（北京專版）2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 空間與圖形 5.2 圖形的相似（試卷部分）課件.ppt

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5 2圖形的相似 中考數(shù)學(xué) 北京專用 2014 2018年北京中考題組 五年中考 1 2013北京 5 4分 如圖 為估算某河的寬度 在河對(duì)岸邊選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A 在近岸取點(diǎn)B C D 使得AB BC CD BC 點(diǎn)E在BC上 并且點(diǎn)A E D在同一條直線上 若測(cè)得BE 20m EC 10m CD 20m 則河的寬度AB等于 A 60mB 40mC 30mD 20m 答案B ABE ECD 90 AEB DEC ABE DCE AB 40m 故選B 2 2011北京 4 4分 如圖 在梯形ABCD中 AD BC 對(duì)角線AC BD相交于點(diǎn)O 若AD 1 BC 3 則的值為 A B C D 答案B AD BC AOD COB 故選B 3 2018北京 13 2分 如圖 在矩形ABCD中 E是邊AB的中點(diǎn) 連接DE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F 若AB 4 AD 3 則CF的長(zhǎng)為 答案 解析 四邊形ABCD是矩形 AB CD CD AB 4 BC AD 3 DCA CAB 又 DFC AFE CDF AEF E是邊AB的中點(diǎn) AB 4 AE 2 BC 3 AB 4 ABC 90 AC 5 CF 4 2017北京 13 3分 如圖 在 ABC中 M N分別為AC BC的中點(diǎn) 若S CMN 1 則S四邊形ABNM 答案3 解析 M N分別為AC BC的中點(diǎn) MN AB 且MN AB CMN CAB 且相似比為1 2 S CMN 1 S CAB 4 S四邊形ABNM S CAB S CMN 4 1 3 5 2014北京 10 4分 在某一時(shí)刻 測(cè)得一根高為1 8m的竹竿的影長(zhǎng)為3m 同時(shí)測(cè)得一根旗桿的影長(zhǎng)為25m 那么這根旗桿的高度為m 答案15 解析如圖 竹竿為CD 其影子為C D 旗桿為AB 其影子為A B 易得 AA B CC D 即 AB 15m 6 2012北京 11 4分 如圖 小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹(shù)的高度AB 他調(diào)整自己的位置 設(shè)法使斜邊DF保持水平 并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上 已知紙板的兩條直角邊DE 40cm EF 20cm 測(cè)得邊DF離地面的高度AC 1 5m CD 8m 則樹(shù)高AB m 答案5 5 解析由已知得 DEF DCB DE 40cm 0 4m EF 20cm 0 2m BC 4m AB 4 1 5 5 5 m 教師專用題組 考點(diǎn)一相似與位似的有關(guān)概念 1 2017四川成都 8 3分 如圖 四邊形ABCD和A B C D 是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形 若OA OA 2 3 則四邊形ABCD與四邊形A B C D 的面積比為 A 4 9B 2 5C 2 3D 答案A由位似圖形的性質(zhì)知 所以 故選A 2 2017黑龍江哈爾濱 9 3分 如圖 在 ABC中 D E分別為AB AC邊上的點(diǎn) DE BC 點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn) 連接AF交DE于點(diǎn)G 則下列結(jié)論中一定正確的是 A B C D 答案C根據(jù)平行線分線段成比例定理可知 所以選項(xiàng)A B D錯(cuò)誤 選項(xiàng)C正確 故選C 3 2015甘肅蘭州 5 4分 如圖 線段CD兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C 1 2 D 2 0 以原點(diǎn)為位似中心 將線段CD放大得到線段AB 若點(diǎn)B的坐標(biāo)為 5 0 則點(diǎn)A的坐標(biāo)為 A 2 5 B 2 5 5 C 3 5 D 3 6 答案B設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為 x y 由位似圖形的性質(zhì)知 得x 2 5 y 5 則點(diǎn)A的坐標(biāo)為 2 5 5 故選B 4 2014河北 13 3分 在研究相似問(wèn)題時(shí) 甲 乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下 對(duì)于兩人的觀點(diǎn) 下列說(shuō)法正確的是 A 兩人都對(duì)B 兩人都不對(duì)C 甲對(duì) 乙不對(duì)D 甲不對(duì) 乙對(duì) 答案A由題意知新三角形與原三角形的對(duì)應(yīng)角相等 所以兩個(gè)三角形相似 甲的觀點(diǎn)正確 