2013年西城一模高三數(shù)學(xué)試題(文)含答案.doc

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北京市西城區(qū)2013年高三一模試卷 數(shù) 學(xué)（理科） 2013.4 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)． 1．已知全集，集合，，那么 （A） （B） （C） （D） 2．若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù) （A） （B） （C） （D） 3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖．若輸出，則輸入 角 （A） （B） （C） （D） 4．從甲、乙等名志愿者中選出名，分別從事，，，四項(xiàng)不同的工作，每人承擔(dān)一項(xiàng)．若甲、乙二人均不能從事工作，則不同的工作分配方案共有 （A）種 （B）種 （C）種 （D）種 5．某正三棱柱的三視圖如圖所示，其中正（主）視 圖是邊長(zhǎng)為的正方形，該正三棱柱的表面積是 （A） （B） （C） （D） 6．等比數(shù)列中，，則“”是“”的 （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 7．已知函數(shù)，其中．若對(duì)于任意的，都有，則的取值范圍是 （A） （B） （C） （D） 8．如圖，正方體中，為底面 上的動(dòng)點(diǎn)，于，且，則點(diǎn)的 軌跡是 （A）線段 （B）圓弧 （C）橢圓的一部分 （D）拋物線的一部分 第Ⅱ卷（非選擇題 共110分） 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分． 9．已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則曲線的直角坐標(biāo)方程為 ． 10．設(shè)等差數(shù)列的公差不為，其前項(xiàng)和是．若，，則______． 11．如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為，則 ______． 12．如圖，已知是圓的直徑，在的延長(zhǎng)線上， 切圓于點(diǎn)，于．若，， 則圓的半徑長(zhǎng)為______；______． 13．在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． 點(diǎn)在拋物線上，且直線與的斜率之積等于，則______． 14．記實(shí)數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.設(shè)△ 的三邊邊長(zhǎng)分別為，且，定義△的傾斜度為 ． （ⅰ）若△為等腰三角形，則______； （ⅱ）設(shè)，則的取值范圍是______． 三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 15．（本小題滿分13分） 已知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是． （Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值； （Ⅱ）設(shè)，求的單調(diào)遞增區(qū)間． 16．（本小題滿分13分） 某班有甲、乙兩個(gè)學(xué)習(xí)小組，兩組的人數(shù)如下： 現(xiàn)采用分層抽樣的方法（層內(nèi)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣）從甲、乙兩組中共抽取名同學(xué)進(jìn)行學(xué)業(yè)檢測(cè)． （Ⅰ）求從甲組抽取的同學(xué)中恰有名女同學(xué)的概率； （Ⅱ）記為抽取的名同學(xué)中男同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望． 17．（本小題滿分14分） 在如圖所示的幾何體中，面為正方形，面為等腰梯形，//，， ，． （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求與平面所成角的正弦值； （Ⅲ）線段上是否存在點(diǎn)，使平面平面？ 證明你的結(jié)論． 18．（本小題滿分13分） 已知函數(shù)，，其中． （Ⅰ）求的極值； （Ⅱ）若存在區(qū)間，使和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，求的取值范圍． 19．（本小題滿分14分） 如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．當(dāng)直線經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，其傾斜角恰為． （Ⅰ）求該橢圓的離心率； （Ⅱ）設(shè)線段的中點(diǎn)為，的中垂線與軸和軸分別交于兩點(diǎn)．記△的面積為，△（為原點(diǎn)）的面積為，求的取值范圍． 20．（本小題滿分13分） 已知集合． 對(duì)于，，定義； ；與之間的距離為． （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，設(shè)，．若，求； （Ⅱ）（ⅰ）證明：若，且，使，則； （ⅱ）設(shè)，且．是否一定，使？ 說(shuō)明理由； （Ⅲ）記．若，，且，求的最大值． 北京市西城區(qū)2013年高三一模試卷 高三數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 2013.4 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 1． B； 2．A； 3．D； 4．B； 5．C； 6．B； 7．D； 8．A． 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9．