2018年高考數(shù)學(xué) 100題系列 第20題 函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題 理

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1、 第20題 函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題 I．題源探究·黃金母題 【例1】求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 【答案】1． 【解析】的定義域?yàn)椋闪泓c(diǎn)存在性定理知有零點(diǎn)．又在上是單調(diào)遞增函數(shù)，只有一個(gè)零點(diǎn)． 精彩解讀 【試題來源】人教版A版必修1第88頁例1． 【母題評(píng)析】本題考查了零點(diǎn)存在性定理、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷． 【思路方法】判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)可用零點(diǎn)存在性定理或利用數(shù)形結(jié)合法．而要判斷函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)，還需要借助函數(shù)的單調(diào)性． II．考場(chǎng)精彩·真題回放 【例2】【2017高考江蘇卷第14題】設(shè)是定義在且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間上， 其中集合，則方程的解的個(gè)數(shù)是 ．

2、【答案】8 【解析】由于，則需考慮的情況，在此范圍內(nèi)，且時(shí)，設(shè)，且互質(zhì)．若，則由，可設(shè)，且互質(zhì)． 因此，則，此時(shí)左邊為整數(shù)，右邊非整數(shù)，矛盾，因此．因此不可能與每個(gè)周期內(nèi)對(duì)應(yīng)的部分相等，只需考慮與每個(gè)周期的部分的交點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象，圖中交點(diǎn)除外其它交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為無理數(shù)，屬于每個(gè)周期的部分，且處，則在附近僅有一個(gè)交點(diǎn)，一次方程解的個(gè)數(shù)為8． 【例3】【2016高考新課標(biāo)I改編】函數(shù)在有 個(gè)零點(diǎn)． 【答案】D． 【解析】函數(shù)|在上是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故先考慮其在上有幾個(gè)零點(diǎn)．在上有零點(diǎn)．設(shè)． 在上有零點(diǎn)．又由，可得，設(shè)其解為，易知且在上有唯一零點(diǎn)，設(shè)為且．

3、從而當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，故時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)． 又在上有唯一零點(diǎn)．由函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知在上有兩個(gè)零點(diǎn)． 【命題意圖】本題主要考查考查了零點(diǎn)存在性定理、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷．本題能較好的考查考生分析問題解決問題的能力． 【考試方向】這類試題在考查題型上，通?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中等偏易，考查基礎(chǔ)知識(shí)的識(shí)記、理解與應(yīng)用． 【難點(diǎn)中心】解答此類問題，關(guān)鍵在于靈活選擇方法，如直接求解，或數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，或借助于導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)． 【例4】【2015年高考江蘇卷】已知函數(shù)，，則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)為_

4、_________． 【答案】4． 【解析】方程等價(jià)于，即或共多少個(gè)根，，數(shù)形結(jié)合可得：與有兩個(gè)交點(diǎn)；，同理可得與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以共計(jì)個(gè)． 【命題意圖】本題主要考查考查了零點(diǎn)存在性定理、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷．本題能較好的考查考生分析問題解決問題的能力． 【考試方向】這類試題在考查題型上，通?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較大． 【難點(diǎn)中心】一些對(duì)數(shù)型方程不能直接求出其零點(diǎn)，常通過平移、對(duì)稱變換轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖像問題，利用數(shù)形結(jié)合法將方程根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，而函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷通常轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．這時(shí)函數(shù)圖像是解題關(guān)鍵，不僅要研究其走勢(shì)（單調(diào)性，極值點(diǎn)

