高中數(shù)學(xué)第七章《數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法》.doc

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高中數(shù)學(xué)第七章《數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法》 第二節(jié)《等差數(shù)列》教學(xué)目標(biāo)雙向表 學(xué)習(xí)水平 學(xué)習(xí)內(nèi)容 知識(shí) 技能與方法 情感 檢測(cè)方法 識(shí)記（A） 理解（B） 簡(jiǎn)單應(yīng)用（C） 綜合應(yīng)用（D） 實(shí)際應(yīng)用（E） 興趣（F） 價(jià)值（G） 定義 觀察等差數(shù)列例子 √ 1。通過(guò)介紹著名數(shù)學(xué)家高斯小時(shí)候的故事激發(fā)學(xué)生研究等差數(shù)列的熱情。 2．通過(guò)實(shí)際的等差數(shù)列問(wèn)題引起學(xué)生應(yīng)用數(shù)列的興趣 體會(huì)通過(guò)建立等差數(shù)列的數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的價(jià)值 口述回答 總結(jié)等差數(shù)列定義 √ 口述回答 分析等差數(shù)列定義 √ 口述回答 等差中項(xiàng) 等差中項(xiàng)定義 √ 口述回答 等差中項(xiàng)的特點(diǎn) √ 口述回答 等差中項(xiàng)的充要條件 √ 證明題 遞推公式 由等差數(shù)列定義得出等差數(shù)列遞推公式 √ 口述回答 等差數(shù)列遞推公式應(yīng)用 √ 簡(jiǎn)答或證明題 通項(xiàng)公式 復(fù)習(xí)數(shù)列通項(xiàng)公式概念 √ 口述回答 由等差數(shù)列遞推公式通過(guò)不完全歸納法推導(dǎo)等差數(shù)列通項(xiàng)公式 √ 口述回答 分析等差數(shù)列通項(xiàng)公式：知三求一 √ 簡(jiǎn)答題 從函數(shù)角度理解通項(xiàng)公式 √ 口述回答 等差數(shù)列通項(xiàng)公式應(yīng)用 √ √ 簡(jiǎn)答題 前 N 項(xiàng)和公式 任意數(shù)列前n項(xiàng)和表示方法 √ 口述回答 舉例高斯解決簡(jiǎn)單等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法 √ 口述回答 用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式 √ √ 簡(jiǎn)答題 分析等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：知三求二 √ 簡(jiǎn)答題 從函數(shù)角度理解等差數(shù)列求和公式 √ 口述回答 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式應(yīng)用 √ √ √ 簡(jiǎn)答題 說(shuō)明： （A）：能再現(xiàn)或回憶數(shù)學(xué)知識(shí) （B）：能正確地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)特征或聯(lián)系 （C）：能正確地使用單一知識(shí)點(diǎn)的能力 （D）：能正確并靈活地融合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的能力 （E）：能應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力（建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型） （F）：能激發(fā)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種心理傾向 （G）：能體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義 《等差數(shù)列》（4課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)建議 一、教學(xué)內(nèi)容分析 （一）教材分析 1、教材的地位和作用： 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。一方面,數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項(xiàng)公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)列的知識(shí)進(jìn)一步深入和拓廣。同時(shí)等差數(shù)列也為今后學(xué)習(xí)等比數(shù)列提供了學(xué)習(xí)類比的依據(jù)。 2、教學(xué)目標(biāo)： 　 1.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列前 項(xiàng)和的公式，并能運(yùn)用通項(xiàng)公式及前 項(xiàng)和的公式解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題. （1）了解公差的概念，明確一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的限定條件，能根據(jù)定義判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，了解等差中項(xiàng)的概念； 　　（2）能靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式求等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)、指定的項(xiàng)； 　?。?）能通過(guò)通項(xiàng)公式與圖像認(rèn)識(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)，能用圖像與通項(xiàng)公式的關(guān)系解決某些問(wèn)題. （4）了解等差數(shù)列前 項(xiàng)和的定義，了解倒序相加的原理，理解等差數(shù)列前 項(xiàng)和公式推導(dǎo)的過(guò)程，記憶公式的兩種形式； （5）用方程思想認(rèn)識(shí)等差數(shù)列前 項(xiàng)和的公式，利用公式求 ；等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前 項(xiàng)和的公式兩套公式涉及五個(gè)字母，已知其中三個(gè)量求另兩個(gè)值； 2.