測試技術(shù)課件：CH 2 信號的分析與處理

第第2 2章章 信號的分析與處理信號的分析與處理Signal Analysis and Processing2.0 序序(Introduction)2.1 信號的時域分析信號的時域分析(Signal Analysis in Time Domain)2.2 信號的相關(guān)分析信號的相關(guān)分析(Signal Correlation)2.3 信號的頻域分析信號的頻域分析(Signal Analysis in Frequency Domain)2.4 數(shù)字信號處理基礎(chǔ)數(shù)字信號處理基礎(chǔ)(Basic of Digital Signal Processing)第第2 2章章 信號的分析與處理信號的分析與處理 信號分析與處理的目的信號分析與處理的目的：1）剔除信號中的噪聲和干擾，即提高信噪比；）剔除信號中的噪聲和干擾，即提高信噪比；2）消除測量系統(tǒng)的誤差，修正畸變的波形；）消除測量系統(tǒng)的誤差，修正畸變的波形；3）強(qiáng)化、突出有用信息，削弱無用部分；）強(qiáng)化、突出有用信息，削弱無用部分；4）將信號加工、處理、變換，以便更容易識別和分析）將信號加工、處理、變換，以便更容易識別和分析信號的特征，解釋被測對象所表現(xiàn)的各種物理現(xiàn)象。信號的特征，解釋被測對象所表現(xiàn)的各種物理現(xiàn)象。 2.0 序序 (Introduction) 信號分析和信號處理是密切相關(guān)的，二者并沒有明確信號分析和信號處理是密切相關(guān)的，二者并沒有明確的界限。的界限。 本章重點(diǎn)討論本章重點(diǎn)討論頻域分析頻域分析。 信號分析和處理的方法主要有模擬分析方法和信號分析和處理的方法主要有模擬分析方法和數(shù)字處數(shù)字處理理分析方法。分析方法。 數(shù)字信號處理可以在專用計算機(jī)上進(jìn)行，也可以在通數(shù)字信號處理可以在專用計算機(jī)上進(jìn)行，也可以在通用計算機(jī)上實現(xiàn)。用計算機(jī)上實現(xiàn)。 序序2.1 2.1 信號的時域分析信號的時域分析 ( (Signal Analysis in Time Domain) 離散時間序列統(tǒng)計參數(shù)離散時間序列統(tǒng)計參數(shù)xNnnNxxN11lim2.1.1 特征值分析特征值分析 離散信號的離散信號的絕對平均值絕對平均值(absolute mean) 離散信號的離散信號的均值均值(mean) N 為離散點(diǎn)數(shù)為離散點(diǎn)數(shù)xNnnNxxN11lim離散信號的離散信號的均方值均方值(mean square) 2xNnNxnxN1221lim 信號的信號的均方根值均方根值(root of mean square) ，即為有效值即為有效值2smrxx離散信號的離散信號的方差方差(variance) 2xnnxnNxxN1221lim信號的時域分析信號的時域分析特征值分析的應(yīng)用特征值分析的應(yīng)用 信號的時域分析信號的時域分析旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動標(biāo)準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動標(biāo)準(zhǔn)2.1.2 概率密度概率密度(probability density)函數(shù)分析函數(shù)分析 21d)()(xxxxpxP正弦信號正弦信號正弦加隨機(jī)噪聲正弦加隨機(jī)噪聲窄帶隨機(jī)信號窄帶隨機(jī)信號寬帶隨機(jī)信號寬帶隨機(jī)信號概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)常見信號的概率密度函數(shù)：常見信號的概率密度函數(shù)：信號的時域分析信號的時域分析正態(tài)分布隨機(jī)信號的概率密度函數(shù)正態(tài)分布隨機(jī)信號的概率密度函數(shù) 正態(tài)分布又叫高斯分布，正態(tài)分布又叫高斯分布，是概率密度函數(shù)中最重要是概率密度函數(shù)中最重要的一種分布。的一種分布。 222)(exp21)(xxxxp因此，因此，信號的時域分析信號的時域分析997. 03395. 02268. 