5、、漸近線等），而且要明確其變化速度快慢． III．理論基礎(chǔ)·解題原理 1．零點(diǎn)的定義：一般地，對(duì)于函數(shù)，我們把方程的實(shí)數(shù)根稱為函數(shù)的零點(diǎn)． 2．函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)，使得． （1）在上連續(xù)是使用零點(diǎn)存在性定理判定零點(diǎn)的前提； （2）零點(diǎn)存在性定理中的幾個(gè)“不一定”（假設(shè)連續(xù)） ① 若，則的零點(diǎn)不一定只有一個(gè)，可以有多個(gè)； ② 若，那么在不一定有零點(diǎn)； ③ 若在有零點(diǎn)，則不一定必須異號(hào)． 3．若在上是單調(diào)函數(shù)且連續(xù)，則在的零點(diǎn)唯一． 4．函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、兩圖像交點(diǎn)之間的聯(lián)系： 設(shè)函數(shù)為，則的零點(diǎn)

6、即為滿足方程的根，若，則方程可轉(zhuǎn)變?yōu)?，即方程的根在坐?biāo)系中為交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其范圍和個(gè)數(shù)可從圖像中得到． 由此看來，函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根，兩圖像的交點(diǎn)這三者各有特點(diǎn)，且能相互轉(zhuǎn)化，在解決有關(guān)根的問題以及已知根的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍這些問題時(shí)要用到這三者的靈活轉(zhuǎn)化． 5．函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根，兩函數(shù)的交點(diǎn)在零點(diǎn)問題中的作用 （1）函數(shù)的零點(diǎn)： 工具：零點(diǎn)存在性定理； 作用：通過代入特殊值精確計(jì)算，將零點(diǎn)圈定在一個(gè)較小的范圍內(nèi)； 缺點(diǎn)：方法單一，只能判定零點(diǎn)存在而無法判斷個(gè)數(shù)，且能否得到結(jié)論與代入的特殊值有關(guān)． （2）方程的根： 工具：方程的等價(jià)變形； 作用：當(dāng)所給函數(shù)不易于分析性質(zhì)和圖

7、像時(shí)，可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，從而利用等式的性質(zhì)可對(duì)方程進(jìn)行變形，構(gòu)造出便于分析的函數(shù)； 缺點(diǎn)：能夠直接求解的方程種類較少，很多轉(zhuǎn)化后的方程無法用傳統(tǒng)方法求出根，也無法判斷根的個(gè)數(shù)． （3）兩函數(shù)的交點(diǎn)： 工具：數(shù)形結(jié)合； 作用：前兩個(gè)主要是代數(shù)運(yùn)算與變形，而將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)，是將抽象的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形特征，是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)．通過圖像可清楚的數(shù)出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)（即零點(diǎn)，根的個(gè)數(shù)）或者確定參數(shù)的取值范圍； 缺點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合能否解題，一方面受制于利用方程所構(gòu)造的函數(shù)（故當(dāng)方程含參時(shí)，通常進(jìn)行參變分離，其目的在于若含的函數(shù)可作出圖像，那么因?yàn)榱硗庖粋€(gè)只含參數(shù)的圖像為直線，所以便于觀察），另一方

8、面取決于作圖的精確度，所以會(huì)涉及到一個(gè)構(gòu)造函數(shù)的技巧，以及作圖時(shí)速度與精度的平衡． IV．題型攻略·深度挖掘 【考試方向】 這類試題在考查題型上，通?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn)，一般難度較小．若涉及的函數(shù)為分段函數(shù)，則難度加大． 【技能方法】 1．零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用：若一個(gè)方程有解但無法直接求出時(shí)，可考慮將方程一邊構(gòu)造為一個(gè)函數(shù)，從而利用零點(diǎn)存在性定理將零點(diǎn)確定在一個(gè)較小的范圍內(nèi)．例如：對(duì)于方程，無法直接求出根，構(gòu)造函數(shù)，由即可判定其零點(diǎn)必在中． 2．判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)的方法 （1）解方程，當(dāng)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí)，可通過解方程，看方程是否有根落在給定區(qū)間上． （2

