寧模擬】設函數(shù)，則零點的個數(shù)為（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【點睛】 函數(shù)數(shù)零點問題，常根據(jù)零點存在性定理來判斷，如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根． 2．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則函數(shù)的零點個數(shù)為 （ ） A． 4 B．6 C．8 D．10 【答案

21、】D． 【解析】由為偶函數(shù)可得：只需作出正半軸的圖像，再利用對稱性作另一半圖像即可，當時，可以利用利用圖像變換作出圖像，時，，即自變量差2個單位，函數(shù)值折半，進而可作出，，……的圖像，的零點個數(shù)即為根的個數(shù)，即與的交點個數(shù)，觀察圖像在時，有5個交點，根據(jù)對稱性可得時，也有5個交點．共計10個交點． 【評注】 （1）類似函數(shù)的周期性，但有一個倍數(shù)關系．依然可以考慮利用周期性的思想，在作圖時，以一個“周期”圖像為基礎，其余各部分按照倍數(shù)調(diào)整圖像即可； （2）周期性函數(shù)作圖時，若函數(shù)圖像不連續(xù)，則要注意每個周期的邊界值是屬于哪一段周期，在圖像中要準確標出，便于數(shù)形結(jié)合； （3）巧妙利用

22、的奇偶性，可以簡化解題步驟．例如本題中求交點個數(shù)時，只需分析正半軸的情況，而負半軸可用對稱性解決． 3．已知函數(shù)的圖像為上的一條連續(xù)不斷的曲線，當時，，則關于的函數(shù)的零點的個數(shù)為 （ ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【答案】A． 【評注】 （1）本題由于解析式未知，故無法利用圖像解決，所以根據(jù)條件考慮構造函數(shù)，利用單調(diào)性與零點存在性定理進行解決； （2）所給不等式呈現(xiàn)出輪流求導的特點，猜想可能是符合導數(shù)的乘法法則，變形

23、后可得，而的零點問題可利用方程進行變形，從而與條件中的相聯(lián)系，從而構造出． 4．定義域為的偶函數(shù)滿足對，有，且當時，，若函數(shù)在上至少有三個零點，則的取值范圍是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B． 有三個交點．先利用在的函數(shù)解析式及周期性對稱性作圖，通過圖像可得：時，不會有3個交點，考慮的圖像．設，則，利用圖像變換作圖，通過觀察可得：只需當時

24、，的圖像在上方即可，即 所以． 【評注】本題有以下幾個亮點： （1）的周期性的判定： 可猜想與周期性有關，可帶入特殊值，解出，進而判定周期，配合對稱性作圖； （2）在選擇出交點的函數(shù)時，若要數(shù)形結(jié)合，則要選擇能夠做出圖像的函數(shù)，例如在本題中，的圖像可做，且可通過圖像變換做出． 5．已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，，其中，若方程恰有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是 （ ） A． B．

25、 C． D． 【答案】B． ，即． 6．【2018廣東廣州模擬】已知函數(shù) 則函數(shù)的零點個數(shù)為 個． 【答案】． 【解析】的零點個數(shù)，即是方程的根的個數(shù)，也就是與的圖象的交點個數(shù)，分別作出與的圖象，如圖所示，由圖象知與的圖象有兩個交點，所以函數(shù)有個零點． 7．【2018全國名校第二次大聯(lián)考】函數(shù)有4個零點，其圖象如下圖，和圖象吻合的函數(shù)解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 得解：本函數(shù)圖象的交點、函數(shù)的零點、方程的根往往是“知一求二”，解答時要先判斷哪個好求解就轉(zhuǎn)化為哪個，判斷函數(shù)

26、零點個數(shù)的常用方法：（1） 直接法： 令則方程實根的個數(shù)就是函數(shù)零點的個；（2） 零點存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性) 可確定函數(shù)的零點個數(shù)；（3） 數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)，在一個區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個零點，在確定函數(shù)零點的唯一性時往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點存在定理，有時可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題． 8．【2018四川綿陽高三第一次診斷性考試】函數(shù)滿足，且當時，．若函數(shù)的圖象與函數(shù)（，且）的圖象

