重慶市2018年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 圓 數(shù)學(xué)文化講堂（五）練習(xí)

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1、 數(shù)學(xué)文化講堂(五) 一 圓周率π 材料一　歷史上，對(duì)于圓周率π的研究是古代數(shù)學(xué)一個(gè)經(jīng)久不衰的話題，在我國(guó)，東漢初年《周髀算經(jīng)》里就有“徑一周三”的故率，公元前3世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德通過(guò)圓內(nèi)接和外切正多邊形逼近圓周的方法得到圓周率介于3和3之間．我國(guó)魏晉時(shí)期劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，南朝祖沖之進(jìn)一步求得π的值，他是第一個(gè)將其精確到7位的人．(華師九下P68) 第1題圖 1. 設(shè)半徑為r的圓內(nèi)接正n邊形的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，圓的直徑為d，如圖所示，當(dāng)n＝6時(shí)，π≈＝＝3，那么當(dāng)n＝12時(shí)，π≈＝________．(結(jié)果精確到0.01，參考數(shù)據(jù)：sin75°＝cos15°≈0.966)

2、 二 《九章算術(shù)》——方田 《九章算術(shù)》與古希臘歐幾里得的《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉，是中國(guó)古代《算經(jīng)十書(shū)》中最重要的一種，它系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，標(biāo)志著以算籌為基礎(chǔ)的中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的正式形成．全書(shū)分為9章，卷一“方田”中，詳細(xì)記述了扇形、弓形、環(huán)形的面積計(jì)算方法． 材料二　“方田”篇中所記：宛田面積術(shù)曰：以徑乘周，四而一．其中，宛田：扇形的田地；徑：扇形的直徑；周：扇形的弧長(zhǎng)；意思是：扇形的面積＝直徑×弧長(zhǎng)÷4. 2. 請(qǐng)完成下列問(wèn)題： (1)請(qǐng)用所學(xué)公式證明古人方法是否正確； (2)我們將弧長(zhǎng)與半徑相等的扇形叫作“等邊扇形”，試求面積為

3、16的“等邊扇形”的弧長(zhǎng)為_(kāi)_______． 材料三　“方田”篇中還記載：弧田面積術(shù)曰：以弦乘矢，矢又自乘，二而一．即給出了計(jì)算弧田面積的經(jīng)驗(yàn)公式：(弦×矢＋矢×矢)÷2.弧田(如圖)，由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差(弓形的高)． 3. 按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得的弧田面積與其實(shí)際面積之間存在誤差，現(xiàn)有圓心角為120°，弦長(zhǎng)等于9米的弧田． (1)計(jì)算弧田的實(shí)際面積； (2)按照材料中的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得結(jié)果與(1)中計(jì)算的弧田面積相差多少平方米？(結(jié)果保留兩位小數(shù)，≈1.732，π取3.14) 三 《周髀算經(jīng)》

4、 《周髀算經(jīng)》，原名《周髀》，是算經(jīng)的十書(shū)之一．中國(guó)最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，約成書(shū)于公元前1世紀(jì)，主要闡述當(dāng)時(shí)的蓋天說(shuō)和四分歷法． 材料四　《周髀算經(jīng)》中記載：周公與商高對(duì)話中，商高提出“環(huán)矩以為圓”． 注解1：《中國(guó)數(shù)學(xué)史大系》第一卷中解釋為：把矩的長(zhǎng)短兩只當(dāng)作“規(guī)”的兩只腳，直立于平面上，以矩的一端為樞，旋轉(zhuǎn)時(shí)，另一端即可成圓．如圖①. 注解2：中國(guó)近代著名數(shù)學(xué)家李儼注解：“直角三角形固定弦，其直角頂點(diǎn)的軌跡便是圓”，如圖②，數(shù)學(xué)家梁宗臣的看法與李儼相同，并在其《世界數(shù)學(xué)史簡(jiǎn)編》注明． 請(qǐng)完成下列問(wèn)題： 4. 注解1中，闡述了圓的定義：___________________

5、________________________； 5. 注解2中說(shuō)明直徑所對(duì)的圓周角為_(kāi)_______； 6. 已知一直角三角形的斜邊長(zhǎng)為4，結(jié)合材料，請(qǐng)?zhí)骄窟@個(gè)直角三角形的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 四 婆羅摩笈多定理 婆羅摩笈多，是一位印度數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，寫(xiě)了兩部關(guān)于數(shù)學(xué)和天文學(xué)的書(shū)籍．他的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位，他的負(fù)數(shù)概念及加減法運(yùn)算僅晚于中國(guó)的《九章算術(shù)》，而他的負(fù)數(shù)乘除法則在全世界都是領(lǐng)先的．他還提出了著名的婆羅摩笈多定理． 材料五　婆羅摩笈多定理的內(nèi)容及部分證明過(guò)程如下： 已知：如圖，四邊形A