9、）利用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷； （3）畫出函數(shù)圖象，通過觀察圖象與軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷． 3．?dāng)嗪瘮?shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常見方法 （1）直接法：解方程，方程有幾個(gè)解，函數(shù)就有幾個(gè)零點(diǎn)； （2）圖象法：畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)； （3）將函數(shù)拆成兩個(gè)常見函數(shù)和的差，從而，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)； （4）二次函數(shù)的零點(diǎn)問題主要從三個(gè)方面考慮： ①判別式確定零點(diǎn)是否存在；②對(duì)稱軸的位置控制零點(diǎn)的位置；③端點(diǎn)值的符號(hào)確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 【易錯(cuò)指導(dǎo)】 對(duì)函數(shù)零點(diǎn)存在的判斷需要注意以下兩點(diǎn)：（1）函數(shù)在上連續(xù)；（2）滿足． 上述方

10、法只能求變號(hào)零點(diǎn)，對(duì)于非變號(hào)零點(diǎn)不能用上述方法求解． 另外需要注意的是：（1）若函數(shù)的圖象在與軸相切，則零點(diǎn)通常稱為不變號(hào)零點(diǎn)； （2）函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，它是函數(shù)與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是方程的根． V．舉一反三·觸類旁通 【例1】【2018云南昆明一中高三一?！咳艉瘮?shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ） A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè) 【答案】D 【解析】如圖：函數(shù)與函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，所以選D． 【例2】【2018河南漯河高中高三上學(xué)期二?！恳阎瘮?shù)是上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6

11、【答案】B 【例3】【2018遼寧莊河高中、沈陽二十中高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ） A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) 【答案】D ；當(dāng)時(shí)， ，據(jù)此可得：；當(dāng)時(shí)， ，而，則函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上有2個(gè)交點(diǎn)，很明顯，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，繪制函數(shù)圖象如圖所示，觀察可得：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5個(gè)． 【名師點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法： （1）直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)． （2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖

12、象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)． （3）利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)． 【例4】【2018貴州黔東南州第一次聯(lián)考】已知函數(shù)，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出函數(shù)的圖象如下： 【名師點(diǎn)睛】方程的根或函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)范圍常用方法和思路 （1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍； （2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；

13、（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解． 【例5】【2018黑龍江海林模擬】設(shè)，又是一個(gè)常數(shù)，已知或時(shí)， 只有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)， 有三個(gè)相異實(shí)根，給出下列命題： ①和有一個(gè)相同的實(shí)根； ②和有一個(gè)相同的實(shí)根； ③的任一實(shí)根大于的任一實(shí)根； ④的任一實(shí)根小于的任一實(shí)根． 其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A ， 當(dāng)時(shí)， 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根； 當(dāng)時(shí)， 有三個(gè)相異實(shí)根，故函數(shù)即有極大值，又有極小值，且極小值為0，極大值為4，故 與有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，即極大值點(diǎn)，故（1）正確

14、． 與 有一個(gè)相同的實(shí)根，即極小值點(diǎn)，故（2）正確； 有一實(shí)根且函數(shù)最小的零點(diǎn)， 有3個(gè)實(shí)根均大于函數(shù)的最小零點(diǎn)，故（3）錯(cuò)誤； 有一實(shí)根且小于函數(shù)最小零點(diǎn)， 有三個(gè)實(shí)根均大于函數(shù)最小的零點(diǎn)，故（4）正確； 所以A選項(xiàng)正確． 【點(diǎn)睛】三次函數(shù)圖象時(shí)，要關(guān)注三次函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，三次函數(shù)的三次項(xiàng)系數(shù)為正，如果有兩個(gè)極值點(diǎn)，那么函數(shù)為先再減最后增，滿足對(duì)是一個(gè)常數(shù)，當(dāng)或時(shí)， 只有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)， 有三個(gè)相異實(shí)根這樣的條件，說明有極小值為0，極大值為4，據(jù)此可畫出函數(shù)的模擬圖像，數(shù)形結(jié)合，逐一驗(yàn)證． 【例6】【2018安徽阜陽臨泉一中高三上學(xué)期二?！恳阎?，若關(guān)于的方程 恰好有 個(gè)不