0 xxxxxxxxxxxxxPxPxP2.2 2.2 信號的相關(guān)分析信號的相關(guān)分析 (Signal Correlation Analysis)2.2.1 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) x與與y變量的相關(guān)性變量的相關(guān)性 xxyyxxyyxxyy 不相關(guān)不相關(guān)相關(guān)相關(guān)00022)()()(yxyxyxyxyxyExEyxE變量變量x和和y之間的相關(guān)程度常用相關(guān)系數(shù)表示：之間的相關(guān)程度常用相關(guān)系數(shù)表示：由柯西由柯西-許瓦茲不等式許瓦茲不等式 所以，所以，信號的相關(guān)分析信號的相關(guān)分析)()()(222yxyxyExEyxE1xy2.2.2 自相關(guān)自相關(guān)(self-correlation)分析分析 22020d)()(1limd)()(1lim)(xxTTxxTxTxttxtxTttxtxT相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) 信號的相關(guān)分析信號的相關(guān)分析自相關(guān)函數(shù)定義自相關(guān)函數(shù)定義 TTxttxtxTR0d)()(1lim)(22)()(xxxxRTxttxtxTR0d)()(1)(周期信號：周期信號： 非周期信號：非周期信號： ttxtxRxd)()()(進(jìn)一步，對于周期信號和非周期信號有：進(jìn)一步，對于周期信號和非周期信號有：信號的相關(guān)分析信號的相關(guān)分析自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 自相關(guān)函數(shù)為實偶函數(shù)自相關(guān)函數(shù)為實偶函數(shù) )()(xxRR)()(d)()(1limd)()(1lim)(00 xTTTTxRttxtxTttxtxTR證明：證明：TxxxTxttxTR02222d)(1lim)0( 信號的相關(guān)分析信號的相關(guān)分析2222)(xxxxxR自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 0)(x2)(xxR信號的相關(guān)分析信號的相關(guān)分析0)(xR22xx22xx2x 周期函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)仍為同頻率的周期函數(shù)周期函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)仍為同頻率的周期函數(shù) )()(d)()(1lim)(d)()(1lim)(00 xTTTTxRttxtxTnTtnTtxnTtxTnTR例例2.1 求正弦函數(shù)求正弦函數(shù) 的自相關(guān)函數(shù)。的自相關(guān)函數(shù)。 )sin()(0txtxTxttxtxTR0d)()(1)(TtttxT00d )(sin)sin(12Tt 把把解：解：代入代入202020cos2d)sin(sin2)(xxRx信號的相關(guān)分析信號的相關(guān)分析，2.2.3 互相關(guān)互相關(guān)(cross-correlation)分析分析 互相關(guān)函數(shù)的概念互相關(guān)函數(shù)的概念 TTxyttytxTR0d)()(1lim)(yxyxxyyxTyxTyxTxxTxyRttytxTttytxT)(d)()(1limd )()(1lim)(00互相關(guān)系數(shù)互相關(guān)系數(shù) 互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù) 信號的相關(guān)分析信號的相關(guān)分析互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 1）互相關(guān)函數(shù)是可正）互相關(guān)函數(shù)是可正 、可負(fù)的實函數(shù)。、可負(fù)的實函數(shù)。 2）互相關(guān)函數(shù)非偶函數(shù)、亦非奇函數(shù)，具有關(guān)系）互相關(guān)函數(shù)非偶函數(shù)、亦非奇函數(shù)，具有關(guān)系)()(yxxyRR)(d)()(1limd)()(1limd)()(1lim)(000yxTTTTTTxyRttxtyTttytxTttytxTR因為：因為：信號的相關(guān)分析信號的相關(guān)分析3） 的峰值不在的峰值不在 處，其峰值偏離原點(diǎn)的位置處，其峰值偏離原點(diǎn)的位置反映了兩信號時移的大小，相關(guān)程度最高。反映了兩信號時移的大小，相關(guān)程度最高。 )(xyR0互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 信號的相關(guān)分析信號的相關(guān)分析0)(xyRyxyxyxyxyx05）兩個統(tǒng)計獨(dú)立的隨機(jī)信號，當(dāng)均值為零時，則）兩個統(tǒng)計獨(dú)立的隨機(jī)信號，當(dāng)均值為零時，則 0)(xyR信號的相關(guān)分析信號的相關(guān)分析4）互相關(guān)函數(shù)的限制范圍為）互相關(guān)函數(shù)的限制范圍為0)(d)()(1limd)()(1lim)(00yxyxyxTyxTTTxyRttytxTttytxTR證明證明有上述結(jié)論。有上述結(jié)論。yxyxxyyxyxR)(6) 兩個不同頻率的周期信號，其互相關(guān)為零。兩個不同頻率的周期信號，其互相關(guān)為零。 TTTTxytttyxTttytxTR02211000d )(sin()sin(1limd)()(1lim)(07）周期信號與隨機(jī)信號的互相關(guān)函數(shù)為零。）周期信號與隨機(jī)信號的互相關(guān)函數(shù)為零。 信號的相關(guān)分析信號的相關(guān)分析例例2.2 求兩個同頻率的正弦函數(shù)求兩個同頻率的正弦函數(shù) 和和 的互相關(guān)函數(shù)。的互相關(guān)函數(shù)。 )sin()(0txtx)sin()(0tyty解：因為信號是周期函數(shù)，可以用一個共同周期內(nèi)解：因為信號是周期函數(shù)，可以用一個共同周期內(nèi)的平均值代替其整個歷程的平均值，故的平均值代替其整個歷程的平均值，故 )cos(21d)(sin)sin(1d)()(1lim)(000000yxttytxTttytxTRTTTxy信號的相關(guān)分析信號的相關(guān)分析d速度v透鏡光電池可調(diào)延遲相關(guān)器鋼帶)(xyRddv )(xyR)(tx)(ty0d信號的相關(guān)分析信號的相關(guān)分析鋼帶運(yùn)動速度的非接觸測量鋼帶運(yùn)動速度的非接觸測量 相關(guān)分析在故障診斷中的應(yīng)用相關(guān)分析在故障診斷中的應(yīng)用 m21vS 信號的相關(guān)分析信號的相關(guān)分析x1(t)x2(t)ts2.3 2.3 信號的頻域分析信號的頻域分析 ( (Signal Analysis in Frequency Domain) 信號的信號的時域描述時域描述反映了信號幅值隨時間變化的特征；反映了信號幅值隨時間變化的特征； 相關(guān)分析相關(guān)分析從時域為在噪聲背景下提取有用信息提供了從時域為在噪聲背景下提取有用信息提供了手段；手段； 信號的信號的頻域描述頻域描述反映了信號的頻率結(jié)構(gòu)和各頻率成分反映了信號的頻率結(jié)構(gòu)和各頻率成分的幅值大小；的幅值大??； 功率譜密度函數(shù)、相干函數(shù)、倒譜分析則從頻域為研功率譜密度函數(shù)、相干函數(shù)、倒譜分析則從頻域為研究平穩(wěn)隨機(jī)過程提供了重要方法。究平穩(wěn)隨機(jī)過程提供了重要方法。 2.3.1 巴塞伐爾（巴塞伐爾（Paseval）定理）定理 信號在時域中的總能量與信號在頻域中的總能量相等信號在時域中的總能量與信號在頻域中的總能量相等ffXttxd| )(|d)(22)(*)()()(2121fXfXtxtxfffXfXttxtxtfd)()(de )()(021j221000fffXfXttxtxd)()(d)()(2121)()()(21txtxtxffXffXfXttxd| )(|d)()(d)(2*2由卷積定理由卷積定理即即令令令令信號的頻域分析信號的頻域分析，則則2.3.2功率譜功率譜(power spectrum)分析及其應(yīng)用分析及其應(yīng)用 de )()(j2fxxRfSffSRfxxde )()(2j定義隨機(jī)信號的自功率譜密度函數(shù)（自譜）為定義隨機(jī)信號的自功率譜密度函數(shù)（自譜）為其逆變換為其逆變換為 定義兩隨機(jī)信號的互功率譜密度函數(shù)（互譜）為定義兩隨機(jī)信號的互功率譜密度函數(shù)（互譜）為de )()(2jfxyxyRfSffSRfyxyxde )()(2j其逆變換為其逆變換為 信號的頻域分析信號的頻域分析功率譜密度函數(shù)的物理意義功率譜密度函數(shù)的物理意義 表示信號的功率密度沿頻率軸的分布，故又稱表示信號的功率密度沿頻率軸的分布，故又稱為功率譜密度函數(shù)。為功率譜密度函數(shù)。 )( fSx信號的頻域分析信號的頻域分析自功率譜密度函數(shù)自功率譜密度函數(shù) 和幅值譜和幅值譜 及能譜及能譜之間的關(guān)系之間的關(guān)系 )( fSx)( fX2|)(|fX ffXTttxTPTTTavd1limd1lim202由巴塞伐爾定理：由巴塞伐爾定理： TxTxffSttxTR02d)(d)(1lim)0(由功率譜定義：由功率譜定義： 21limfXTSTx因此，有因此，有信號的頻域分析信號的頻域分析自功率譜密度函數(shù)是偶函數(shù)自功率譜密度函數(shù)是偶函數(shù),它的頻率范圍它的頻率范圍 ， 又稱雙邊自功率譜密度函數(shù)。