新矩形與原矩形的對(duì)應(yīng)角相等 但對(duì)應(yīng)邊的比并不相等 所以新矩形與原矩形不相似 乙的觀點(diǎn)也正確 故選A 5 2014湖北武漢 6 3分 如圖 線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A 6 6 B 8 2 以原點(diǎn)O為位似中心 在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來(lái)的后得到線段CD 則端點(diǎn)C的坐標(biāo)為 A 3 3 B 4 3 C 3 1 D 4 1 答案A 線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A 6 6 B 8 2 以原點(diǎn)O為位似中心 在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來(lái)的后得到線段CD 端點(diǎn)C的坐標(biāo)為 3 3 故選A 6 2017甘肅蘭州 17 4分 如圖 四邊形ABCD與四邊形EFGH位似 位似中心是點(diǎn)O 則 答案 解析 四邊形ABCD與四邊形EFGH位似 OEF OAB OFG OBC 7 2015甘肅蘭州 17 4分 如果 k b d f 0 且a c e 3 b d f 那么k 答案3 解析由題意得a bk c dk e fk 則a c e k b d f 3 b d f 故k 3 8 2015遼寧沈陽(yáng) 14 4分 如圖 ABC與 DEF位似 位似中心為點(diǎn)O 且 ABC的面積等于 DEF面積的 則AB DE 答案2 3 解析 ABC與 DEF位似 ABC DEF S ABC S DEF 舍負(fù) 即AB DE 2 3 9 2018安徽 17 8分 如圖 在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的10 10網(wǎng)格中 已知點(diǎn)O A B均為網(wǎng)格線的交點(diǎn) 1 在給定的網(wǎng)格中 以點(diǎn)O為位似中心 將線段AB放大為原來(lái)的2倍 得到線段A1B1 點(diǎn)A B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1 B1 畫(huà)出線段A1B1 2 將線段A1B1繞點(diǎn)B1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 得到線段A2B1 畫(huà)出線段A2B1 3 以A A1 B1 A2為頂點(diǎn)的四邊形AA1B1A2的面積是個(gè)平方單位 解析 1 線段A1B1如圖所示 3分 2 線段A2B1如圖所示 6分 3 20 8分 提示 根據(jù) 1 2 可知四邊形AA1B1A2是正方形 邊長(zhǎng)為 2 以A A1 B1 A2為頂點(diǎn)的四邊形AA1B1A2的面積為 2 2 20 個(gè)平方單位 10 2015寧夏 20 6分 在平面直角坐標(biāo)系中 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A 2 4 B 3 2 C 6 3 1 畫(huà)出 ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的 A1B1C1 2 以M點(diǎn)為位似中心 在網(wǎng)格中畫(huà)出 A1B1C1的位似圖形 A2B2C2 使 A2B2C2與 A1B1C1的相似比為2 1 解析 1 如圖所示 3分 2 如圖所示 6分 考點(diǎn)二相似三角形的性質(zhì)與判定 1 2018湖北黃岡 5 3分 如圖 在Rt ABC中 ACB 90 CD為AB邊上的高 CE為AB邊上的中線 AD 2 CE 5 則CD A 2B 3C 4D 2 答案C在Rt ABC中 因?yàn)镃E為AB邊上的中線 所以AB 2CE 2 5 10 又AD 2 所以BD 8 易證 ACD CBD 則CD2 AD DB 2 8 16 所以CD 4 故選C 2 2018內(nèi)蒙古包頭 12 3分 如圖 在四邊形ABCD中 BD平分 ABC BAD BDC 90 E為BC的中點(diǎn) AE與BD相交于點(diǎn)F 若BC 4 CBD 30 則DF的長(zhǎng)為 A B C D 答案D如圖 連接DE BD平分 ABC CBD 30 1 2 30 在Rt BCD中 BD BC cos30 2 在Rt ABD中 AB BD cos30 3 E為BC的中點(diǎn) ED BE 2 3 2 1 DE AB AFB EFD 即 DF 故選D 解題關(guān)鍵本題考查了含30 角的直角三角形的性質(zhì) 三角形相似的判定和性質(zhì) 解答本題的關(guān)鍵是作出Rt BCD斜邊上的中線 思路分析根據(jù)題意得 在Rt ABD和Rt BCD中 ABD CBD 30 由BC 4 求得BD 2 進(jìn)而求得AB 3 由E是BC的中點(diǎn) 得ED BE 進(jìn)而可得DE AB 所以 AFB EFD 進(jìn)而求出DF的長(zhǎng) 3 2018內(nèi)蒙古包頭 11 3分 如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 直線l1 y x 1與x軸 