浙江省2018年中考數學復習 第一部分 考點研究 第四單元 三角形 第21課時 圖形的相似（含近9年中考真題）試題

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1、 第一部分 考點研究 第四單元 三角形 第21課時　圖形的相似 浙江近9年中考真題精選 命題點　　1　平行線分線段成比例(杭州2考，溫州2013.9) 1. (2017杭州3題3分)如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，DE∥BC.若BD＝2AD，則(　　) A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 第1題圖 2. (2015嘉興5題4分)如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點A，B，C；直線DF分別交l1，l2，l3于點D，E，F(xiàn)，AC與DF相交于點H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，則的值為(　　) A. B. 2

2、 C. D. 第2題圖 3. (2015金華14題4分)如圖，直線l1，l2，…，l6是一組等距的平行線，過直線l1上的點A作兩條射線，分別與直線l3，l6相交于點B，C，E，F(xiàn).若BC＝2，則EF的長是________． 第3題圖 命題點　　2相似三角形的判定及性質 類型一　A字型(杭州2考，臺州2013.9) 4. (2013臺州9題4分)如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，且＝＝，則S△ADE∶S四邊形BCED的值為(　　) A. 1∶ B. 1∶2 C. 1∶3 D. 1∶4 第4題圖 　　　5. (2016舟山15題4分)如圖，

3、已知△ABC和△DEC的面積相等，點E在BC邊上，DE∥AB交AC于點F，AB＝12，EF＝9，則DF的長是________． 第5題圖 6. (2017杭州19題8分)如圖，在銳角三角形ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，AG⊥BC于點G，AF⊥DE于點F，∠EAF＝∠GAC. (1)求證：△ADE∽△ABC； (2)若AD＝3，AB＝5，求的值． 第6題圖 7. (2016杭州19題8分)如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，∠AED＝∠B，射線AG分別交線段DE，BC于點F，G，且＝. (1)求證：△ADF∽△ACG; (2)若 ＝，求的值．

4、 第7題圖 類型二　垂直型(紹興2013.23) 第8題圖 8. (2014麗水10題3分)如圖，AB＝4，射線BM和AB互相垂直，點D是AB上的一個動點，點E在射線BM上，BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，連接AF并延長交射線BM于點C，設BE＝x，BC＝y(tǒng)，則y關于x的函數解析式是(　　) A. y＝－ B. y＝－ C. y＝－ D. y＝－ 9. (2013紹興23題12分)在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于點D，點E為AB的中點，EC與AD交于點G，點F在BC上． (1)如圖①，AC ∶AB＝1∶2，EF⊥CB，求證：EF＝CD； (2)如

5、圖②，AC ∶AB＝1∶，EF⊥CE，求EF ∶EG的值． 第9題圖 10. (2015麗水23題10分)如圖，在矩形ABCD中，E為CD的中點，F(xiàn)為BE上的一點，連接CF并延長交AB于點M，MN⊥CM交射線AD于點N. (1)當F為BE中點時，求證：AM＝CE； (2)若＝＝2，求的值； (3)若＝＝n，當n為何值時，MN∥BE? 第10題圖 命題點　　3　相似三角形的應用(紹興2014.20) 11. (2015衢州9題3分)如圖，已知“人字梯”的5個踩檔把梯子等分成6份，從上往下的第二個踩檔與第三個踩檔的正中間處有一條60 cm長的綁繩EF，tanα＝，則“人字梯

6、”的頂端離地面的高度AD是(　　) A. 144 cm 　 B. 180 cm 　 C. 240 cm 　 D. 360 cm 第11題圖 12. (2014紹興20題8分)課本中有一道作業(yè)題： 有一塊三角形余料ABC，它的邊BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．問加工成的正方形零件的邊長是多少mm? 小穎解得此題的答案為48 mm，小穎善于反思，她又提出了如下問題： (1)如果原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖②，此時，這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少m

7、m？請你計算． 圖① (2)如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖③這樣，此矩形零件的兩條邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達到這個最大值時矩形零件的兩條邊長． 第12題圖 命題點　　4相似多邊形(紹興2014.16) 13. (2014紹興16題5分)把標準紙一次又一次對開，可以得到均相似的“開紙”，現(xiàn)在我們在長為2，寬為1的矩形紙片中，畫兩個小矩形，使這兩個小矩形的每條邊都與原矩形紙的邊平行，或小矩形的邊在原矩形紙的邊上，且每個小矩形均與原矩形紙相似，然后將它們剪下，則所剪得的兩個小矩形紙片周長之和的最大值是________．

8、 答案 1．B　【解析】∵DE∥BC，BD＝2AD，∴＝＝，＝＝＝. 2．D　【解析】∵l1∥l2∥l3，∴＝＝＝. 3．5　【解析】∵直線l1，l2，…，l6是一組等距的平行線，∴可設AB＝2d，則AE＝5d，∵BC∥EF，∴＝＝，又∵BC＝2，∴EF＝5. 4．C　【解析】在△ADE與△ACB中，＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴S△ADE∶S△ACB＝(AE∶AB)2＝1∶4，∴S△ADE∶S四邊形BCED＝1∶3. 5．7　【解析】∵△ABC與△DEC的面積相等，∴△CDF與四邊形AFEB的面積相等，∵AB∥DE，∴△CEF∽△CBA，∵EF＝9