它在頻率范圍又稱雙邊自功率譜密度函數(shù)。它在頻率范圍的函數(shù)值是其在的函數(shù)值是其在 頻率范圍函數(shù)值的頻率范圍函數(shù)值的對稱映射對稱映射，因此因此 。 ),(),0()(2)(fSfGxx單邊譜和雙邊譜單邊譜和雙邊譜 信號的頻域分析信號的頻域分析0f)(),(fGfSxx)( fGx)( fSx)0 ,( 功率譜的應(yīng)用功率譜的應(yīng)用 1 1）自）自功率譜密度功率譜密度 與幅值譜與幅值譜 及系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)及系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù) 的關(guān)系的關(guān)系Sfx( )| )(|fX)( fH)()()(fXfYfH信號的頻域分析信號的頻域分析)()(fHth)()(fYty)()(fXtx)()()()()()()()()(fGfGfSfSfXfXfXfYfHxxxyxxxy)(j)()(fXfXfXIR)(j)()(fXfXfXIR若222)()()()()(fXfXfXfXfXIR2*)()()()()()()()()(fHfSfSfXfYfXfYfHfHxy)()()(fSfSfHxy信號的頻域分析信號的頻域分析)(| )(|)(2fSfHfSxy)(| )(|)(2fGfHfGxy輸入輸入/輸出自功率譜密度函數(shù)與系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)關(guān)系輸出自功率譜密度函數(shù)與系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)關(guān)系 通過輸入、輸出自譜的分析，就能得出系統(tǒng)的幅頻特性。通過輸入、輸出自譜的分析，就能得出系統(tǒng)的幅頻特性。但這樣的譜分析丟失了相位信息，不能得出系統(tǒng)的相頻但這樣的譜分析丟失了相位信息，不能得出系統(tǒng)的相頻特性。特性。 單輸入、單輸出的理想線性系統(tǒng)單輸入、單輸出的理想線性系統(tǒng) )()()(fSfHfSxxy信號的頻域分析信號的頻域分析2）互譜排除噪聲影響）互譜排除噪聲影響 )()()()()(321 tntntntxty)()()()()(321 xnnxnxxxxyRRRRR由于輸入和噪聲是獨(dú)立無關(guān)的，由于輸入和噪聲是獨(dú)立無關(guān)的， )()( xxxyRR)()()()( fSfHfSfSxxxxy信號的頻域分析信號的頻域分析)()(11fHth)()(fYty)()(fXtx+)()(22fHth+)()(11fNtn)()(22fNtn)()(33fNtn3）功率譜在設(shè)備診）功率譜在設(shè)備診斷中的應(yīng)用斷中的應(yīng)用 汽車變速箱上加速汽車變速箱上加速度信號的功率譜圖度信號的功率譜圖 正常正常異常異常故障頻率故障頻率信號的頻域分析信號的頻域分析（a）（b）壓縮機(jī)振動瀑布圖壓縮機(jī)振動瀑布圖頻率 f /Hz轉(zhuǎn)速 r /min振幅 A /um01002003004）瀑布）瀑布( (water fall) )圖圖 信號的頻域分析信號的頻域分析5）坎貝爾（）坎貝爾（Canbel）圖）圖 信號的頻域分析信號的頻域分析2.3.3 相干函數(shù)相干函數(shù)(coherence function) ) 1)(0()()(| )(|)(222ffSfSfSfxyyxxyxy相干函數(shù)為零相干函數(shù)為零 - 輸出信號與輸入信號輸出信號與輸入信號不相干不相干。相干函數(shù)為相干函數(shù)為1 - 輸出與輸入信號完全輸出與輸入信號完全相干相干。相干函數(shù)在相干函數(shù)在01之間之間 - 有如下三種可能：有如下三種可能：測試中有外測試中有外界噪聲干擾；界噪聲干擾；輸出是輸入和其他輸入的綜合輸出；輸出是輸入和其他輸入的綜合輸出；系統(tǒng)是非線性的。系統(tǒng)是非線性的。1)()()()()()()()()()(| )(|)(222fSfSfSfSfSfSfSfHfSfSfSfyxxyyxxyxxyxy對于線性系統(tǒng)對于線性系統(tǒng)信號的頻域分析信號的頻域分析油壓脈動與油管振動的相干分析油壓脈動與油管振動的相干分析壓油管壓力脈動的基頻壓油管壓力脈動的基頻 潤滑油泵轉(zhuǎn)速為潤滑油泵轉(zhuǎn)速為n=781 r/min,油泵齒輪的齒數(shù)為油泵齒輪的齒數(shù)為z=14 信號的頻域分析信號的頻域分析（a）信號）信號x(t)的自譜的自譜（b）信號）信號y(t)的自譜的自譜（c）相干函數(shù)）相干函數(shù)2.3.4 倒譜倒譜(cepstrum)分析分析 