y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B 直線l2 y kx k 0 與直線l1在第一象限交于點(diǎn)C 若 BOC BCO 則k的值為 A B C D 2 答案B如圖 作CD OA于點(diǎn)D 則CD BO 易得直線l1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A 2 0 B 0 1 在Rt AOB中 AB 3 BOC BCO BC BO 1 AC 2 CD BO AOB ADC CD AD C 代入y kx中 得 k 解得k 故選B 思路分析求出直線l1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A B的坐標(biāo) 由勾股定理求得AB 由CD BO得 AOB ADC 進(jìn)而求得C點(diǎn)坐標(biāo) 將C點(diǎn)坐標(biāo)代入y kx 即可求出k值 解后反思本題考查了一次函數(shù)的圖象 勾股定理 相似三角形的判定與性質(zhì) 根據(jù)題意求得直線l與坐標(biāo)軸所構(gòu)成的三角形的邊長(zhǎng) 利用數(shù)形結(jié)合的方法 由三角形相似得出點(diǎn)C的坐標(biāo) 再求k值 4 2017甘肅蘭州 13 4分 如圖 小明為了測(cè)量一涼亭的高度AB 頂端A到水平地面BD的距離 在涼亭的旁邊放置一個(gè)與涼亭臺(tái)階BC等高的平臺(tái)DE DE BC 0 5米 A C B三點(diǎn)共線 把一面鏡子水平放置在平臺(tái)上的點(diǎn)G處 測(cè)得CG 15米 然后沿著直線CG后退到點(diǎn)E處 這時(shí)恰好在鏡子里看到?jīng)鐾さ捻敹薃 測(cè)得GE 3米 小明身高EF 1 6米 則涼亭的高度AB約為 A 8 5米B 9米C 9 5米D 10米 答案A由光線反射可知 AGC FGE 又 FEG ACG 90 FEG ACG FE AC EG CG 1 6 AC 3 15 AC 8米 BC 0 5米 AB AC BC 8 5米 解題關(guān)鍵本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì) 解答本題的關(guān)鍵是判定 FEG與 ACG相似 5 2017河北 7 3分 若 ABC的每條邊長(zhǎng)增加各自的10 得 A B C 則 B 的度數(shù)與其對(duì)應(yīng)角 B的度數(shù)相比 A 增加了10 B 減少了10 C 增加了 1 10 D 沒(méi)有改變 答案D ABC的每條邊長(zhǎng)增加各自的10 即變?yōu)樵瓉?lái)的1 1倍 得到 A B C 根據(jù)相似三角形的判定方法可得 ABC A B C 所以 B B 故選D 6 2017陜西 8 3分 如圖 在矩形ABCD中 AB 2 BC 3 若點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn) 連接AE 過(guò)點(diǎn)B作BF AE交AE于點(diǎn)F 則BF的長(zhǎng)為 A B C D 答案B由題意得 AFB D BAD 90 FAB DAE 90 FAB ABF 90 ABF DAE ADE BFA 則 即 3 設(shè)AF x x 0 則BF 3x 在Rt ABF中 由勾股定理得AF2 BF2 AB2 即x2 3x 2 22 解得x 負(fù)值舍去 所以3x 即BF 故選B 思路分析先通過(guò)證明 ADE BFA得到AF與BF的數(shù)量關(guān)系 再在Rt ABF中 由勾股定理建立方程求解 7 2016重慶 8 4分 ABC與 DEF的相似比為1 4 則 ABC與 DEF的周長(zhǎng)比為 A 1 2B 1 3C 1 4D 1 16 答案C因?yàn)?ABC與 DEF的相似比為1 4 所以由相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比 得 ABC與 DEF的周長(zhǎng)比為1 4 故選C 8 2016河北 15 2分 如圖 ABC中 A 78 AB 4 AC 6 將 ABC沿圖示中的虛線剪下 剪下的陰影三角形與原三角形的是 答案C選項(xiàng)A與B中剪下的陰影三角形分別與原三角形有兩組角對(duì)應(yīng)相等 可得陰影三角形與原三角形相似 選項(xiàng)D中剪下的陰影三角形與原三角形有兩邊之比都是2 3 且兩邊的夾角相等 所以兩個(gè)三角形也是相似的 故選C 思路分析本題應(yīng)借助相似三角形的判定來(lái)解決 解題關(guān)鍵本題考查相似三角形的判定 熟練掌握三角形相似的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵 9 2015江蘇南京 3 2分 如圖 在 ABC中 DE BC 則下列結(jié)論中正確的是 A B C D 答案C DE BC ADE ABC 故選項(xiàng)A B錯(cuò)誤 根據(jù) 相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比 面積比等于相似比的平方 可知選項(xiàng)C正確 選項(xiàng)D錯(cuò)誤 故選C 10 2015內(nèi)蒙古呼和浩特 7 3分 如圖 有一塊矩形紙片ABCD AB 8 AD 6 