高考數(shù)學大二輪刷題首選卷文數(shù)文檔：第一部分 考點十六 直線與圓錐曲線綜合問題 Word版含解析

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1、 考點十六　直線與圓錐曲線綜合問題 一、選擇題 1．(2019·安徽蕪湖模擬)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為，右焦點到一條漸近線的距離為，則此雙曲線的焦距等于(　　) A. B．2 C．3 D．6 答案　B 解析　由題意得焦點F(c,0)到漸近線bx＋ay＝0的距離為d＝＝＝b，即b＝，又＝，c2＝a2＋b2，可解得c＝，∴該雙曲線的焦距為2c＝2，故選B. 2．拋物線有如下光學性質：由焦點射出的光線經拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必經過拋物線的焦點．若拋物線y2＝4x的焦點為F，一平行于x軸的光

2、線從點M(3,1)射出，經過拋物線上的點A反射后，再經拋物線上的另一點B射出，則直線AB的斜率為(　　) A. B．－ C．± D．－ 答案　B 解析　由題意可設點A的坐標為(x0,1)，代入y2＝4x得12＝4x0，x0＝，又焦點F的坐標為(1,0)，所以kAB＝kAF＝＝－，故選B. 3．(2019·河南安陽二模)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點為F，右頂點為A，直線x＝a與雙曲線的一條漸近線的交點為B.若∠BFA＝30°，則雙曲線的離心率為(　　) A. B. C．2 D．3 答案　C 解析　由題意可得A(a,0)，雙曲線的漸近線方程為ay±bx＝0，

3、不妨設B點為直線x＝a與y＝x的交點，則B點的坐標為(a，b)，因為AB⊥FA，∠BFA＝30°，所以tan∠BFA＝＝＝＝，解得e＝2，故選C. 4．(2019·四川五校聯(lián)考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點為F，短軸的一個端點為P，直線l：4x－3y＝0與橢圓C相交于A，B兩點．若|AF|＋|BF|＝6，點P到直線l的距離不小于，則橢圓C的離心率的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如圖所示，設F′為橢圓的左焦點，連接AF′，BF′， 則四邊形AF′BF是平行四邊形，可得6＝|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝2a，得a＝3，取P(

4、0，b)，由點P到直線l的距離不小于，可得≥，解得|b|≥2.所以e＝＝≤ ＝，故選C. 5．已知圓O：x2＋y2＝4，從圓上任意一點P向y軸作垂線段PP1(P1在y軸上)，點M在直線PP1上，且向量＝2，則動點M的軌跡方程是(　　) A．4x2＋16y2＝1 B．16x2＋4y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　D 解析　由題可知P是MP1的中點，設點M(x，y)，P(x0，y0)，P1(0，y0)，則又x＋y＝4，故2＋y2＝4，即＋＝1.故選D. 6．(2019·安徽皖南八校第三次聯(lián)考)已知F是橢圓C：＋＝1的右焦點，P為橢圓C上一點，A(1,2)，則|PA|＋|P

5、F|的最大值為(　　) A．4＋ B．4 C．4＋ D．4 答案　D 解析　如圖，設橢圓的左焦點為F′，則|PF|＋|PF′|＝2，又F′(－1,0)，|AF′|＝＝2，∴|PA|＋|PF|＝2＋|PA|－|PF′|，根據(jù)圖形可以看出||PA|－|PF′||≤|AF′|，∴當P在線段AF′的延長線上時，|PA|－|PF′|最大，為|AF′|＝2， ∴|PA|＋|PF|的最大值為2＋2＝4，故選D. 7．已知拋物線y2＝4x上有10個不同的點，坐標分別為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，P10(x10，y10)，且橫坐標x1，x2，x3，…，x10成等差數(shù)列，x2，

6、x9為方程x2－5x＋6＝0的兩個根，拋物線的焦點為F，則|FP1|＋|FP2|＋…＋|FP10|的值為(　　) A．20 B．30 C．25 D．35 答案　D 解析　由x2，x9為方程x2－5x＋6＝0的兩個根，可知x2＋x9＝5，x1＋x2＋…＋x10＝＝＝25，|FP1|＋|FP2|＋…＋|FP10|＝x1＋x2＋…＋x10＋10＝35. 8．已知拋物線y2＝x，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側，且直線AB與x軸交于點(a,0)，若∠AOB為銳角(其中O為坐標原點)，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞

7、，1] 答案　B 解析　設A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0>y2)，直線AB的斜率不為0，設直線AB的方程為x＝my＋a，由得y2－my－a＝0，則y1＋y2＝m，y1y2＝－a，又因為∠AOB為銳角，所以·＝x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2>0，因為y1y2<0，所以y1y2<－1，即a>1. 二、填空題 9．已知直角坐標系中A(－2,0)，B(2,0)，動點P滿足|PA|＝|PB|，則點P的軌跡方程為________，軌跡為________． 答案　x2＋y2－12x＋4＝0　一個圓 解析　設動點P的坐標為(x，y)，因為|PA|＝|PB|， 所以＝，