15、相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________． 【答案】 令，則當(dāng)時(shí)，方程有一解；當(dāng)時(shí)，方程有兩解；時(shí)，方程有三解．∵關(guān)于的方程，恰好有4個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，∴關(guān)于的方程在和上各有一解，∴，解得，故答案為． 【名師點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：①直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的范圍；②分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；③數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解． 【例7】【2018江蘇南通如皋高三第一次聯(lián)考】已知函數(shù)若有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值

16、范圍是________． 【答案】 【解析】有三個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)題意可得時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)； 時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)， ， 恒成立，故；當(dāng)時(shí)， ，要使得有兩個(gè)零點(diǎn)，需滿足，解得，綜上可得，故答案為． 【例8】【2017江西宜春豐城九中、高安二中、宜春一中、萬載中學(xué)、樟樹中學(xué)、宜豐中學(xué)屆高三六校聯(lián)考】已知函數(shù)， 的四個(gè)零點(diǎn)， ， ， ，且，則的值是__________． 【答案】 【例9】【2018遼寧莊河高中、沈陽二十中高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】已知函數(shù)將的圖象向右平移兩個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象． （1）求函數(shù)的解析式； （2）若方程在上有且僅有一個(gè)實(shí)根，求的取值范圍． 【答案】（

17、1）（2） 【解析】試題分析：（1）借助平移的知識(shí)可以直接求出函數(shù)解析式 （2）先換元將問題轉(zhuǎn)化為有且只有一個(gè)根，再運(yùn)用函數(shù)方程思想建立不等式組分析求解． （1）（2）設(shè)，則，原方程可化為，于是只須在上有且僅有一個(gè)實(shí)根． 法1：設(shè)，對(duì)稱軸，則①．或② 由①得，即，．由②得無解，則． 法2：由，，得，，設(shè)，則，． 記，則在上是單調(diào)函數(shù)，因?yàn)楣室诡}設(shè)成立，只須．即．從而． 【名師點(diǎn)睛】在解答指數(shù)函數(shù)的綜合題目時(shí)可以采用換元法，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的問題，根據(jù)題目要求，如需要分類討論，再加入分類討論． 【例10】【江蘇揚(yáng)州模擬】設(shè) (R) （1） 若，求在區(qū)間上的最大值； （2

18、） 若，寫出的單調(diào)區(qū)間； （3） 若存在，使得方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求的取值范圍． 【答案】（1） （2） 的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間 （3） 試題解析： （1）當(dāng)時(shí)，=， 在R上為增函數(shù)， 在上為增函數(shù)，則 ． （2），，， 當(dāng)時(shí)， ， 在為增函數(shù) ， 當(dāng)時(shí)，，即，在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，則的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間 ． （3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)， 為增函數(shù)，方程不可能有三個(gè)不相等實(shí)數(shù)根， 當(dāng)時(shí)，由（2）得 ，， 即在有解，由在上為增函數(shù)， 當(dāng)時(shí)， 的最大值為，則 ． 【例11】【2018海南中學(xué)、文昌中學(xué)、?？谑械谝恢袑W(xué)、農(nóng)墾中學(xué)等八校聯(lián)考】設(shè)

19、函數(shù)，其中． （1）若直線與函數(shù)的圖象在上只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍； （2）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（1） 或；（2） ． 令得， 遞減，∴在處取得極小值，且極小值為， ∵， ，∴由數(shù)形結(jié)合可得或． （2）當(dāng)時(shí)， ， ，令得； 令得， 遞增；令得， 遞減，∴在處取得極小值，且極小值為，∵，∴，∵當(dāng)即時(shí)， ，∴，即，∴無解，當(dāng)即時(shí)， ，∴，即，又，∴． 綜上， ． 【名師點(diǎn)睛】函數(shù)交點(diǎn)問題，研究函數(shù)的單調(diào)性找函數(shù)最值，求參；恒成立求參，對(duì)于分段函數(shù)來講，分段討論最值即可． 【跟蹤練習(xí)】 1．【2018江蘇南寧模擬】設(shè)函數(shù)，則零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）