將紙片折疊 使得AD邊落在AB邊上 折痕為AE 再將 AED沿DE向右翻折 AE與BC的交點(diǎn)為F 則 CEF的面積為 A B C 2D 4 答案C在題中的第三個(gè)圖中 AD 6 AB 4 DE 6 因?yàn)锽F DE 所以 ABF ADE 所以 即 解得BF 4 所以CF 2 S CEF CE CF 2 11 2015四川綿陽(yáng) 12 3分 如圖 D是等邊 ABC邊AB上的一點(diǎn) 且AD DB 1 2 現(xiàn)將 ABC折疊 使點(diǎn)C與D重合 折痕為EF 點(diǎn)E F分別在AC和BC上 則CE CF A B C D 答案B設(shè)等邊 ABC的邊長(zhǎng)為3 則AD 1 BD 2 由折疊的性質(zhì)可知 C EDF 60 EDA FDB 120 在 AED中 A 60 AED ADE 120 AED BDF 又 A B AED BDF 又 CE DE CF DF 可得2CE 3CF CE CF CF 3CE CE CF 2CE 3CF CF 3CE 故選B 12 2014貴州貴陽(yáng) 7 3分 如圖 在方格紙中 ABC和 EPD的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上 要使 ABC EPD 則點(diǎn)P所在的格點(diǎn)為 A P1B P2C P3D P4 答案C由題圖可知 E A 90 要使 ABC EPD 則 2 所以EP 2AB 6 點(diǎn)P所在的格點(diǎn)為P3 故選C 13 2018云南 5 3分 如圖 已知AB CD 若 則 答案 解析 AB CD A C B D AOB COD 14 2018安徽 14 5分 矩形ABCD中 AB 6 BC 8 點(diǎn)P在矩形ABCD的內(nèi)部 點(diǎn)E在邊BC上 滿足 PBE DBC 若 APD是等腰三角形 則PE的長(zhǎng)為 答案3或 解析在矩形ABCD中 AD BC 8 在 ABD中 由勾股定理可得BD 10 AB AD 根據(jù) PBE DBC可知P點(diǎn)在線段BD上 當(dāng)AD PD 8時(shí) 由相似可得 PE 當(dāng)AP PD時(shí) P點(diǎn)為BD的中點(diǎn) PE CD 3 故答案為3或 思路分析根據(jù)AB AD及已知條件先判斷P點(diǎn)在線段BD上 再根據(jù)等腰三角形腰的情況分兩種情況 AD PD 8 AP PD 再由相似三角形中對(duì)應(yīng)邊的比相等求解即可 難點(diǎn)突破判斷P點(diǎn)在線段BD上是解答本題的突破口 15 2017吉林 12 3分 如圖 數(shù)學(xué)活動(dòng)小組為了測(cè)量學(xué)校旗桿AB的高度 使用長(zhǎng)為2m的竹竿CD作為測(cè)量工具 移動(dòng)竹竿 使竹竿頂端的影子與旗桿頂端的影子在地面O處重合 測(cè)得OD 4m BD 14m 則旗桿AB的高為m 答案9 解析 OD 4m BD 14m OB 18m 由題意知 ODC OBA 即 得AB 9m 16 2016江蘇南京 15 2分 如圖 AB CD相交于點(diǎn)O OC 2 OD 3 AC BD EF是 ODB的中位線 且EF 2 則AC的長(zhǎng)為 答案 解析 EF是 ODB的中位線 OE OD EF BD AC BD EF BD AC EF AC 17 2016湖北武漢 16 3分 如圖 在四邊形ABCD中 ABC 90 AB 3 BC 4 CD 10 DA 5 則BD長(zhǎng)為 答案2 解析如圖 連接AC 過(guò)點(diǎn)D作DE BC 交BC的延長(zhǎng)線于E ABC 90 AB 3 BC 4 AC 5 CD 10 DA 5 AC2 CD2 AD2 ACD 90 ACB DCE 90 ACB BAC 90 BAC DCE 又 ABC DEC 90 ABC CED 即 CE 6 DE 8 在Rt BED中 BD 2 18 2015山東臨沂 18 3分 如圖 在 ABC中 BD CE分別是邊AC AB上的中線 BD與CE相交于點(diǎn)O 則 答案2 解析連接DE BD CE是AC AB邊上的中線 DE為 ABC的中位線 DE BC DE BC OBC ODE 2 19 2015江蘇鎮(zhèn)江 8 2分 如圖 在 ABCD中 E為AD的中點(diǎn) BE CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F 若 DEF的面積為1 則 ABCD的面積等于 答案4 解析在 ABCD中 AB DC AE DE AD BC 易證 AEB DEF FED FBC 所以S AEB S DEF 1 FD FC 所以S CBF 4 所以S ABCD 4 20 2014黑龍江哈爾濱 20 3分 如圖 在 ABC中 4AB 5AC AD為 ABC的角平分線 點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上 EF AD于點(diǎn)F 點(diǎn)G在AF上 FG FD 連接EG交AC于點(diǎn)H 若點(diǎn)H是AC的中點(diǎn) 則的值為 答案 解析 EF AD FG FD EF垂直平分GD EG ED EGD EDG AGH ADB 又 BAD HAG ABD AHG 4AB 5AC AH AC 21 2018江西 14 6分 如圖 在 ABC中 AB 