8、 整理得x2＋y2－12x＋4＝0，軌跡為一個圓． 10．已知P為橢圓＋＝1(a>b>0)上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其左、右焦點，∠F1PF2取最大值時cos∠F1PF2＝，則橢圓的離心率為________． 答案　 解析　易知∠F1PF2取最大值時，點P為橢圓＋＝1與y軸的交點，由余弦定理及橢圓的定義得2a2－＝4c2，即a＝c，所以橢圓的離心率e＝＝. 11．已知拋物線Γ：y2＝8x的焦點為F，準線與x軸的交點為K，點P在Γ上且|PK|＝|PF|，則△PKF的面積為________． 答案　8 解析　由已知得，F(xiàn)(2,0)，K(－2,0)，過P作PM垂直于準線，M為垂足，則|PM|

9、＝|PF|，又|PK|＝|PF|，所以|PM|＝|MK|＝|PF|，所以PF⊥x軸，△PFK的高等于|PF|，不妨設P(m2,2m)(m>0)，則m2＋2＝4，解得m＝，故△PFK的面積S＝4×2××＝8. 12．(2019·山東濰坊三模)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，左頂點為A，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交C的右支于M，N兩點，且線段AM的垂直平分線經過點N，則C的離心率為________． 答案　 解析　由題意得A(－a,0)，F(xiàn)(c,0)，另一個焦點F′(－c,0)，由對稱性知，|AM|＝|AN|，又因為線段AM的垂直平分線經過點N，則|AN|＝|MN|，

10、可得△AMN是正三角形，如圖所示， 連接MF，則|AF|＝|MF|＝a＋c，由圖象的對稱性可知，∠MAF＝∠NAF＝∠MAN＝30°，又因為△AMF是等腰三角形，則∠AFM＝120°，在△MFF′中，|FF′|2＋|FM|2－2|FF′||FM|cos120°＝|F′M|2＝(|FM|＋2a)2，即4c2＋(a＋c)2－2×2c(a＋c)×＝(3a＋c)2，整理得3c2－ac－4a2＝0，即(c＋a)(3c－4a)＝0，則3c－4a＝0，故e＝＝. 三、解答題 13．(2019·全國卷Ⅲ)已知曲線C：y＝，D為直線y＝－上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B. (1)證明：

11、直線AB過定點． (2)若以E為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求該圓的方程． 解　(1)證明：設D，A(x1，y1)，則x＝2y1. 由于y′＝x，所以切線DA的斜率為x1， 故＝x1.整理得2tx1－2y1＋1＝0. 設B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0. 故直線AB的方程為2tx－2y＋1＝0. 所以直線AB過定點. (2)由(1)得直線AB的方程為y＝tx＋. 由可得x2－2tx－1＝0. 于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1. 設M為線段AB的中點，則M. 由于⊥，而＝(t，t2－2)，與向量(1，

12、t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0.解得t＝0或t＝±1. 當t＝0時，||＝2， 所求圓的方程為x2＋2＝4； 當t＝±1時，||＝， 所求圓的方程為x2＋2＝2. 14．(2019·湖北武漢5月模擬)如圖，O為坐標原點，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦距等于其長半軸長，M，N為橢圓C的上、下頂點，且|MN|＝2. (1)求橢圓C的方程； (2)過點P(0,1)作直線l交橢圓C于異于M，N的A，B兩點，直線AM，BN交于點T.求證：點T的縱坐標為定值3. 解　(1)由題意可知2c＝a,2b＝2，又a2＝b2＋c2， 則b＝，c＝1，a＝2， 故橢圓C的方程為＋＝1.

13、 (2)證明：由題意知直線l的斜率存在， 設其方程為y＝kx＋1， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2≠0)， 由得(4k2＋3)x2＋8kx－8＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝， 且x1＋x2＝kx1x2， 又lBN：y＝·x－，lAM：y＝·x＋， 由得＝·， 故＝· ＝， 整理得＝， 故y＝× ＝× ＝×＝3. 故點T的縱坐標為3. 一、選擇題 1．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右兩個焦點，過點F1作垂直于x軸的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于A，B兩點，△ABF2是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是(

