（東營專版）2019年中考數(shù)學復習 第三章 函數(shù) 第七節(jié) 二次函數(shù)的綜合應用要題隨堂演練

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1、 第七節(jié) 二次函數(shù)的綜合應用 要題隨堂演練 1．(2018·萊蕪中考)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c經過A(－1，0)，B(4，0)，C(0，3)三點，D為直線BC上方拋物線上一動點，DE⊥BC于E. (1)求拋物線的函數(shù)解析式； (2)如圖1，求線段DE長度的最大值； (3)如圖2，設AB的中點為F，連接CD，CF，是否存在點D，使得△CDE中有一個角與∠CFO相等？若存在，求點D的橫坐標；若不存在，請說明理由． 圖1 　 圖2 2．如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的頂點A，C分別在y軸，x軸上，∠ACB＝90°，O

2、A＝，拋物線y＝ax2－ax－a經過點B(2，)，與y軸交于點D. (1)求拋物線的解析式； (2)點B關于直線AC的對稱點是否在拋物線上？請說明理由； (3)延長BA交拋物線于點E，連接ED，試說明ED∥AC的理由． 3．(2018·自貢中考)如圖，拋物線y＝ax2＋bx－3過A(1，0)，B(－3，0)，直線AD交拋物線于點D，點D的橫坐標為－2，點P(m，n)是線段AD上的動點． (1)求直線AD及拋物線的解析式； (2)過點P的直線垂直于x軸，交拋物線于點Q，求線段PQ的長度l與m的關系式，m為何值時，PQ

3、最長？ (3)在平面內是否存在整點(橫、縱坐標都為整數(shù))R，使得P，Q，D，R為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點R的坐標；若不存在，說明理由． 參考答案 1．解：(1)由已知得解得 ∴y＝－x2＋x＋3. (2)設直線BC的解析式為y＝kx＋b， ∴解得 ∴y＝－x＋3. 設D(a，－a2＋a＋3)，(0

4、OB， ∴△DEM∽△BOC，∴＝. ∵OB＝4，OC＝3，∴BC＝5，∴DE＝DM， ∴DE＝－a2＋a＝－(a－2)2＋， ∴當a＝2時，DE取最大值，最大值是. (3)假設存在這樣的點D，使得△CDE中有一個角與∠CFO相等． ∵F為AB的中點，∴OF＝，tan∠CFO＝＝2. 如圖，過點B作BG⊥BC，交CD的延長線于G，過點G作GH⊥x軸，垂足為H. ①若∠DCE＝∠CFO，∴tan∠DCE＝＝2，∴BG＝10. ∵△GBH∽△BCO，∴＝＝， ∴GH＝8，BH＝6，∴G(10，8)． 設直線CG的解析式為y＝kx＋b， ∴解得 ∴y＝x＋3， ∴解得

5、x＝或x＝0(舍)． ②若∠CDE＝∠CFO，同理可得BG＝，GH＝2， BH＝， ∴G(，2)． 同理可得直線CG的解析式為y＝－x＋3， ∴解得x＝或x＝0(舍)． 綜上所述，存在D使得△CDE中有一個角與∠CFO相等，其橫坐標是或. 2．解：(1)把點B的坐標代入拋物線的解析式， 得＝a×22－2a－a，解得a＝. ∴拋物線的解析式為y＝x2－x－. (2)如圖，連接CD，過點B作BF⊥x軸于點F， 則∠BCF＋∠CBF＝90°. ∵∠ACB＝90°，∴∠ACO＋∠BCF＝90°， ∴∠ACO＝∠CBF. ∵∠AOC＝∠CFB＝90°，∴△AOC∽△CFB，

6、 ∴＝. 設OC＝m，則CF＝2－m，則有＝ ， 解得m＝1，∴OC＝CF＝1. 當x＝0時，y＝－，∴OD＝，∴BF＝OD. ∵∠DOC＝∠BFC＝90°，∴△OCD≌△FCB， ∴DC＝CB，∠OCD＝∠FCB， ∴點B，C，D在同一直線上， ∴點B與點D關于直線AC對稱， ∴點B關于直線AC的對稱點在拋物線上． (3)如圖，過點E作EG⊥y軸于點G，設直線AB的解析式為y＝kx＋b， 則解得 ∴直線AB的解析式為y＝－x＋. 代入拋物線的解析式，得－x＋＝x2－x－. 解得x＝2或x＝－2. 當x＝－2時，y＝－x＋＝， ∴點E的坐標為(－2，)． ∵

7、tan∠EDG＝＝＝，∴∠EDG＝30°. ∵tan∠OAC＝＝＝，∴∠OAC＝30°， ∴∠OAC＝∠EDG，∴ED∥AC. 3．解：(1)把(1，0)，(－3，0)代入函數(shù)解析式得 解得 ∴拋物線的解析式為y＝x2＋2x－3. 當x＝－2時，y＝(－2)2＋2×(－2)－3，解得y＝－3， 即D(－2，－3)． 設AD的解析式為y＝kx＋b，將A(1，0)，D(－2，－3)代入得解得 ∴直線AD的解析式為y＝x－1. (2)設P點坐標為(m，m－1)，Q(m，m2＋2m－3)， l＝(m－1)－(m2＋2m－3)， 化簡得l＝－m2－m＋2， 配方得l＝－(m＋)

8、2＋， ∴當m＝－時，l最大＝. (3)由(2)可知，0＜PQ≤.當PQ為邊時，DR∥PQ且DR＝PQ. ∵R是整點，D(－2，－3)， ∴PQ是正整數(shù)，∴PQ＝1或PQ＝2. 當PQ＝1時，DR＝1， 此時點R的橫坐標為－2，縱坐標為－3＋1＝－2或－3－1＝－4， ∴R(－2，－2)或(－2，－4)． 當PQ＝2時，DR＝2， 此時點R的橫坐標為－2，縱坐標為－3＋2＝－1或－3－2＝－5， 即R(－2，－1)或(－2，－5)． 當PQ為對角線時，PD∥QR，且PD＝QR. 設點R的坐標為(n，n＋m2＋m－3)，則QR2＝2(m－n)2. 又∵P(m，m－1)，D(－2，－3)， ∴PD2＝2(m＋2)2，∴(m＋2)2＝(m－n)2， 解得n＝－2(不合題意，舍去)或n＝2m＋2， ∴點R的坐標為(2m＋2，m2＋3m－1)． ∵R是整點，－2＜m＜1， ∴當m＝－1時，點R的坐標為(0，－3)； 當m＝0時，點R的坐標為(2，－1)． 綜上所述，存在滿足R的點，它的坐標為(－2，－2)或(－2，－4)或(－2，－1)或(－2，－5)或(0，－3)或(2，－1)． 7