倒頻譜分析亦稱為二次頻譜分析倒頻譜分析亦稱為二次頻譜分析 檢測復(fù)雜信號頻譜上的周期結(jié)構(gòu)，分離和提取在密集泛檢測復(fù)雜信號頻譜上的周期結(jié)構(gòu)，分離和提取在密集泛頻譜信號中周期成分頻譜信號中周期成分功率倒頻譜函數(shù)功率倒頻譜函數(shù) )cepstrumpower)(qCp|)(log|)()(0fSqCqCxpF fSqCyylog1 F fSRy1 F與自相關(guān)函數(shù)比較與自相關(guān)函數(shù)比較信號的頻域分析信號的頻域分析幅值倒頻譜函數(shù)幅值倒頻譜函數(shù) 也可以定義為也可以定義為 2|)(log|)(fSqCxpF 倒頻譜的應(yīng)用倒頻譜的應(yīng)用（1）分離信息通道對信號的影響）分離信息通道對信號的影響 在機(jī)械狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷中所測得的信號往往是由故在機(jī)械狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷中所測得的信號往往是由故障源經(jīng)系統(tǒng)路徑的傳輸而得到的響應(yīng)，如欲得到該源信障源經(jīng)系統(tǒng)路徑的傳輸而得到的響應(yīng)，如欲得到該源信號，必須消除傳遞通道的影響。號，必須消除傳遞通道的影響。 2| )(| )()(fHfSfSxy信號的頻域分析信號的頻域分析)()(fHth)()(fYty)()(fXtx| )(|log)(log)(log2fHfSfSxyFFF qCqCqCxyh信號的頻域分析信號的頻域分析（2）用倒頻譜診斷齒輪故障）用倒頻譜診斷齒輪故障 )sin()cos1 ()(0mttmAty tmAtmAtAtymm000sin2sin2sin齒輪的振動齒輪的振動轉(zhuǎn)軸頻率轉(zhuǎn)軸頻率嚙合頻率嚙合頻率功率譜功率譜倒譜倒譜信號的頻域分析信號的頻域分析SyCyf /Hzq /ms信號的頻域分析信號的頻域分析 頻譜分析儀 振動 傳感器 不對中 軸承異常不平衡 軸彎曲 合成 分解 頻譜分析儀測得振動波形 頻譜分析 軸彎曲 不平衡 軸承問題 不對中 頻率 振幅 利用利用FFT頻譜頻譜分析，將復(fù)雜分析，將復(fù)雜的波形轉(zhuǎn)換成的波形轉(zhuǎn)換成頻譜，以便進(jìn)頻譜，以便進(jìn)一步了解振動一步了解振動的構(gòu)成原因的構(gòu)成原因。02.4 2.4 數(shù)字信號處理基礎(chǔ)數(shù)字信號處理基礎(chǔ) (Basic of Digital Signail Processing)2.4.1 數(shù)字信號處理的基本步驟數(shù)字信號處理的基本步驟 信號預(yù)處理信號預(yù)處理：幅值調(diào)理、濾波、隔離直流分量、解調(diào)等。：幅值調(diào)理、濾波、隔離直流分量、解調(diào)等。 A/D轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換：采樣、量化為數(shù)字量。：采樣、量化為數(shù)字量。 數(shù)字信號處理器或計算機(jī)數(shù)字信號處理器或計算機(jī)：信號分析與處理（數(shù)據(jù)截斷、加窗、奇：信號分析與處理（數(shù)據(jù)截斷、加窗、奇異點(diǎn)剔除、趨勢分離、數(shù)字濾波、時域分析、頻域分析等）。異點(diǎn)剔除、趨勢分離、數(shù)字濾波、時域分析、頻域分析等）。 結(jié)果顯示結(jié)果顯示：數(shù)據(jù)或圖形顯示、：數(shù)據(jù)或圖形顯示、D/A、記錄、打印等。、記錄、打印等。 預(yù)處理A/D轉(zhuǎn)換x(t)數(shù)字信號處理器或計算機(jī)預(yù)處理A/D轉(zhuǎn)換x(t)結(jié)果顯示數(shù)字信號處理系統(tǒng)簡圖數(shù)字信號處理系統(tǒng)簡圖2.4.2 時域采樣和采樣定理時域采樣和采樣定理采樣采樣(sampling)：連續(xù)時間信號離散化的過程。：連續(xù)時間信號離散化的過程。采樣時間間隔為采樣時間間隔為Ts，則，則x(t)經(jīng)采樣后的離散序列經(jīng)采樣后的離散序列x(n)為為nnnTttxnTttxtstxnTxnx)( )()( )()()()()(sssx(n)與與x(t)是局部與整體的關(guān)系。是局部與整體的關(guān)系。能否由能否由x(n)唯一確定或恢復(fù)出唯一確定或恢復(fù)出x(t)，或能否通過對，或能否通過對x(n)的分的分析獲得析獲得x(t)的全部信息是采樣最關(guān)心的問題。的全部信息是采樣最關(guān)心的問題。 