通過(guò)等差數(shù)列的圖像的應(yīng)用，進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想；通過(guò)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式的運(yùn)用，滲透方程思想 3.通過(guò)公式的推導(dǎo)和公式的運(yùn)用，使學(xué)生體會(huì)從特殊到一般，再?gòu)囊话愕教厥獾乃季S規(guī)律，初步形成認(rèn)識(shí)問(wèn)題，解決問(wèn)題的一般思路和方法. 4.通過(guò)公式的推導(dǎo)過(guò)程，展現(xiàn)數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美；通過(guò)有關(guān)內(nèi)容在實(shí)際生活中的應(yīng)用，使學(xué)生再一次感受數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活的實(shí)用性，引導(dǎo)學(xué)生要善于觀察生活，從生活中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并數(shù)學(xué)地解決問(wèn)題. （二）重點(diǎn)難點(diǎn) 1．重點(diǎn)： （1）等差數(shù)列的概念； （2）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用； （3）等差數(shù)列前 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。 2．難點(diǎn)： （1）等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法； （2）公式的靈活運(yùn)用。 二、教學(xué)方法建議 （一）學(xué)情分析 通過(guò)高中數(shù)學(xué)一年的學(xué)習(xí)，現(xiàn)在的學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)已較為豐富，他們的智力發(fā)展已到了形式運(yùn)演階段，具備了較強(qiáng)的抽象思維能力和演繹推理能力，所以在授課時(shí)應(yīng)注重引導(dǎo)、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學(xué)生的心理發(fā)展特點(diǎn)，從而促進(jìn)思維能力的進(jìn)一步發(fā)展。 （二）教學(xué)方法 1．等差數(shù)列的定義及遞推公式 （1）等差數(shù)列定義的引出可先給出幾組等差數(shù)列，讓學(xué)生觀察、比較，概括共同規(guī)律，再由學(xué)生嘗試說(shuō)出等差數(shù)列的定義，對(duì)程度差的學(xué)生可以提示定義的結(jié)構(gòu)：“……的數(shù)列叫做等差數(shù)列”，由學(xué)生把限定條件一一列舉出來(lái)，為等比數(shù)列的定義作準(zhǔn)備．如果學(xué)生給出的定義不準(zhǔn)確，可讓學(xué)生研究討論，用符合學(xué)生的定義但不是等差數(shù)列的數(shù)列作為反例，再由學(xué)生修改其定義，逐步完善定義． 師生共同總結(jié)得出等差數(shù)列的概念： 如果一個(gè)數(shù)列,從第二項(xiàng)開始它的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差都等于同一常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d來(lái)表示。 強(qiáng)調(diào)：① “從第二項(xiàng)起”滿足條件； ②公差d一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得； ③每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差必須是同一個(gè)常數(shù)（強(qiáng)調(diào)“同一個(gè)常數(shù)” ）； 在理解概念的基礎(chǔ)上，由學(xué)生阿將等差數(shù)列的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，歸納出數(shù)學(xué)表達(dá)式，即等差數(shù)列的遞推公式：或 說(shuō)明：判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列用等差數(shù)列的定義即遞推公式。 （2）例題 例3和例5即根據(jù)等差數(shù)列定義及遞推公式證明數(shù)列為等差數(shù)列。 2．等差中項(xiàng) 三個(gè)數(shù)a、A、b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，A叫做等差中項(xiàng)，等差中項(xiàng)等于另兩項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)。 通過(guò)推理論證得出：a、A、b所成的數(shù)列中，A是等差中項(xiàng)。 三項(xiàng)數(shù)的中項(xiàng)是否是另外兩項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)是用來(lái)驗(yàn)證三項(xiàng)數(shù)是否成等差數(shù)列的簡(jiǎn)捷方法，也是檢驗(yàn)有限項(xiàng)數(shù)列是否成等差數(shù)列的方法之一。 3．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 若一等差數(shù)列{an }的首項(xiàng)是a1,公差是d, 則據(jù)其定義可得： a2- a1=d 即： a2=a1+d a3– a2=d 即： a3=a2+d = a1+2d a4– a3=d 即： a4=a3+d = a1+3d …… 猜想: a40= a1+39d 進(jìn)而歸納出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： an=a1+(n-1)d 此時(shí)指出：這種求通項(xiàng)公式的方法叫不完全歸納法，這種導(dǎo)出公式的方法不夠嚴(yán)密，為了培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，強(qiáng)調(diào)需要加以證明，這種方法就完善了，為以后的數(shù)學(xué)歸納法打下伏筆。 