重慶市2018年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角形 數(shù)學(xué)文化講堂（四）練習(xí)

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1、 數(shù)學(xué)文化講堂(四) 一 海倫——秦九韶公式 古希臘的幾何學(xué)家海倫，約公元50年，在數(shù)學(xué)史上以解決幾何測(cè)量問題而聞名．在他的著作《度量》一書中，給出了如下公式：若一個(gè)三角形的三邊分別為a，b，c，記p＝(a＋b＋c)，那么三角形的面積為：S△ABC＝(海倫公式)．我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶(約1202～約1261)，曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式：S△ABC＝.海倫公式和秦九韶公式實(shí)質(zhì)上是同一個(gè)公式，所以我們一般也稱此公式為海倫——秦九韶公式．(人教八下P16，北師八上P51) 1. 若△ABC的三邊長(zhǎng)為5，6，7，△DEF的三邊長(zhǎng)為，，，請(qǐng)利用上面的兩個(gè)公式分別求出△A

2、BC和△DEF的面積． 2. 如圖，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9，求△ABC的內(nèi)切圓半徑． 第2題圖 二 趙爽弦圖 趙爽，三國吳人，是三國到南宋時(shí)期三百多年間中國杰出的數(shù)學(xué)家之一．他在注解《周髀算經(jīng)》中給出的“趙爽弦圖”證明了勾股定理的準(zhǔn)確性，如圖所示，四個(gè)全等的直角三角形可以圍成一個(gè)大的正方形，中間空的是一個(gè)小正方形．通過對(duì)這個(gè)圖形的切割、拼接、巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理．證明方法如下： 設(shè)直角三角形的三邊中較短的直角邊為a，另一直角邊為b，斜邊為c，朱實(shí)面積＝2ab，黃實(shí)面積＝(b－a)2＝b2－2ab＋a

3、2，朱實(shí)面積＋黃實(shí)面積＝a2＋b2＝大正方形面積＝c2.(人教八下P30，北師八下P16) 3. 如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形構(gòu)成的大正方形，若直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，則小正方形的面積為________． 第3題圖 第4題圖 4. 如圖是“趙爽弦圖”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于________． 三 泰勒斯——全等 泰勒斯，公元前7至6世紀(jì)的古希臘時(shí)期的思想

4、家、科學(xué)家、哲學(xué)家，希臘最早的哲學(xué)學(xué)派——米利都學(xué)派(也稱愛奧尼亞學(xué)派)的創(chuàng)始人．泰勒斯是古希臘及西方第一個(gè)有記載有名字留下來的自然科學(xué)家和哲學(xué)家． 5. 相傳泰勒斯利用三角形全等的方法求出岸上一點(diǎn)到海中一艘船的距離．如圖，B是觀察點(diǎn)，船A在B的正前方，過點(diǎn)B作AB的垂線，在垂線上截取任意長(zhǎng)BD，C是BD的中點(diǎn)，觀察者從點(diǎn)D沿垂直于BD的DE方向走，直到點(diǎn)E、船A和點(diǎn)C在一條直線上，那么△ABC≌△EDC，從而量出DE的距離即為船離岸的距離AB，這里判定△ABC≌△EDC的方法是(　　) 第5題圖 A. SAS B. ASA C. AAS

5、 D. SSS 四 《海島算經(jīng)》 《海島算經(jīng)》是中國最早的一部測(cè)量數(shù)學(xué)專著，也是中國古代高度發(fā)達(dá)的地圖學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．由劉徽于三國魏景元四年所撰，《海島算經(jīng)》共九問，都是用表尺重復(fù)從不同位置測(cè)望，取測(cè)量所得的差數(shù)，進(jìn)行計(jì)算從而求得山高或谷深．(北師九上P104) 6. 該書中提出九個(gè)測(cè)量問題，其中一個(gè)為：有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺．從勾端望谷底，入下股九尺一寸．又設(shè)重矩于上，其矩間相去三丈．更從勾端望谷底，入上股八尺五寸．問谷深幾何？題目的大意是：測(cè)量一個(gè)山谷AE的深度，拿一個(gè)高AB為6尺的矩尺△ABD放在岸上，從B端看谷底EG(D在BG上)，下股AD為9尺1寸，向上平移矩尺