； 10．； 11． 12．，； 13．； 14．，． 注：12、14題第一問(wèn)2分，第二問(wèn)3分. 三、解答題：本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分. 15．（本小題滿分13分） （Ⅰ）解：依題意，得， ………………1分 即 ， ………………3分 解得 ． ………………5分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 ． ………………6分 ………………7分 ………………8分 ………………9分 ． ………………10分 由 ， 得 ，． ………………12分 所以 的單調(diào)遞增區(qū)間為，． ………………13分 16．（本小題滿分13分） （Ⅰ）解：依題意，甲、乙兩組的學(xué)生人數(shù)之比為 ， ……………1分 所以，從甲組抽取的學(xué)生人數(shù)為；從乙組抽取的學(xué)生人數(shù)為．………2分 設(shè)“從甲組抽取的同學(xué)中恰有名女同學(xué)”為事件， ………………3分 則 ， 故從甲組抽取的同學(xué)中恰有名女同學(xué)的概率為． ………………5分 （Ⅱ）解：隨機(jī)變量的所有取值為． ………………6分 ， ， ， ．……………10分 所以，隨機(jī)變量的分布列為: ………………11分 ． ………………13分 17．（本小題滿分14分） （Ⅰ）證明：因?yàn)?，? 在△中，由余弦定理可得 ， 所以 ． ………………2分 又因?yàn)?， 所以平面． ………………4分 （Ⅱ）解：因?yàn)槠矫妫裕? 因?yàn)?，所以平面? ………………5分 所以兩兩互相垂直，如圖建立的空間直角坐標(biāo)系． ………………6分在等腰梯形中，可得 ． 設(shè)，所以． 所以 ，，． 設(shè)平面的法向量為，則有 所以 取，得． ………………8分 設(shè)與平面所成的角為，則 ， 所以 與平面所成角的正弦值為． ………………9分 （Ⅲ）解：線段上不存在點(diǎn)，使平面平面．證明如下： ………………10分 假設(shè)線段上存在點(diǎn)，設(shè) ，所以． 設(shè)平面的法向量為，則有 所以 取 ，得． ………………12分 要使平面平面，只需， ………………13分 即 ， 此方程無(wú)解． 所以線段上不存在點(diǎn)，使平面平面． ………………14分 18.（本小題滿分13分） （Ⅰ）解：的定義域?yàn)椋? ………………1分 且 ． ………………2分 ① 當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減． 從而沒(méi)有極大值，也沒(méi)有極小值． ………………3分 ② 當(dāng)時(shí)，令，得． 和的情況如下： ↘ ↗ 故的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為． 從而的極小值為；沒(méi)有極大值． ………………5分 （Ⅱ）解：的定義域?yàn)?，?． ………………6分 ③ 當(dāng)時(shí)，顯然 ，從而在上單調(diào)遞增． 由（Ⅰ）得，此時(shí)在上單調(diào)遞增，符合題意． ………………8分 ④ 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不合題意．……9分 ⑤ 當(dāng)時(shí)，令，得． 和的情況如下表： ↘ ↗ 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，由于在上單調(diào)遞減，不合題意． ………………11分 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，由于在上單調(diào)遞減，符合題意． 綜上，的取值范圍是． ………………13分 19．（本小題滿分14分） （Ⅰ）解：依題意，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)橢圓的頂點(diǎn)時(shí)，其傾斜角為． ………………1分 設(shè) ， 則 ． ………………2分 將 代入 ， 解得 ． ………………3分 所以橢圓的離心率為 ． ………………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），橢圓的方程可設(shè)為． ………………5分 設(shè)，． 依題意，直線不能與軸垂直，故設(shè)直線的方程為，將其代入 ，整理得 ． ………………7分 則 ，，． ………………8分 因?yàn)?， 所以 ，． ………………9分 因?yàn)?△∽△， 所以 ………………11分 ． ………………13分 所以的取值范圍是． ………………14分 20．（本小題滿分13分） （Ⅰ）解：當(dāng)時(shí)，由， 得 ，即 ． 由 ，得 ，或． ………………3分 （Ⅱ）（?。┳C明：設(shè)，，． 因?yàn)?，使 ， 所以 ，使得 ， 即 ，使得 ，其中． 所以 與同為非負(fù)數(shù)或同為負(fù)數(shù)． ………………5分 所以 ． ………………6分 （ⅱ）解：設(shè)，且，此時(shí)不一定，使得 ． ………………7分 反例如下：取，，， 則 ，，，顯然． 因?yàn)椋? 所以不存在，使得． ………………8分 （Ⅲ）解法一：因?yàn)?， 設(shè)中有項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，項(xiàng)為負(fù)數(shù)．不妨設(shè)時(shí)；時(shí)，． 所以 因?yàn)?， 所以 ， 整理得 ． 所以 ．……………10分 因?yàn)? ； 又 ， 所以 ． 即 ． ……………12分 對(duì)于 ，，有 ，，且， ． 綜上，的最大值為． ……………13分 解法二：首先證明如下引理：設(shè)，則有 ． 證明：因?yàn)?，， 所以 ， 即 ． 所以 ． ……………11分 上式等號(hào)成立的條件為，或，所以 ． ……………12分 對(duì)于 ，，有 ，，且， ． 綜上，的最大值為． ……………13分