接著舉例說(shuō)明：若一個(gè)等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)是１，公差是２，得出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是：an=1+(n-1)2 ， 即an=2n-1 以此來(lái)鞏固等差數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)用。 同時(shí)要求畫出該數(shù)列圖象，由此說(shuō)明等差數(shù)列是關(guān)于正整數(shù)n一次函數(shù)，其圖像是均勻排開的無(wú)窮多個(gè)孤立點(diǎn)。用函數(shù)的思想來(lái)研究數(shù)列，使數(shù)列的性質(zhì)顯現(xiàn)得更加清楚。 例1主要練習(xí)對(duì)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的直接使用、“知三求一”，滲透方程的思想，以及基本量的使用。 例2和例6練習(xí)等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式在實(shí)際生活中的使用，培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象數(shù)學(xué)模型的能力。 進(jìn)一步從一次函數(shù)角度（）并結(jié)合圖像理解等差數(shù)列通項(xiàng)公式。 4．等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式 本節(jié)內(nèi)容是等差數(shù)列前 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，首先通過(guò)具體的例子1+2+3+…+100=？引入高斯求解本題的方法，讓學(xué)生從中得到一些啟發(fā)，思考：對(duì)于一般的等差數(shù)列是否可以借鑒這種方法？之后在教師的啟發(fā)之下用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式:①并加以簡(jiǎn)單應(yīng)用；再與等差數(shù)列通項(xiàng)公式組成方程組，推導(dǎo)等差數(shù)列求和的另一公式：②。 強(qiáng)調(diào)：（1）掌握推導(dǎo)公式的方法：倒序相加法； （2）分析兩公式：兩個(gè)公式中共涉及到5個(gè)量，任意知道其中3個(gè)可求其余2個(gè)，即“知三求二”，滲透方程的思想； （3）分析兩公式，能夠恰當(dāng)?shù)剡x擇適當(dāng)?shù)墓剑绕涫堑诙€(gè)公式中注意基本量和d的使用； （4）分析公式②，可變形為，從函數(shù)角度理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。 例7練習(xí)對(duì)于等差數(shù)列求和公式的使用。 例8練習(xí)用基本量和d求等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，滲透方程思想。 例9是通過(guò)數(shù)列的求和公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，使數(shù)列的和與項(xiàng)之間建立起關(guān)系，即項(xiàng)和關(guān)系式。這是本節(jié)內(nèi)容的一個(gè)綜合應(yīng)用，同時(shí)也可推廣到從函數(shù)角度理解等差數(shù)列的求和公式。 《等差數(shù)列》（4課時(shí)）教學(xué)效果檢測(cè) 課內(nèi)檢測(cè)題： 一、等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式（1） 1、下列數(shù)列中成等差數(shù)列的是（ ） A 0,1,3,5,7； B C D 2、如果命題甲為：△ABC中有一個(gè)內(nèi)角為，命題乙為：△ABC的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)可以構(gòu)成等差數(shù)列，那么命題甲是命題乙的（ ） A 充分非必要條件； B 必要非充分條件； C 充要條件； D既非充分又非必要條件。 3、已知數(shù)列是等差數(shù)列，如果那么__________。 4、已知數(shù)列是等差數(shù)列，如果，那么d=__________。 5、1與9的等差中項(xiàng)A=__________。 6、對(duì)大氣、水土等生產(chǎn)條件有嚴(yán)格國(guó)家認(rèn)證標(biāo)準(zhǔn)的有機(jī)食物越來(lái)越受到消費(fèi)者的青睞，某有機(jī)谷物的生產(chǎn)地，今年種植有機(jī)谷物的面積為1萬(wàn)畝，為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃每年新增種植面積3千畝，要使種植面積超過(guò)3萬(wàn)畝，多少年后才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)？ 等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式（2） 1、 在等差數(shù)列中， （1） 如果那么d=__________； （2） 如果，，那么__________； （3） 如果，那么n=__________。 2、 如果正整數(shù)p、q、l、k滿足p+q=l+k,數(shù)列是等差數(shù)列，那么，試判斷這個(gè)命題及其逆命題的真假，并說(shuō)明理由。 等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式（3） 1、 已知a、b、c是等差數(shù)列，求證：b+c、c+a、a+b是等差數(shù)列。 2、 已知一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d, （1） 將數(shù)列中的前m項(xiàng)去掉，其余各項(xiàng)依原來(lái)的先后次序組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是，它的首項(xiàng)和公差分別是多少？ （2） 取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)，依原來(lái)的先后次序組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是，它的首項(xiàng)和公差分別是多少？ 3、 在8與36中間插入6個(gè)數(shù)，使這8個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求所插入的6個(gè)數(shù)。 4、 一架木梯從下至上共有11級(jí)，它們的寬度成等差數(shù)列，最下一級(jí)寬57厘米，最上一級(jí)寬37厘米，求這架木梯中間各級(jí)的寬度。 