14、　　) A．(1,2) B．(1，) C．(1,5) D．(，＋∞) 答案　B 解析　利用雙曲線的幾何性質求解．由等腰△ABF2是銳角三角形可得∠AF2F1<45°，即|AF1|<|F1F2|，所以|AF1|＝<|F1F2|＝2c，所以b2＝c2－a2<4a2，離心率e＝<，又雙曲線的離心率e>1，所以離心率e的取值范圍是(1，)，故選B. 2．已知橢圓C：＋＝1，若直線l經過M(0,1)，與橢圓交于A，B兩點，且＝－，則直線l的方程為(　　) A．y＝±x＋1 B．y＝±x＋1 C．y＝±x＋1 D．y＝±x＋1 答案　B 解析　依題意，設直線l：y＝kx＋1，

15、點A(x1，y1)，B(x2，y2)．則由消去y，整理得(9k2＋5)x2＋18kx－36＝0，Δ＝(18k)2＋4×36×(9k2＋5)>0，由此解得k＝±， 即直線l的方程為y＝±x＋1，選B. 3．已知雙曲線E：－＝1，直線l交雙曲線于A，B兩點，若線段AB的中點坐標為，則l的方程為(　　) A．4x＋y－1＝0 B．2x＋y＝0 C．2x＋8y＋7＝0 D．x＋4y＋3＝0 答案　C 解析　依題意，設點A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則有兩式相減得＝， 即＝×.又線段AB的中點坐標是， 因此x1＋x2＝2×＝1，y1＋y2＝(－1)×2＝－2，＝－，＝－

16、，即直線AB的斜率為－，直線l的方程為y＋1＝－，即2x＋8y＋7＝0，選C. 4．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線將平面劃分為“上、下、左、右”四個區(qū)域(不含邊界)，若點(2,1)在“右”區(qū)域內，則雙曲線的離心率e的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　依題意，雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x，且“右”區(qū)域由不等式組所確定，又點(2,1)在“右”區(qū)域內，于是有1<，即>，因此題中的雙曲線的離心率e＝∈，選B. 5．設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，P是雙曲線C右支上一點，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且∠PF

17、1F2＝30°，則雙曲線C的漸近線方程是(　　) A.x±y＝0 B．x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 答案　A 解析　因為P為右支上一點，由雙曲線的定義，可得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得，|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，且|F1F2|＝2c，又∠PF1F2＝30°，由余弦定理，可得cos30°＝＝＝.則有c2＋3a2＝2ac， 即c＝a，則b＝＝a，則雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，故選A. 6．P是雙曲線C：－y2＝1右支上一點，直線l是雙曲線C的一條漸近線，P在l上的射影為Q，F(xiàn)1是雙曲線C的左焦點，則|PF1|

18、＋|PQ|的最小值為(　　) A．1 B．2＋ C．4＋ D．2＋1 答案　D 解析　設F2是雙曲線C的右焦點，因為|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＋|PQ|＝2＋|PF2|＋|PQ|，顯然當F2，P，Q三點共線且P在F2，Q之間時，|PF2|＋|PQ|最小，且最小值為F2到直線l的距離．易知l的方程為y＝或y＝－，F(xiàn)2(，0)，可求得F2到l的距離為1，故|PF1|＋|PQ|的最小值為2＋1.選D. 7．(2019·五省名校聯(lián)考)在直角坐標系xOy中，F(xiàn)是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點，A，B分別為左、右頂點，過點F作x軸的垂線交橢圓C于P，Q兩點，連接PB

19、交y軸于點E，連接AE交PQ于點M，若M是線段PF的中點，則橢圓C的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如圖，連接BQ， 則由橢圓的對稱性易得∠PBF＝∠QBF，∠EAB＝∠EBA，所以∠EAB＝∠QBF，所以ME∥BQ，因為△PME∽△PQB，所以＝，因為△PBF∽△EBO，所以＝，從而有＝，又因為M是線段PF的中點，所以e＝＝＝＝，故選C. 8．已知拋物線x2＝8y，過點P(b,4)作該拋物線的切線PA，PB，切點為A，B，若直線AB恒過定點，則該定點為(　　) A．(4,0) B．(3,2) C．(0，－4) D．(4,1) 答案　

20、C 解析　設A，B的坐標為(x1，y1)，(x2，y2)，y＝，y′＝，PA，PB的方程分別為y－y1＝(x－x1)，y－y2＝(x－x2)，由y1＝，y2＝得y＝x－y1，y＝x－y2，因為切線PA，PB都過點P(b,4)， 所以4＝b－y1,4＝b－y2， 故可知過A，B兩點的直線方程為4＝x－y，當x＝0時，y＝－4，所以直線AB恒過點(0，－4)． 二、填空題 9．(2019·河北唐山一模)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，經過點M(－2,0)的直線交C于A，B兩點，若OA∥BF(O為坐標原點)，則|AB|＝________. 答案　 解析　如圖，拋物線C：y2＝8x的