8 BC 4 CA 6 CD AB BD是 ABC的平分線 BD交AC于點(diǎn)E 求AE的長(zhǎng) 解析 BD平分 ABC ABD CBD AB CD ABD D ABE CDE CBD D BC CD AB 8 CA 6 CD BC 4 AE 4 思路分析根據(jù)角平分線性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求出 D CBD 進(jìn)而可得BC CD 4 通過(guò) ABE CDE 得出含AE的比例式 求出AE的值 方法總結(jié)證明三角形相似的常見(jiàn)方法 平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊或其延長(zhǎng)線相交 所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 相似的基本圖形可分別記為 A 型和 X 型 如圖所示 在應(yīng)用時(shí)要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形 22 2018陜西 20 7分 周末 小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量家門(mén)前小河的寬 測(cè)量時(shí) 他們選擇了河對(duì)岸岸邊的一棵大樹(shù) 將其底部作為點(diǎn)A 在他們所在的岸邊選擇了點(diǎn)B 使得AB與河岸垂直 并在B點(diǎn)豎起標(biāo)桿BC 再在AB的延長(zhǎng)線上選擇點(diǎn)D 豎起標(biāo)桿DE 使得點(diǎn)E與點(diǎn)C A共線 已知 CB AD ED AD 測(cè)得BC 1m DE 1 5m BD 8 5m 測(cè)量示意圖如圖所示 請(qǐng)根據(jù)相關(guān)測(cè)量信息 求河寬AB 解析 CB AD ED AD ABC ADE 90 BAC DAE ABC ADE 3分 5分 BC 1m DE 1 5m BD 8 5m AB 17m 河寬AB為17m 7分 思路分析首先根據(jù) ABC ADE BAC DAE判定 ABC ADE 再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出 進(jìn)而可求得AB的值 方法指導(dǎo)解與三角形有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題時(shí)應(yīng)注意的事項(xiàng) 審題 結(jié)合圖形通讀題干 第一時(shí)間鎖定采用的知識(shí)點(diǎn) 如 觀察題圖是否含有已知度數(shù)的角 如果含有 考慮利用銳角三角函數(shù)解題 如果僅涉及三角形的邊長(zhǎng) 則采用相似三角形的性質(zhì)解題 篩選信息 由于實(shí)際問(wèn)題文字閱讀量較大 因此篩選有效信息尤為關(guān)鍵 構(gòu)造圖形 只要是與三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題都會(huì)涉及圖形的構(gòu)造 如果題干中給出了相應(yīng)的圖形 則可直接利用所給圖形進(jìn)行計(jì)算 必要時(shí)可添加輔助線 若未給出圖形 則需要通過(guò) 中獲取的信息構(gòu)造幾何圖形進(jìn)行解題 23 2017安徽 23 14分 已知正方形ABCD 點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn) 1 如圖1 點(diǎn)G為線段CM上的一點(diǎn) 且 AGB 90 延長(zhǎng)AG BG分別與邊BC CD交于點(diǎn)E F 求證 BE CF 求證 BE2 BC CE 2 如圖2 在邊BC上取一點(diǎn)E 滿足BE2 BC CE 連接AE交CM于點(diǎn)G 連接BG并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F 求tan CBF的值 圖1圖2 解析 1 證明 四邊形ABCD為正方形 AB BC ABC BCF 90 又 AGB 90 BAE ABG 90 又 ABG CBF 90 BAE CBF ABE BCF ASA BE CF 4分 證明 AGB 90 點(diǎn)M為AB的中點(diǎn) MG MA MB GAM AGM 又 CGE AGM 從而 CGE CBG 又 ECG GCB CGE CBG 即CG2 BC CE 由 CFG GBM BGM CGF 得CF CG 由 知 BE CF BE CG BE2 BC CE 9分 2 解法一 延長(zhǎng)AE DC交于點(diǎn)N 如圖1 圖1 四邊形ABCD是正方形 AB CD N EAB 又 CEN BEA CEN BEA 故 即BE CN AB CE AB BC BE2 BC CE CN BE 由AB DN知 又AM MB FC CN BE 不妨令正方形的邊長(zhǎng)為1 設(shè)BE x 則由BE2 BC CE 得x2 1 1 x 解得x1 x2 舍去 于是tan CBF 14分 解法二 不妨令正方形的邊長(zhǎng)為1 設(shè)BE x 則由BE2 BC CE 得x2 1 1 x 解得x1 x2 舍去 即BE 作GN BC交AB于N 如圖2 圖2則 MNG MBC 