二、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式 1、已知數(shù)列是等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為，，求。 2、已知數(shù)列是等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為，，求。 3、已知，求n。 4、已知數(shù)列是等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為，，求。 課后檢測(cè)題： 一、等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式 1、判斷下列數(shù)列中，那些是等差數(shù)列。是等差數(shù)列的，請(qǐng)寫出等差數(shù)列的公差d。 （1）1，11，121． （2）1，2，1 （3）。 （4）2，2，2。 2、已知數(shù)列是等差數(shù)列，請(qǐng)?jiān)谙卤碇刑钊脒m當(dāng)?shù)臄?shù)： 公差d -3 6 -5 2 3、根據(jù)所寫的條件填寫下表： d n 等差數(shù)列 5 10 12 等差數(shù)列 -5 6 61 4、已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。 5、已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，求與。 6、已知數(shù)列是等差數(shù)列，且設(shè)與的等差中項(xiàng)為x，與x的等差中項(xiàng)為y，x與的等差中項(xiàng)為z,求x+y+z。 7、分別求下列兩題中兩數(shù)的等差中項(xiàng)： （1）與； （2）與。 8、已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，求證：數(shù)列是等差數(shù)列。 9、已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，首末兩項(xiàng)之積為中間項(xiàng)的5倍，后兩項(xiàng)的和為第一項(xiàng)的8倍，求這三個(gè)數(shù)。 10、已知非零實(shí)數(shù)a、b、c不全相等，如果a、b、c成等差數(shù)列，那么能不能構(gòu)成等差數(shù)列？為什么？ 11、已知數(shù)列是等差數(shù)列， （1）是否成立？為什么？ （2）求證：。 （3）由第（2）題你可以推廣出怎樣的結(jié)論？ 12、夏季高山上的溫度從山腳起每升高100米降低，已知山腳的溫度是，山頂?shù)臏囟仁?，求山的相?duì)高度。 13、某產(chǎn)品按質(zhì)量分成10個(gè)檔次，生產(chǎn)最低檔次的利潤(rùn)是8元/件，每提高一個(gè)檔次，利潤(rùn)每件增加2元，產(chǎn)量減少3件。如果在某段時(shí)間內(nèi)，最低檔的產(chǎn)品可生產(chǎn)60件，那么在相同時(shí)間內(nèi)，生產(chǎn)第幾檔次的產(chǎn)品可獲得最大利潤(rùn)？（最低檔次為第1檔） 14、已知a,b,c,d成等差數(shù)列，求證：2a-3b,2b-3c,2c-3d成等差數(shù)列。 15、如果數(shù)列是項(xiàng)數(shù)相同的兩個(gè)等差數(shù)列，p,q是常數(shù)，那么數(shù)列是等差數(shù)列嗎？為什么？ 16、已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為零，且，。求證：數(shù)列是等差數(shù)列。 二、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式 1、已知等差數(shù)列分別滿足下列條件，求解相應(yīng)問(wèn)題。 （1），求。 （2），求。 （3），求d。 （4），求。 2、已知等差數(shù)列的第6項(xiàng)是5，第3項(xiàng)與第8項(xiàng)的和也是5，求這個(gè)數(shù)列的前9項(xiàng)和。 3、求100以內(nèi)能被7整除的所有正整數(shù)的和。 4、某禮堂有18排座位，第1排有26個(gè)座位，以后每一排都比前一排多2個(gè)座位，這個(gè)禮堂共能坐多少人? 5、某單位開發(fā)了一個(gè)受政府扶持的新項(xiàng)目，得到政府無(wú)息貸款50萬(wàn)元用于購(gòu)買設(shè)備，已知該設(shè)備在使用過(guò)程中第一天使用費(fèi)是101元，……，第n天使用費(fèi)是（100+n）元。如果總費(fèi)用=購(gòu)置費(fèi)+使用費(fèi)，那么使用多少天后，平均每天的費(fèi)用最低？ 6、已知等差數(shù)列的前15項(xiàng)和為135，求這個(gè)數(shù)列的第8項(xiàng)。 7、已知等差數(shù)列的前5項(xiàng)和為0，前10項(xiàng)和為-100，求這個(gè)數(shù)列的前20項(xiàng)和。 8已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：數(shù)列是等差數(shù)列。 9、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列，并說(shuō)明理由。 選校網(wǎng) www.xuanxiao.com 高考頻道 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬(wàn)張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫(kù) (按ctrl 點(diǎn)擊打開) 選校網(wǎng)（www.xuanxiao.com）是為高三同學(xué)和家長(zhǎng)提 供高考選校信息的一個(gè)網(wǎng)站。國(guó)內(nèi)目前有2000多所高校，高考過(guò)后留給考生和家長(zhǎng)選校的時(shí)間緊、高校多、專業(yè)數(shù)量更是龐大，高考選校信息紛繁、復(fù)雜，高三 同學(xué)在面對(duì)高考選校時(shí)會(huì)不知所措。選校網(wǎng)就是為考生整理高考信息，這里有1517專業(yè)介紹，近2000所高校簡(jiǎn)介、圖片、視頻信息。選校網(wǎng)，力致成為您最 強(qiáng)有力的選校工具！ 產(chǎn)品介紹： 1.大學(xué)搜索：介紹近2000所高校最詳細(xì)的大學(xué)信息，包括招生簡(jiǎn)章，以及考生最需要的學(xué)校招生辦公室聯(lián)系方式及學(xué)校地址等. 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