數(shù)字信號處理基礎(chǔ)數(shù)字信號處理基礎(chǔ)混疊混疊(aliasing)和采樣定理和采樣定理 時域采樣間隔過長，造成頻域周期化間隔不夠大時，在重時域采樣間隔過長，造成頻域周期化間隔不夠大時，在重復(fù)頻譜交界處出現(xiàn)的局部互相重疊現(xiàn)象，稱為頻率混疊復(fù)頻譜交界處出現(xiàn)的局部互相重疊現(xiàn)象，稱為頻率混疊（如主教材圖（如主教材圖5 - 2c）。）。rnTrfTfSnTttssss1)()()()()()()(fSfXtstxrTrfXTfSfXnxss1)()()(F所以所以數(shù)字信號處理基礎(chǔ)數(shù)字信號處理基礎(chǔ)A、B、C 被誤認(rèn)為是一條曲線被誤認(rèn)為是一條曲線高頻正弦信號高頻正弦信號被誤認(rèn)為是低頻正弦信號被誤認(rèn)為是低頻正弦信號數(shù)字信號處理基礎(chǔ)數(shù)字信號處理基礎(chǔ)x(t)0123tABCTs混疊現(xiàn)象混疊現(xiàn)象4混疊的后果是原來的高頻信號將被誤認(rèn)為是某種相應(yīng)的低頻混疊的后果是原來的高頻信號將被誤認(rèn)為是某種相應(yīng)的低頻信號。信號。發(fā)生混疊的高頻成分（大于頻率）發(fā)生混疊的高頻成分（大于頻率）f1和低頻成分和低頻成分f2（低于頻（低于頻率）之間滿足：率）之間滿足：22)(s21fff即即f1和和f2以以 為軸對稱，可以將混疊視為以為軸對稱，可以將混疊視為以 為軸將為軸將高頻分量高頻分量f1折疊至低頻分量折疊至低頻分量f2處。因此，處。因此， 稱為折疊頻率。稱為折疊頻率。也稱為也稱為奈奎斯特頻率奈奎斯特頻率(Nyquist frequency) 。 數(shù)字信號處理基礎(chǔ)數(shù)字信號處理基礎(chǔ)2sf2sf2sf若原始信號是帶限信號，則采樣后信號頻譜不發(fā)生重疊的條若原始信號是帶限信號，則采樣后信號頻譜不發(fā)生重疊的條件為件為 fs2fh 。其中其中fh為信號中的最高頻率。此即為為信號中的最高頻率。此即為采樣定理采樣定理。 實際工作中，實際工作中，fs常取為信號最高頻率的常取為信號最高頻率的2.56倍以上。倍以上。 數(shù)字信號處理基礎(chǔ)數(shù)字信號處理基礎(chǔ)|X(f)S (f )|f不產(chǎn)生混疊的條件不產(chǎn)生混疊的條件0-fhfhfsfh消除混疊的措施消除混疊的措施 提高采樣頻率。但提高采樣頻率將導(dǎo)致在同樣信號提高采樣頻率。但提高采樣頻率將導(dǎo)致在同樣信號長度下采樣點(diǎn)數(shù)隨之提高，增加計算負(fù)擔(dān)。長度下采樣點(diǎn)數(shù)隨之提高，增加計算負(fù)擔(dān)。 應(yīng)用抗混濾波器降低信號中的最高頻率。從理論上應(yīng)用抗混濾波器降低信號中的最高頻率。從理論上講，由于抗混濾波器的非理想特性，信號中高頻分講，由于抗混濾波器的非理想特性，信號中高頻分量不可能完全衰減，因此不可能徹底消除混疊。量不可能完全衰減，因此不可能徹底消除混疊。數(shù)字信號處理基礎(chǔ)數(shù)字信號處理基礎(chǔ)2.4.3 截斷截斷(truncation)、泄漏、泄漏(leakage)和窗函數(shù)和窗函數(shù)(window) 計算機(jī)處理的數(shù)據(jù)長度是有限的，進(jìn)行數(shù)字信號處理必須計算機(jī)處理的數(shù)據(jù)長度是有限的，進(jìn)行數(shù)字信號處理必須對過長時間歷程的信號進(jìn)行截斷處理。截斷相當(dāng)于對信號對過長時間歷程的信號進(jìn)行截斷處理。截斷相當(dāng)于對信號進(jìn)行進(jìn)行加窗處理加窗處理，截斷即是將信號乘以時域的有限寬矩形窗，截斷即是將信號乘以時域的有限寬矩形窗函數(shù)：函數(shù)： )2(0)2(1)(TtTttw即：采樣后信號即：采樣后信號x(t)s(t)經(jīng)截斷成為經(jīng)截斷成為x(t)s(t)w(t)。 數(shù)字信號處理基礎(chǔ)數(shù)字信號處理基礎(chǔ)矩形窗函數(shù)的頻譜為矩形窗函數(shù)的頻譜為無限帶寬無限帶寬的的sinc函數(shù)，即使函數(shù)，即使x(t)為帶限為帶限信號，經(jīng)截斷后必然成為信號，經(jīng)截斷后必然成為無限帶寬無限帶寬信號，這種信號的能量信號，這種信號的能量在頻率軸分布擴(kuò)展的現(xiàn)象稱為在頻率軸分布擴(kuò)展的現(xiàn)象稱為泄漏泄漏。 無論采樣頻率多高，信號不可避免地出現(xiàn)無論采樣頻率多高，信號不可避免地出現(xiàn)混疊。混疊。 減小泄漏的措施：減小泄漏的措施：提高截斷信號長度，即提高矩形窗寬度，此時提高截斷信號長度，即提高矩形窗寬度，此時sinc函數(shù)主函數(shù)主瓣變窄，旁瓣向主瓣密集，由于旁瓣衰減較快，故可減小瓣變窄，旁瓣向主瓣密集，由于旁瓣衰減較快，故可減小泄漏，但顯然采樣點(diǎn)數(shù)隨之提高，增加計算負(fù)擔(dān)。泄漏，但顯然采樣點(diǎn)數(shù)隨之提高，增加計算負(fù)擔(dān)。