27、有且僅有4個交點，則的取值集合為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)的周期為又在一個周期內(nèi)，函數(shù)解析式為，所以可作出函數(shù)圖象，在同一坐標系內(nèi)作函數(shù)的圖象，要使兩個函數(shù)圖象有且僅有四個交點，只需，所以，故選C． 9．【2018安徽十大名校高三11月聯(lián)考】若函數(shù)有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 當時， 恒成立，又， 則函數(shù)在上有且只有1個零點； 當時，函數(shù)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 所以此時函數(shù)的極大值為，極小值為， 要使

28、得有4個零點，則，解得，故選B． 【名師點睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)的零點求解參數(shù)的取值范圍問題，其中解答中涉及到利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值等知識點的綜合應用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用，解答中把函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與的交點個數(shù)，利用函數(shù)的極值求解是解答的關鍵，試題有一定的難度，屬于中檔試題． 10．【2018江蘇淮安盱眙中學高三第一次學情調(diào)研】已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有四個交點，則實數(shù)的取值范圍為________． 【答案】 數(shù)最小值為，令 ，可得，此時函數(shù)有兩個零點，故函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有四個交點，實數(shù)的取值范圍為，故答案為

29、． 【方法點睛】本題主要考查函數(shù)圖象的交點、函數(shù)的零點、方程的根，屬于難題．函數(shù)圖象的交點、函數(shù)的零點、方程的根往往是“知一求二”，解答時要先判斷哪個好求解就轉(zhuǎn)化為哪個，判斷函數(shù)零點個數(shù)的常用方法：（1） 直接法： 令則方程實根的個數(shù)就是函數(shù)零點的個；（2） 零點存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性) 可確定函數(shù)的零點個數(shù)；（3） 數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)，在一個區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個零點，在確定函數(shù)零點的唯一性時往往要利用函數(shù)的單調(diào)

30、性，確定函數(shù)零點所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點存在定理，有時可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題． 11．【2018安徽滁州高三9月聯(lián)合質(zhì)量檢測】已知，若方程有唯一解，則實數(shù)的取值范圍是__________． 【答案】 由圖可知： ． 【名師點睛】根據(jù)函數(shù)零點求參數(shù)取值，也是高考經(jīng)常涉及的重點問題， （1）利用零點存在的判定定理構建不等式求解； （2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問題求解，如果涉及由幾個零點時，還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點個數(shù)； （3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關系問題，從而構建不等式求解． 12．【2018遼寧莊河高中、沈陽二十中高三上學期第一次聯(lián)考】已知函

31、數(shù)將的圖象向右平移兩個單位，得到函數(shù)的圖象． （1）求函數(shù)的解析式； （2）若方程在上有且僅有一個實根，求的取值范圍． 【答案】（1）（2） 法1：設，對稱軸，則①．或② 由①得，即， ． 由②得無解，則． 法2：由， ，得， ，設，則， ． 記，則在上是單調(diào)函數(shù)，因為故要使題設成立，只須．即．從而． 【名師點睛】在解答指數(shù)函數(shù)的綜合題目時可以采用換元法，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的問題，根據(jù)題目要求，如需要分類討論，再加入分類討論． 13．【2018河南林州一中高三8月調(diào)研】已知函數(shù)，且曲線在處的切線與平行． （1）求的值； （2）當時，試探究函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由．

32、 【答案】（1）（2）見解析 【解析】試題分析: （1）根據(jù)曲線在處的切線與平行可得: ，進而求出a值；（2）①當時， ，函數(shù)在單調(diào)遞增，根據(jù)零點存在性定理可得: 在上只有一個零點．②當時， 恒成立，構造函數(shù)，求導判斷單調(diào)性與最值可得， 又時， ，所以，即，故函數(shù)在上沒有零點，③當時， ， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)零點存在性定理可得:函數(shù)在上有且只有一個零點，綜上所述時，函數(shù)有兩個零點． 試題解析:解：（1）依題意，故， 故，解得． （2）①當時， ，此時， ， 函數(shù)在單調(diào)遞增， 故函數(shù)在至多有一個零點，又， 而且函數(shù)在上是連續(xù)不斷的，因此函數(shù)在上只有一個零點． ②當時， 恒成立，證明如下：設，則，所以在上單調(diào)遞增，所以時， ，所以，又時， ，所以，即，故函數(shù)在上沒有零點， ③當時， ， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在至多有一個零點， 又，而且函數(shù)在上是連續(xù)不斷的， 因此，函數(shù)在上有且只有一個零點． 綜上所述時，函數(shù)有兩個零點． 22