21、焦點為F，經過點M(－2,0)的直線交C于A，B兩點，由OA∥BF，得A是BM的中點， 不妨設B(m，2)，可得A，可得2m＝4(m－2)，解得m＝4，所以B(4,4)，A(1,2)， 所以|AB|＝ ＝. 10．(2019·安徽合肥第二次教學質量檢測)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓C上一點，且∠F1PF2＝，若F1關于∠F1PF2平分線的對稱點在橢圓C上，則該橢圓的離心率為________． 答案　 解析　∵F1關于∠F1PF2平分線的對稱點Q在橢圓C上，則|PF1|＝|PQ|， ∵∠F1PQ＝60°， ∴△F1PQ為正三角形，

22、 ∴|F1Q|＝|F1P|，又∵|F1Q|＋|F2Q|＝|F1P|＋|F2P|＝2a，∴|F2Q|＝|F2P|，所以PQ⊥x軸，設|PF2|＝t，則|PF1|＝2t，|F1F2|＝t， 即即e＝＝＝. 11．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M與雙曲線C的焦點不重合，點M關于F1，F(xiàn)2的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在雙曲線的右支上，若|AN|－|BN|＝12，則a＝________. 答案　3 解析　如圖，設MN的中點為P. ∵F1為MA的中點，F(xiàn)2為MB的中點， ∴|AN|＝2|PF1|，|BN|＝2|PF2|， 又|AN|－|BN

23、|＝12， ∴|PF1|－|PF2|＝6＝2a，∴a＝3. 12．已知M(－5,0)，N(5,0)是平面上的兩點，若曲線C上至少存在一點P，使|PM|＝|PN|＋6，則稱曲線C為“黃金曲線”．下列五條曲線： ①－＝1；②y2＝4x；③－＝1；④＋＝1；⑤x2＋y2－2x－3＝0. 其中為“黃金曲線”的是________(寫出所有“黃金曲線”的序號)． 答案　②⑤ 解析　由已知得，點P的軌跡是以M，N為焦點，實軸長2a＝6的雙曲線的右支，可得b2＝c2－a2＝52－32＝16.則雙曲線的方程為－＝1(x>0)． 對于①，兩方程聯(lián)立，無解，則①錯誤； 對于②，解得x＝成立，②成立；

24、 對于③，兩方程聯(lián)立，無解，則③錯誤； 對于④，兩方程聯(lián)立，無解，則④錯誤； 對于⑤，消去y整理得 25x2－18x－171＝0，必有一個正根，⑤成立． 故所有“黃金曲線”的序號為②⑤. 三、解答題 13．(2019·全國卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點，P為C上的點，O為坐標原點． (1)若△POF2為等邊三角形，求C的離心率； (2)如果存在點P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍． 解　(1)連接PF1.由△POF2為等邊三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，

25、于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的離心率為e＝＝－1. (2)由題意可知，滿足條件的點P(x，y)存在當且僅當 |y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1， 即c|y|＝16，① x2＋y2＝c2，② ＋＝1.③ 由②③及a2＝b2＋c2得y2＝. 又由①知y2＝，故b＝4. 由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)， 所以c2≥b2，從而a2＝b2＋c2≥2b2＝32， 故a≥4. 當b＝4，a≥4時，存在滿足條件的點P. 所以b＝4，a的取值范圍為[4，＋∞)． 14．(2019·湖北四地七校期末)已知點F(0,1)，點A(x，y)(y≥0)為曲

26、線C上的動點，過A作x軸的垂線，垂足為B，滿足|AF|＝|AB|＋1. (1)求曲線C的方程； (2)直線l與曲線C交于兩不同點P，Q(非原點)，過P，Q兩點分別作曲線C的切線，兩切線的交點為M.設線段PQ的中點為N，若|FM|＝|FN|，求直線l的斜率． 解　(1)由|AF|＝|AB|＋1得 ＝|y|＋1， 化簡得曲線C的方程為x2＝4y. (2)由題意可知直線l的斜率存在， 設直線l的方程為y＝kx＋b， 聯(lián)立x2＝4y得x2－4kx－4b＝0， 設P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b， 設N(xN，yN)，則xN＝＝2k，yN＝2k2＋b， 又曲線C的方程為x2＝4y，即y＝，y′＝， ∴過P點的切線斜率為， 切線方程為y－y1＝(x－x1)，即y＝x－x， 同理，過Q點的切線方程為y＝x－x， 聯(lián)立兩切線方程可得 xM＝＝2k，yM＝x1x2＝－b，所以xM＝xN， 又因為|FM|＝|FN|，所以MN中點縱坐標為1， 即2k2＋b－b＝2，即k2＝1，所以k＝±1， 故直線l的斜率為k＝±1.