20、A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【點(diǎn)睛】 函數(shù)數(shù)零點(diǎn)問題，常根據(jù)零點(diǎn)存在性定理來判斷，如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根． 2．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 （ ） A． 4 B．6 C．8 D．10 【答案】D． 【解析】由為偶函數(shù)可得：只需作出正半軸的圖像，再利用對(duì)稱性

21、作另一半圖像即可，當(dāng)時(shí)，可以利用利用圖像變換作出圖像，時(shí)，，即自變量差2個(gè)單位，函數(shù)值折半，進(jìn)而可作出，，……的圖像，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為根的個(gè)數(shù)，即與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，觀察圖像在時(shí)，有5個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性可得時(shí)，也有5個(gè)交點(diǎn)．共計(jì)10個(gè)交點(diǎn)． 【評(píng)注】 （1）類似函數(shù)的周期性，但有一個(gè)倍數(shù)關(guān)系．依然可以考慮利用周期性的思想，在作圖時(shí)，以一個(gè)“周期”圖像為基礎(chǔ)，其余各部分按照倍數(shù)調(diào)整圖像即可； （2）周期性函數(shù)作圖時(shí)，若函數(shù)圖像不連續(xù)，則要注意每個(gè)周期的邊界值是屬于哪一段周期，在圖像中要準(zhǔn)確標(biāo)出，便于數(shù)形結(jié)合； （3）巧妙利用的奇偶性，可以簡(jiǎn)化解題步驟．例如本題中求交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，只需分析正半軸的情況

22、，而負(fù)半軸可用對(duì)稱性解決． 3．已知函數(shù)的圖像為上的一條連續(xù)不斷的曲線，當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于的函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 （ ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【答案】A． 【評(píng)注】 （1）本題由于解析式未知，故無法利用圖像解決，所以根據(jù)條件考慮構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行解決； （2）所給不等式呈現(xiàn)出輪流求導(dǎo)的特點(diǎn)，猜想可能是符合導(dǎo)數(shù)的乘法法則，變形后可得，而的零點(diǎn)問題可利用方程進(jìn)行變形，從而與條件中的相聯(lián)系，從而構(gòu)造出

23、． 4．定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿足對(duì)，有，且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在上至少有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B． 【評(píng)注】本題有以下幾個(gè)亮點(diǎn)： （1）的周期性的判定： 可猜想與周期性有關(guān)，可帶入特殊值，解出，進(jìn)而判定周期，配合對(duì)稱性作圖； （2）在選擇出交點(diǎn)的函數(shù)時(shí)，若要數(shù)形結(jié)合，則要選擇能夠做出圖像的函數(shù)，例如在本題

24、中，的圖像可做，且可通過圖像變換做出． 5．已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，其中，若方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B． ，即． 6．【2018廣東廣州模擬】已知函數(shù) 則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 個(gè)． 【答案】． 【解析】的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即是方程的根的個(gè)數(shù)，也就是與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，分別作出與

25、的圖象，如圖所示，由圖象知與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)． 7．【2018全國名校第二次大聯(lián)考】函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，其圖象如下圖，和圖象吻合的函數(shù)解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 得解：本函數(shù)圖象的交點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根往往是“知一求二”，解答時(shí)要先判斷哪個(gè)好求解就轉(zhuǎn)化為哪個(gè)，判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：（1） 直接法： 令則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)；（2） 零點(diǎn)存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性) 可確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3） 數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)

26、函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在一個(gè)區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，在確定函數(shù)零點(diǎn)的唯一性時(shí)往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，有時(shí)可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題． 8．【2018四川綿陽高三第一次診斷性考試】函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．若函數(shù)的圖象與函數(shù)（，且）的圖象有且僅有4個(gè)交點(diǎn)，則的取值集合為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以函數(shù)的周期為又在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)解析式為，所以可作出函數(shù)圖象，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作函數(shù)的圖象，要使兩個(gè)函數(shù)圖象有且僅有四