設(shè)MN y 則GN 2y GM y 即 解得y GM 從而GM MA MB 此時(shí)點(diǎn)G在以AB為直徑的圓上 AGB是直角三角形 且 AGB 90 由 1 知BE CF 于是tan CBF 14分 24 2017浙江杭州 19 8分 如圖 在銳角三角形ABC中 點(diǎn)D E分別在邊AC AB上 AG BC于點(diǎn)G AF DE于點(diǎn)F EAF GAC 1 求證 ADE ABC 2 若AD 3 AB 5 求的值 解析 1 證明 因?yàn)锳F DE AG BC 所以 AFE 90 AGC 90 所以 AEF 90 EAF C 90 GAC 又因?yàn)?EAF GAC 所以 AEF C 又因?yàn)?DAE BAC 所以 ADE ABC 2 因?yàn)?ADE ABC 所以 ADE B 又因?yàn)?AFD AGB 90 所以 AFD AGB 所以 又因?yàn)锳D 3 AB 5 所以 25 2016湖北武漢 23 10分 在 ABC中 P為邊AB上一點(diǎn) 1 如圖1 若 ACP B 求證 AC2 AP AB 2 若M為CP的中點(diǎn) AC 2 如圖2 若 PBM ACP AB 3 求BP的長(zhǎng) 如圖3 若 ABC 45 A BMP 60 直接寫(xiě)出BP的長(zhǎng) 圖1 圖2圖3 解析 1 證明 ACP B A A ACP ABC 2分 AC2 AP AB 3分 2 解法一 延長(zhǎng)PB至點(diǎn)D 使BD PB 連接CD M為CP中點(diǎn) CD MB D PBM 4分 PBM ACP D PBM ACP 由 1 得AC2 AP AD 5分 設(shè)BP x 則22 3 x 3 x 解得x 舍去負(fù)根 即BP 7分 解法二 取AP的中點(diǎn)E 連接EM M為CP中點(diǎn) ME AC EM AC 1 4分 PME ACP PBM ACP PME PBM 由 1 得EM2 EP EB 5分 設(shè)BP x 則12 解得x 舍去負(fù)根 即BP 7分 BP 1 10分 26 2016陜西 17 5分 如圖 已知 ABC BAC 90 請(qǐng)用尺規(guī)過(guò)點(diǎn)A作一條直線 使其將 ABC分成兩個(gè)相似的三角形 保留作圖痕跡 不寫(xiě)作法 解析如圖 直線AD即為所作 5分 27 2015江蘇南京 20 8分 如圖 ABC中 CD是邊AB上的高 且 1 求證 ACD CBD 2 求 ACB的大小 解析 1 證明 CD是邊AB上的高 ADC CDB 90 又 ACD CBD 4分 2 ACD CBD A BCD 在 ACD中 ADC 90 A ACD 90 BCD ACD 90 即 ACB 90 8分 28 2015江蘇連云港 25 10分 如圖 在 ABC中 ABC 90 BC 3 D為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn) AC3CD 過(guò)點(diǎn)D作DH AB 交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H 1 求BD cos HBD的值 2 若 CBD A 求AB的長(zhǎng) 解析 1 DH AB BHD ABC 90 ACB DCH ABC DHC AC 3CD BC 3 CH 1 BH BC CH 4 在Rt BHD中 cos HBD BDcos HBD BH 4 4分 2 解法一 A CBD ABC BHD ABC BHD 6分 ABC DHC AB 3DH DH 2 AB 6 10分 解法二 CBD A BDC ADB CDB BDA BD2 CD AD BD2 CD 4CD 4CD2 BD 2CD 6分 CDB BDA AB 6 10分 29 2015上海 23 12分 已知 如圖 平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O 點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上 且OE OB 連接DE 1 求證 DE BE 2 如果OE CD 求證 BD CE CD DE 證明 1 OE OB OBE OEB 平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O OB OD OE OD ODE OED 在 BDE中 OBE OEB OED ODE 180 BED 90 即DE BE 2 OE CD CDE DEO 90 又 CEO DEO 90 CDE CEO OBE OEB OBE CDE BED DEC DBE CDE BD CE CD DE 30 2014陜西 20 8分 某一天 小明和小亮來(lái)到一河邊 想用遮陽(yáng)帽和皮尺測(cè)量這條河的大致寬度 兩人在確保無(wú)安全隱患的情況下 先在河岸邊選擇了一點(diǎn)B 點(diǎn)B與河對(duì)岸岸邊上的一棵樹(shù)的底部點(diǎn)D所確定的直線垂直于河岸 小明在B點(diǎn)面向樹(shù)的方向站好 調(diào)整帽檐 使視線通過(guò)帽檐正好落在樹(shù)的底部點(diǎn)D處 如圖所示 這時(shí)小亮測(cè)得小明眼睛距地面的距離AB 1 7米 小明站在原地轉(zhuǎn)動(dòng)180 后蹲下 并保持原來(lái)的觀察姿態(tài) 除身體重心下移外 