6、3丈，現(xiàn)從B′端看谷底EG，上股A′D′為8尺5寸，試求谷深A(yù)E.(一丈＝10尺＝100寸) 第6題圖 7. 某校王老師根據(jù)《海島算經(jīng)》中的問題，編了這樣一道題：如圖，甲、乙兩船同時(shí)由港口A出發(fā)開往海島B，甲船沿北偏東60°方向向海島B航行，其速度為15海里/小時(shí)；乙船速度為20海里/小時(shí)，先沿正東方向航行1小時(shí)后，到達(dá)C港口接旅客，在C港口停留0.5小時(shí)后再沿東北方向開往B島，B島建有一座燈塔，在燈塔方圓5海里內(nèi)都可以看見燈塔，問甲、乙兩船哪一艘先看到燈塔，兩船看到燈塔的時(shí)間相差多少？(精確到分鐘，≈1.73，≈1.41) 第7題圖

7、 答案 1. 解： 當(dāng)△ABC的三邊長(zhǎng)為5，6，7時(shí)，則p＝×(5＋6＋7)＝9， ∴S△ABC＝＝6， 當(dāng)△DEF的三邊長(zhǎng)為，，時(shí)， S△DEF＝＝. 2. 解：由題意得p＝×(5＋6＋9)＝10，則 S＝＝10. ∵S＝r(AC＋BC＋AB)， ∴10＝r(5＋6＋9)， 解得r＝， 故△ABC的內(nèi)切圓半徑為. 3. 1或4　【解析】分兩種情況：①5為斜邊時(shí)，由勾股定理得，另一直角邊長(zhǎng)＝＝4，∴小正方形的邊長(zhǎng)＝4－3＝1，∴小正方形的面積＝12＝1；②3和5為兩條直角邊長(zhǎng)時(shí)，小正方形的邊長(zhǎng)＝5－3＝2，∴小正方形的面積＝22

8、＝4；綜上所述，小正方形的面積為1或4. 4. 6　【解析】設(shè)AH＝x，則AE＝x＋2，由四個(gè)全等的直角三角形可得DE＝AH＝x，在Rt△DAE中，由勾股定理得：AD2＝AE2＋DE2，即102＝(x＋2)2＋x2，解得x＝6或x＝－8(舍去)． 5. B 6. 解：∵AD∥EG， ∴△BAD∽△BEG， ∴＝， ∴＝， ∵A′D′∥EG， ∴△B′A′D′∽△B′EG， ∴＝， ∴＝， ∴9.1(6＋AE)＝8.5(36＋AE)， ∴解得AE＝419(尺)， ∴谷深A(yù)E為41丈9尺． 7. 解：如解圖，過點(diǎn)B作BD⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，設(shè)BD＝x， 在R

9、t△BCD中， 第7題解圖 ∵∠BCD＝45°， ∴BC＝＝x， 在Rt△ABD中， ∵∠ABD＝60°， ∴AD＝BD·tan60°＝x，AB＝＝2x， ∵AC＝20×1＝20(海里)，AC＋CD＝AD， ∴20＋x＝ x， 解得x＝10(＋1)海里， ∴AB＝2x＝20(＋1)海里， BC＝x＝10(＋1)海里， ∴t甲＝(AB－5)÷15×60 ＝(20＋20－5)÷15×60 ≈198.4(分鐘)， t乙＝(AC＋BC－5)÷20×60＋0.5×60 ＝[20＋10(＋1)－5]÷20×60＋30 ≈190.5(分鐘)． ∵t甲>t乙， t甲－t乙≈8(分鐘)， ∴乙船先看到燈塔，兩艘船看到燈塔的時(shí)間相差約8分鐘． 6