27、個(gè)交點(diǎn)，只需，所以，故選C． 9．【2018安徽十大名校高三11月聯(lián)考】若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 當(dāng)時(shí)， 恒成立，又， 則函數(shù)在上有且只有1個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 所以此時(shí)函數(shù)的極大值為，極小值為， 要使得有4個(gè)零點(diǎn)，則，解得，故選B． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)求解參數(shù)的取值范圍問題，其中解答中涉及到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，解答中把函數(shù)的零

28、點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用函數(shù)的極值求解是解答的關(guān)鍵，試題有一定的難度，屬于中檔試題． 10．【2018江蘇淮安盱眙中學(xué)高三第一次學(xué)情調(diào)研】已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________． 【答案】 上個(gè)遞增，由可得函數(shù) 在 上個(gè)遞減，所以函數(shù)最小值為，令 ，可得，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為． 【方法點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的交點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根，屬于難題．函數(shù)圖象的交點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根往往是“知一求二”，解答時(shí)要先判斷哪個(gè)好求解就轉(zhuǎn)化為哪個(gè)，判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：（1

29、） 直接法： 令則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)；（2） 零點(diǎn)存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性) 可確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3） 數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在一個(gè)區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，在確定函數(shù)零點(diǎn)的唯一性時(shí)往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，有時(shí)可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題． 11．【2018安徽滁州高三9月聯(lián)合質(zhì)量檢測(cè)】已知，若方程有唯一解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________． 【答案】

30、 由圖可知： ． 【名師點(diǎn)睛】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值，也是高考經(jīng)常涉及的重點(diǎn)問題， （1）利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解； （2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問題求解，如果涉及由幾個(gè)零點(diǎn)時(shí)，還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)； （3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解． 12．【2018遼寧莊河高中、沈陽二十中高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】已知函數(shù)將的圖象向右平移兩個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象． （1）求函數(shù)的解析式； （2）若方程在上有且僅有一個(gè)實(shí)根，求的取值范圍． 【答案】（1）（2） （1）（2）設(shè)，則，原方程可化為，于是只須在上有且

31、僅有一個(gè)實(shí)根． 法1：設(shè)，對(duì)稱軸，則①．或② 由①得，即， ． 由②得無解，則． 法2：由， ，得， ，設(shè)，則， ． 記，則在上是單調(diào)函數(shù)，因?yàn)楣室诡}設(shè)成立，只須．即．從而． 【名師點(diǎn)睛】在解答指數(shù)函數(shù)的綜合題目時(shí)可以采用換元法，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的問題，根據(jù)題目要求，如需要分類討論，再加入分類討論． 13．【2018河南林州一中高三8月調(diào)研】已知函數(shù)，且曲線在處的切線與平行． （1）求的值； （2）當(dāng)時(shí)，試探究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由． 【答案】（1）（2）見解析 【解析】試題分析: （1）根據(jù)曲線在處的切線與平行可得: ，進(jìn)而求出a值；（2）①當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)在單調(diào)

32、遞增，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得: 在上只有一個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)， 恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性與最值可得， 又時(shí)， ，所以，即，故函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，③當(dāng)時(shí)， ， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得:函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)． 試題解析:解：（1）依題意，故， 故，解得． （2）①當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)， ， 函數(shù)在單調(diào)遞增， 故函數(shù)在至多有一個(gè)零點(diǎn)，又， 而且函數(shù)在上是連續(xù)不斷的，因此函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)． ②當(dāng)時(shí)， 恒成立，證明如下：設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以時(shí)， ，所以，又時(shí)， ，所以，即，故函數(shù)在上沒有零點(diǎn)， ③當(dāng)時(shí)， ， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在至多有一個(gè)零點(diǎn)， 又，而且函數(shù)在上是連續(xù)不斷的， 因此，函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)． 綜上所述時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)． 22