其他姿態(tài)均不變 這時(shí)視線通過(guò)帽檐落在了DB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處 此時(shí)小亮測(cè)得BE 9 6米 小明的眼睛距地面的距離CB 1 2米 根據(jù)以上測(cè)量過(guò)程及測(cè)量數(shù)據(jù) 請(qǐng)你求出河寬BD是多少米 解析由題意知 BAD BCE 2分 ABD ABE 90 BAD BCE 4分 BD 13 6米 河寬BD是13 6米 8分 考點(diǎn)一相似與位似的有關(guān)概念 三年模擬 A組2016 2018年模擬 基礎(chǔ)題組 1 2016北京西城二模 5 利用復(fù)印機(jī)的縮放功能 將原圖中邊長(zhǎng)為5cm的一個(gè)等邊三角形放大成邊長(zhǎng)為20cm的等邊三角形 則放大前后的兩個(gè)三角形的面積比為 A 1 2B 1 4C 1 8D 1 16 答案D相似三角形面積比等于相似比的平方 所以面積比為 故選D 2 2018北京海淀二模 12 如圖 四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1是以O(shè)為位似中心的位似圖形 滿足OA1 A1A E F E1 F1分別是AD BC A1D1 B1C1的中點(diǎn) 則 答案 解析因?yàn)镺A1 A1A 所以 因?yàn)镋 F E1 F1分別是AD BC A1D1 B1C1的中點(diǎn) 所以 考點(diǎn)二相似三角形的性質(zhì)與判定 1 2017北京豐臺(tái)一模 7 如圖 比例規(guī)是一種畫(huà)圖工具 它由長(zhǎng)度相等的兩腳AC和BD交叉構(gòu)成 利用它可以把線段按一定的比例伸長(zhǎng)或縮短 如果把比例規(guī)的兩腳合上 使螺絲釘固定在刻度3的地方 即同時(shí)使OA 3OC OB 3OD 然后張開(kāi)兩腳 使A B兩個(gè)尖端分別在線段a的兩個(gè)端點(diǎn)上 當(dāng)CD 1 8cm時(shí) AB的長(zhǎng)為 A 7 2cmB 5 4cmC 3 6cmD 0 6cm 答案B由OA 3OC OB 3OD AOB COD 可知 AOB COD AB 3CD 5 4cm 故選B 2 2018北京西城一模 11 如圖 在 ABC中 DE AB DE分別與AC BC交于D E兩點(diǎn) 若 AC 3 則DC 答案2 解析 DE AB ABC DEC AC 3 DC 2 3 2018北京海淀一模 11 如圖 AB DE 若AC 4 BC 2 DC 1 則EC 答案2 解析 AB DE ABC EDC EC 2 4 2018北京朝陽(yáng)一模 12 如圖 AB CD AB CD 則S ABO S CDO 答案1 4 解析 AB CD ABO CDO S ABO S CDO 1 4 5 2018北京石景山一模 14 如圖 在 ABC中 D E分別是AB AC邊上的點(diǎn) DE BC 若AD 6 BD 2 DE 3 則BC 答案4 解析 DE BC ADE ABC BC 4 6 2017北京海淀一模 12 如圖 AB CD相交于O點(diǎn) AOC BOD OC OD 1 2 AC 5 則BD的長(zhǎng)為 答案10 解析 AOC BOD AC BD OC OD 1 2 BD 2AC 10 7 2017北京海淀二模 15 下圖是測(cè)量玻璃管內(nèi)徑的示意圖 點(diǎn)D正對(duì) 10mm 刻度線 點(diǎn)A正對(duì) 30mm 刻度線 DE AB 若量得AB的長(zhǎng)為6mm 則內(nèi)徑DE的長(zhǎng)為mm 答案2 解析 DE AB DE 2mm 8 2017北京順義一模 14 小剛身高180cm 他站立在陽(yáng)光下的影子長(zhǎng)為90cm 他把手臂豎直舉起 此時(shí)影子長(zhǎng)為115cm 那么小剛的手臂超出頭頂cm 答案50 解析設(shè)小剛的手臂超出頭頂xcm 由題意可知 解得x 50 9 2017北京石景山一模 13 為了測(cè)量校園里水平地面上的一棵大樹(shù)的高度 數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)小組的同學(xué)們開(kāi)展如下活動(dòng) 某一時(shí)刻 測(cè)得身高1 6m的小明在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)是1 2m 在同一時(shí)刻測(cè)得這棵大樹(shù)的影長(zhǎng)是3 6m 則此樹(shù)的高度是m 答案4 8 解析設(shè)樹(shù)的高度為xm 由題意可得 解得x 4 8 10 2016北京海淀二模 13 據(jù)傳說(shuō) 古希臘數(shù)學(xué)家 天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形的原理 在金字塔影子的頂部立一根木桿 借助太陽(yáng)光線構(gòu)成兩個(gè)相似三角形 來(lái)測(cè)量金字塔的高度 如圖所示 木桿EF的長(zhǎng)為2m 它的影長(zhǎng)FD為3m 測(cè)得OA為201m 則金字塔的高度BO為m 答案134 解析由題意可知 BOA EFD BO 134m 11 2016北京昌平二模 12 如圖 小慧與小聰玩蹺蹺板 