6、BCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC⊥BD于點(diǎn)P，PM⊥AB于點(diǎn)M，延長(zhǎng)MP交CD于點(diǎn)N，求證：CN＝DN. 證明：在△ABP和△BMP中，∵AC⊥BD，PM⊥AB， ∴∠BAP＋∠ABP＝90°，∠BPM＋∠MBP＝90°. ∴∠BAP＝∠BPM. ∵∠DPN＝∠BPM，∠BAP＝∠BDC， ∴… 7. (1)請(qǐng)你閱讀婆羅摩笈多定理的證明過(guò)程，完成剩余的證明部分． (2)已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2.點(diǎn)D在⊙O上，∠BCD＝60°，連接AD，與BC交于點(diǎn)P.作PM⊥AB于點(diǎn)M，延長(zhǎng)MP交CD于點(diǎn)N，則PN的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 第

7、7題圖 五 阿基米德折弦定理 阿基米德(公元前287～公元前212年，古希臘)是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一．他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．阿拉伯Al－Binmi(973年～1050年)的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al－Binmi譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定理． 材料六　 如圖①，AB和BC是⊙O的兩條弦(即折線ABC是圓的一條折弦)，BC>AB，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則從點(diǎn)M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD＝AB＋BD.下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明CD＝AB＋BD的部分證明過(guò)程． 證明：如圖②，在CB上截取C

8、G＝AB，連接MA，MB，MC和MG. ∵M(jìn)是的中點(diǎn)， ∴MA＝MC. … 8. (1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分； (2)填空：如圖，已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝2，D為上一點(diǎn)，∠ABD＝45°，AE⊥BD于點(diǎn)E，則△BDC的周長(zhǎng)是________． 第8題圖 答案 1. 3.11. 2. 解：(1)正確．S扇形＝lr＝l×＝ld； (2)4. 【解法提示】設(shè)半徑為r，∵“等邊扇形”的弧長(zhǎng)與半徑相等，∴l(xiāng)＝r，∴16＝2r×r÷4，解得r＝4，∴扇形的弧長(zhǎng)l＝4. 3. 解：(1)如解圖，在△OAB中，AB＝9，∠AOB＝12

9、0°， 則∠AOC＝60°，∠ACO＝90°， 則AC＝，∴OA＝3，OC＝. 則可知扇形的半徑r＝3， 所以S△AOB＝×9×＝， S扇形AOB＝＝9π， 所以S弧田＝(9π－)平方米． 第3題解圖 (2)由(1)知矢長(zhǎng)為r＝OA－＝， 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式的S弧田＝×[9×＋()2]＝(＋)平方米． ∴9π－－－≈1.50(平方米)． 按照弧田面積經(jīng)驗(yàn)公式所得結(jié)果比實(shí)際少1.50平方米． 4. 平面上到定點(diǎn)的距離為定值的所有的點(diǎn)的集合即為圓． 5. 直角． 6. 解：存在． 由注解2可知，該直角三角形的直角頂點(diǎn)在直徑為4的圓上， ∴該直角三角形斜邊上的高的最大值

10、為2， ∵斜邊長(zhǎng)為4是定值， ∴該直角三角形的面積存在最大值，且面積的最大值為×4×2＝4. 7. (1)剩余證明過(guò)程如下： ∴∠DPN＝∠BDN，∴DN＝PN， 同理，PN＝CN，∴CN＝DN. (2)解：1 【解法提示】∵∠ACB＝45°，∠BCD＝60°，∴∠ACD＝105°.又∵∠D＝∠B＝30°，∴∠DAC＝180°－∠ACD－∠D＝45°，∴∠APC＝180°－∠DAC－∠ACB＝90°，PA＝PC.在△ABP和△CDP中，，∴△ABP≌△CDP，∴CD＝AB＝2.∵AD⊥BC，PM⊥AB，由婆羅摩笈多定理得，CN＝DN，∵∠CPD＝90°，∴PN＝CD＝1. 8. 解：(1)剩余證明過(guò)程如下： ∵CG＝AB，∠A＝∠C， ∴△MBA≌△MGC(SAS)， ∴MB＝MG. 在△MBG中，MD⊥BG， ∴BD＝GD， ∴CD＝CG＋GD＝AB＋BD； (2)2＋2. 【解法提示】∵△ABC為等邊三角形，∴點(diǎn)A為的中點(diǎn)，BD和DC為⊙O中的兩條弦，BD>DC，又∵AE⊥BD，∴垂足E為折弦BDC的中點(diǎn)，∴△BDC的周長(zhǎng)＝BD＋DC＋BC＝2BE＋BC，在Rt△ABE中，∠ABD＝45°，AB＝2，∴AE＝BE＝，∴△BDC的周長(zhǎng)為2＋2. 6