數(shù)字信號處理基礎(chǔ)數(shù)字信號處理基礎(chǔ)采用其他窗函數(shù)。一個好的窗函數(shù)應(yīng)當(dāng)：采用其他窗函數(shù)。一個好的窗函數(shù)應(yīng)當(dāng)：主瓣盡可能窄主瓣盡可能窄（提高頻率分辨力）、（提高頻率分辨力）、旁瓣相對于主瓣盡可能小旁瓣相對于主瓣盡可能小，且，且衰減衰減快快（減小泄漏）。（減小泄漏）。常用窗函數(shù)常用窗函數(shù) 矩形窗矩形窗(rectangle window) )2(0)2(1)(TtTttwfTTfWsinc)(數(shù)字信號處理基礎(chǔ)數(shù)字信號處理基礎(chǔ)三角窗三角窗( (triangle windsow) ) 20221)(TTtTttTtw2sinc2)(2TfTTfW數(shù)字信號處理基礎(chǔ)數(shù)字信號處理基礎(chǔ)W(f)-2/Tw(t)10T/2T/2tT/202/Tf漢寧窗漢寧窗( (Hanning window) )（余弦窗）（余弦窗） )2(0)2(2cos2121)(TtTtTttw)1()1(41)(21)(RRRTfWTfWfWfWftTfWRsinc)(其中其中 數(shù)字信號處理基礎(chǔ)數(shù)字信號處理基礎(chǔ)2/Tw(t)10T/2T/2tW(f)T/2-2/T 0f指數(shù)窗指數(shù)窗( (exponent window) ) )0(0)0, 0(e)(tattwat22)2(1)(fafW數(shù)字信號處理基礎(chǔ)數(shù)字信號處理基礎(chǔ)w(t)10tW(f)1/a0f幾種典型窗函數(shù)的技術(shù)指標(biāo)幾種典型窗函數(shù)的技術(shù)指標(biāo)數(shù)字信號處理基礎(chǔ)數(shù)字信號處理基礎(chǔ)窗函數(shù)類型 主瓣寬度 最大旁瓣幅度 旁瓣衰減速度 矩形窗 2/T 13 dB 6dB/oct 三角形窗 4/T 26 dB 12dB/oct 漢寧窗 4/T 32 dB 18dB/oct 2.4.4 頻域采樣與柵欄效應(yīng)頻域采樣與柵欄效應(yīng)頻域采樣與時域采樣類似，頻域采樣導(dǎo)致對時域截斷信號頻域采樣與時域采樣類似，頻域采樣導(dǎo)致對時域截斷信號進(jìn)行周期延拓，將時域截斷信號進(jìn)行周期延拓，將時域截斷信號“改造改造”為周期信號。為周期信號。 數(shù)字信號處理基礎(chǔ)數(shù)字信號處理基礎(chǔ)x(t) w(t)0t-f0f00TT-Ts2(t)0S2(f)0ffX(f)*W(f)S2(f)x(t) w(t)*s2(t)T頻域采樣頻域采樣-f0f00f0經(jīng)頻域采樣后的頻譜僅在各采樣點(diǎn)上存在，而非采樣點(diǎn)的經(jīng)頻域采樣后的頻譜僅在各采樣點(diǎn)上存在，而非采樣點(diǎn)的頻譜則被頻譜則被“擋住擋住”無法顯示（視為無法顯示（視為0），這種現(xiàn)象稱為），這種現(xiàn)象稱為柵欄柵欄效應(yīng)效應(yīng)。顯然，采樣必然帶來柵欄效應(yīng)。顯然，采樣必然帶來柵欄效應(yīng)。在時域，只要滿足采樣定理，柵欄效應(yīng)不會丟失信號信息在時域，只要滿足采樣定理，柵欄效應(yīng)不會丟失信號信息在頻域，則有可能丟失重要的或具有特征的頻率成分（由在頻域，則有可能丟失重要的或具有特征的頻率成分（由于泄漏，丟失頻率成分附近的頻率有可能存在），導(dǎo)致譜于泄漏，丟失頻率成分附近的頻率有可能存在），導(dǎo)致譜分析結(jié)果失去意義。分析結(jié)果失去意義。數(shù)字信號處理基礎(chǔ)數(shù)字信號處理基礎(chǔ)X(f)S0(f) x(t)s0(t)s0(t)x(t)S0(f) X(f) w(t) W(f) x(t)s0(t)w(t) X(f)S0(f)W(f) s1(t) S1 (f)X(f)S0(f)W(f) S1 (f )x(t)s0(t)w(t) * s1(t) 離散傅里葉變換圖解說明離散傅里葉變換圖解說明(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g) 頻率分辨力、整周期截斷頻率分辨力、整周期截斷 頻率采樣間隔頻率采樣間隔 f 決定了頻率分辨力。決定了頻率分辨力。 f 越小，分辨力越越小，分辨力越高，被擋住的頻率成分越少。高，被擋住的頻率成分越少。由于由于DFT在頻域的一個周期內(nèi)（周期為：在頻域的一個周期內(nèi)（周期為：1/Ts）輸出）輸出N個有個有效譜值，故頻率間隔為：效譜值，故頻率間隔為：TNfNTf11ss顯然，可以通過降低顯然，可以通過降低 fs 或提高或提高N 以提高以提高 f。但前者受采樣。但前者受采樣定理的限制，不可能隨意降低，后者必然增加計算量。定理的限制，不可能隨意降低，后者必然增加計算量。