蹺蹺板支架EF的高為0 4米 E是AB的中點(diǎn) 那么小慧能將小聰翹起的最大高度BC等于米 答案0 8 解析由題意可知 AEF ABC 2 BC 2 0 4 0 8米 12 2018北京東城二模 19 如圖 在Rt ABC中 C 90 線段AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D 交AB于點(diǎn)E 1 求證 ADE ABC 2 當(dāng)AC 8 BC 6時(shí) 求DE的長(zhǎng) 解析 1 證明 DE垂直平分線段AB AED 90 AED C A A ADE ABC 2 Rt ABC中 AC 8 BC 6 AB 10 DE平分AB AE 5 ADE ABC DE 一 填空題 每小題3分 共24分 B組2016 2018年模擬 提升題組 時(shí)間 30分鐘分值 40分 1 2018北京延慶一模 12 如圖 在 ABC中 D E分別是AB AC上的點(diǎn) DE BC 若AD 1 BD 3 則的值為 答案 解析 DE BC ADE ABC 2 2018北京豐臺(tái)一模 9 在某一時(shí)刻 測(cè)得身高為1 8m的小明的影長(zhǎng)為3m 同時(shí)測(cè)得一建筑物的影長(zhǎng)為10m 那么這個(gè)建筑物的高度為m 答案6 解析設(shè)這個(gè)建筑物的高度為xm 由題意可知 解得x 6 3 2018北京門(mén)頭溝一模 9 如圖 ABC AED AD 2 AE 3 EC 1 則BD 答案4 解析由相似可知 AB 6 BD 4 4 2017北京昌平二模 14 如圖 陽(yáng)光通過(guò)窗口AB照射到室內(nèi) 在地面上留下4米寬的亮區(qū)DE 已知亮區(qū)DE到窗口下的墻角距離CE 5米 窗口高AB 2米 那么窗口底邊離地面的高BC 米 答案2 5 解析 陽(yáng)光是平行光線 AD BE BC 2 5米 5 2017北京通州一模 14 如圖所示 某地三條互相平行的街道a b c與兩條公路相交 有六個(gè)路口 分別為A B C D E F 路段EF正在封閉施工 若已知路段AB約為270 1米 路段BC約為539 8米 路段DE約為282 0米 則封閉施工的路段EF的長(zhǎng)約為米 答案563 6 解析由a b c可知 EF 563 6米 6 2017北京平谷一模 15 如圖 圓桌面正上方的燈泡發(fā)出的光線照射桌面后 在地面上形成陰影 圓形 已知燈泡距離地面2 4m 桌面距離地面0 8m 桌面厚度不計(jì)算 若桌面的面積是1 2m2 則地面上的陰影面積是m2 答案2 7 解析由題意可知 FG 0 8m AG 2 4m 易知 ADE ABC 地面上的陰影面積 1 2 2 7m2 7 2017北京順義一模 15 如圖 一張三角形紙片ABC 其中 C 90 AC 6 BC 8 小靜同學(xué)將紙片折疊兩次 第一次使點(diǎn)A落在C處 折痕記為m 然后將紙片展平進(jìn)行第二次折疊 使點(diǎn)A落在B處 折痕記為n 則m n的大小關(guān)系是 答案m n 解析由中位線定理可知m的長(zhǎng)為4 由相似三角形的性質(zhì)可知 所以n的長(zhǎng)為 所以m n 8 2016北京平谷一模 13 如圖 在 ABC中 D是AB邊上一點(diǎn) 連接CD 要使 ADC與 ABC相似 應(yīng)添加的條件是 答案 ACD ABC或 ADC ACB或 答案不唯一 解析已知 A A 要想證明 ADC與 ABC相似 可以要添加一組角相等 或 A的夾邊的比相等 答案不唯一 二 解答題 共16分 9 2018北京石景山二模 19 如圖 在等邊三角形ABC中 點(diǎn)D E分別在BC AB上 且 ADE 60 求證 ADC DEB 證明 ABC是等邊三角形 B C 60 ADB 1 C 1 60 ADE 60 ADB 2 60 1 2 ADC DEB 10 2016北京房山二模 20 已知 如圖 在 ABC中 點(diǎn)D E分別在邊AB AC上 且 AED ABC DE 3 BC 5 AC 12 求AD的長(zhǎng) 解析 AED ABC A A AED ABC DE 3 BC 5 AC 12 AD 11 2016北京懷柔二模 28 在 ABC中 ABC 90 D為 ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn) BD a CD b 其中a b為常數(shù) 且a b 將 CDB沿CB翻折 得到 CEB 連接AE 1 請(qǐng)?jiān)趫D1中補(bǔ)全圖形 2 若 ACB AE CE 則 AEB 3 在 2 的條件下 用含a b 的式子表示AE的長(zhǎng) 解析 1 如圖 2 AEB 3 AE CE AEC 90 AEB BEC 90 過(guò)點(diǎn)B作BF BE 交AE于點(diǎn)F 則有 FBE 90 即 EBC CBF 90 ABC FBA CBF 90 EBC FBA BFA AEB EBF 90 BEC BFA EBC FBA tan BD a CD b BE a EC b AF btan 在Rt EBF中 EF AE EF AF btan 思路分析 1 依題意補(bǔ)圖 2 設(shè)AE與BC的交點(diǎn)為O 易證 COE AOB 再證 AOC BOE 對(duì)應(yīng)角相等 3 構(gòu)造相似三角形 將AE分成AF和EF兩部分 分別用b 和a 表示