9、，AB＝12，∴＝＝，∴＝.設△CEF的面積為9k，則四邊形AFEB的面積為7k，∵△CDF與四邊形AFEB的面積相等，∴S△CDF＝7k，∵△CDF與△CEF是同高不同底的三角形，∴它們的面積比等于底之比，∴＝＝，∴DF＝7. 6．(1)證明：在△ABC中，∵AG⊥BC于點G，AF⊥DE于點F， ∴∠AFE＝∠AGC＝90°， 在△AEF和△ACG中， ∵∠AFE＝∠AGC，∠EAF＝∠GAC， ∴△AEF∽△ACG， ∴∠AEF＝∠C.(2分) 在△ADE和△ABC中， ∵∠AED＝∠C，∠EAD＝∠CAB， ∴△ADE∽△ABC；(4分) (2)解：由(1)知△ADE

10、∽△ABC， ∴＝＝，(6分) 又∵△AEF∽△ACG，∴＝＝.(8分) 7．(1)證明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠DAE， ∴∠ADF＝∠C， 又∵＝， ∴△ADF∽△ACG；(4分) (2)解：∵△ADF∽△ACG， ∴＝， 又∵＝， ∴＝， ∴＝1.(8分) 8．A　【解析】如解圖，過點F作FG⊥BC于點G，∴∠FGE＝90°，∵∠DEB＋∠FEC＝90°，∠DEB＋∠BDE＝90°，∴∠BDE＝∠FEG，又∵∠B＝90°，∴∠B＝∠FGE＝90°，又∵EF＝DE，∴△DBE≌△EGF，∴EG＝DB，GF＝BE＝x，∵BE＝DB，∴EG＝DB＝2BE＝2x，∴

11、GC＝y(tǒng)－3x，∵FG⊥BC，AB⊥BC，∴FG∥AB，∴△FCG∽△ACB，∴＝，即＝，解得y＝－，故選A. 第8題解圖 9．(1)證明：在△ABC中，∵∠CAB＝90°，AD⊥BC于點D， ∴∠CAD＝∠B＝90°－∠ACB， ∵AC∶AB＝1∶2， ∴AB＝2AC， ∵點E為AB的中點， ∴AB＝2BE， ∴AC＝BE. 在△ACD與△BEF中， ， ∴△ACD≌△BEF(AAS)， ∴EF＝CD；(6分) (2)解：如解圖，作EH⊥AD于點H，EQ⊥BC于點Q， ∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC， ∴四邊形EQDH是矩形， ∴∠QEH＝90°，

12、 ∴∠FEQ＝∠GEH＝90°－∠QEG， 又∵∠EQF＝∠EHG＝90°， ∴△EFQ∽△EGH， ∴＝， ∵AC∶AB＝1∶，∠CAB＝90°， ∴∠B＝30°， 在Rt△BEQ中，∵∠BQE＝90°， ∴sinB＝＝， ∴EQ＝BE， 在Rt△AEH中，∵∠AHE＝90°，∠AEH＝∠B＝30°， ∴cos∠AEH＝＝， ∴EH＝AE， ∵點E為AB的中點， ∴BE＝AE， ∴EF∶EG＝EQ∶EH＝BE∶AE＝1∶.(12分) 第9題解圖 10．(1)證明：∵在矩形ABCD中， AB∥CD， ∴∠CEF＝∠MBF， ∵F為BE中點， ∴BF＝E

13、F， 在△CEF與△MBF中， ， ∴△CEF≌△MBF(ASA)， ∴CE＝MB， 又∵E為CD的中點， ∴CE＝， ∴MB＝＝， 即M為AB的中點，AM＝MB， ∴AM＝CE；(3分) (2)解：∵AB∥CD， ∴△ECF∽△BMF， ∴＝， ∵＝2， ∴EC＝2BM， 設BM＝k，則EC＝2k，DC＝4k，BC＝AD＝2k，AM＝3k， ∵∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠CMB＋∠BCM＝90°， ∵MN⊥CM， ∴∠CMB＋∠AMN＝90°， ∴∠AMN＝∠BCM， ∴△BMC∽△ANM， ∴＝，即＝， ∴AN＝， ∴ND＝AD－AN＝，

14、 ∴＝3；(6分) (3)解：由(2)得＝，＝，設BM＝k，根據＝＝n得EC＝nk，DC＝2nk，BC＝2k，AM＝2nk－k， ∴＝，即AN＝， 若MN∥BE，則∠AMN＝∠ABE＝∠BEC， ∵∠A＝∠BCD＝90°， ∴△AMN∽△CEB， ∴＝，即 ＝， ∵AM＝2nk－k>0， ∴n＝4.(10分) 11．B　【解析】由題意知＝＝，又∵EF＝60 cm，∴BC＝144 cm，∴CD＝BC＝72 cm，∵tanα＝＝，∴AD＝180 cm. 12．解：(1)設矩形的邊長PN＝2y mm，則PQ＝y(tǒng) mm，由條件可得△APN∽△ABC， ∴＝， 即＝， 解得y＝

15、， ∴PN＝×2＝mm. 答：這個矩形零件的兩條邊長分別為 mm， mm；(4分) (2)設PN＝x mm，矩形PQMN的面積為S mm2， 由條件可得△APN∽△ABC， ∴＝， 即＝， 解得PQ＝80－x， ∴S＝PN·PQ＝x(80－x)＝－x2＋80x＝－(x－60)2＋2400， ∵－<0， ∴S存在最大值，最大值為2400 mm2，此時PN＝60 mm，PQ＝80－×60＝40 mm. 答：這個矩形面積達到最大值時，矩形零件的兩條邊長分別為40 mm，60 mm.(8分) 13．4＋　【解析】要使所剪得的兩個小矩形紙片周長之和最大，則這兩個小矩形紙片長與寬的和最大，∵原矩形的長與寬之比為2∶1，∴剪得的兩個小矩形中，一個矩形的長為1，寬為＝，∴另外一個矩形的長為2－＝，寬為＝，∴所剪得的兩個小矩形紙片周長之和的最大值是2(1＋＋＋)＝4＋. 13