為了解決上述矛盾，可以采用為了解決上述矛盾，可以采用ZOOM-FFT或或Chip-Z變換，變換，或采用基于模型的現(xiàn)代譜分析技術(shù)?；虿捎没谀Ｐ偷默F(xiàn)代譜分析技術(shù)。數(shù)字信號處理基礎(chǔ)數(shù)字信號處理基礎(chǔ)由于譜線是離散的，因此頻譜譜線對應(yīng)的頻率值都是由于譜線是離散的，因此頻譜譜線對應(yīng)的頻率值都是 f整數(shù)整數(shù)倍。對于簡諧信號，為了得到特定頻率倍。對于簡諧信號，為了得到特定頻率f0的譜線，必須滿足的譜線，必須滿足整數(shù)ff0整數(shù)0TTT：信號分析時長；：信號分析時長；T0：頻率為：頻率為 f0 信號的周期。信號的周期。上式表明：只有信號的截斷長度上式表明：只有信號的截斷長度T為待分析信號周期的整數(shù)為待分析信號周期的整數(shù)倍時，才可能使譜線落在倍時，才可能使譜線落在f0處，獲得準(zhǔn)確的頻譜。此即為處，獲得準(zhǔn)確的頻譜。此即為整整周期截斷周期截斷。整周期采樣的結(jié)果是使得頻域抽樣后所拓展的周期時域信整周期采樣的結(jié)果是使得頻域抽樣后所拓展的周期時域信號完全等同于實際的周期信號。號完全等同于實際的周期信號。數(shù)字信號處理基礎(chǔ)數(shù)字信號處理基礎(chǔ) 量化與量化誤差量化與量化誤差 模擬信號經(jīng)采樣后得到的離散信號轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字信號（幅值模擬信號經(jīng)采樣后得到的離散信號轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字信號（幅值離散化）的過程稱為量化。由此引起的誤差稱為量化誤差。離散化）的過程稱為量化。由此引起的誤差稱為量化誤差。量化由量化由A/D轉(zhuǎn)換器實現(xiàn)，量化誤差取決于其分辨力。若轉(zhuǎn)換器實現(xiàn)，量化誤差取決于其分辨力。若A/D轉(zhuǎn)換器的位數(shù)（字長）為轉(zhuǎn)換器的位數(shù)（字長）為b（二進(jìn)制輸出，最高位為符（二進(jìn)制輸出，最高位為符號位，實際字長為號位，實際字長為b1），允許的動態(tài)工作范圍為），允許的動態(tài)工作范圍為D（如（如 5V、 10 V或或05 V，010 V等），則等），則A/D幅值離散化的間幅值離散化的間隔為隔為12bDq最大量化誤差的絕對值為最大量化誤差的絕對值為bDe2數(shù)字信號處理基礎(chǔ)數(shù)字信號處理基礎(chǔ)一般，量化誤差可以忽略，如一般，量化誤差可以忽略，如12位位A/D在動態(tài)范圍為在動態(tài)范圍為 10V時的量化誤差為時的量化誤差為 2.44 mV，滿量程（，滿量程（10 V）時的相對誤差）時的相對誤差為為0.024 4%，若將量化誤差視為噪聲，則此時信噪比為，若將量化誤差視為噪聲，則此時信噪比為dB721044. 210log203數(shù)字信號處理基礎(chǔ)數(shù)字信號處理基礎(chǔ)2.4.5 離散傅里葉變換離散傅里葉變換 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT, discrete fourier transform)是對有限是對有限長時間序列的傅里葉變換，它與周期序列的離散傅里葉級數(shù)長時間序列的傅里葉變換，它與周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS, discrete fourier series)有密切關(guān)系有密切關(guān)系 周期函數(shù)周期函數(shù)x(t)可以表示為指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，即可以表示為指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，即 nfntCtx2jne)(傅里葉級數(shù)的復(fù)系數(shù)傅里葉級數(shù)的復(fù)系數(shù)Cn由下式計算由下式計算 ttxTCtnfTTnde )(12j2/2/根據(jù)上述公式根據(jù)上述公式,可導(dǎo)出周期序列的離散傅里葉級數(shù)?？蓪?dǎo)出周期序列的離散傅里葉級數(shù)。數(shù)字信號處理基礎(chǔ)數(shù)字信號處理基礎(chǔ) 若若x(n)是周期信號是周期信號x(t)的采樣序列，即的采樣序列，即x(n)= x(t)|t=n ，Ts為抽為抽樣間隔，它與信號周期樣間隔，它與信號周期T的關(guān)系為的關(guān)系為NTs=T，則，則x(t)可寫為可寫為 nfnTnnTtnsCtxx2je| )(sknkNkknkTTkXXs2j2jee1離散傅里葉正變換0/2jenNknnkXx離散傅里葉逆變換數(shù)字信號處理基礎(chǔ)數(shù)字信號處理基礎(chǔ)sT