初中數學二次函數知識點匯總

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1 1 定義 一般地 如果 是常數 那么 叫做 的二次函數 cbaxy 2 0 ayx 2 二次函數 的性質2ax 1 拋物線 的頂點是坐標原點 對稱軸是 軸 y y 2 函數 的圖像與 的符號關系 2x 當 時 拋物線開口向上 頂點為其最低點 0 a 當 時 拋物線開口向下 頂點為其最高點 3 頂點是坐標原點 對稱軸是 軸的拋物線的解析式形式為 y2axy 0 3 二次函數 的圖像是對稱軸平行于 包括重合 軸的拋物線 cbxay 2 y 4 二次函數 用配方法可化成 的形式 其中 khxay 2 ackbh422 5 二次函數由特殊到一般 可分為以下幾種形式 2axy kxy 2 2hxay khxay 2 cbxy 2 6 拋物線的三要素 開口方向 對稱軸 頂點 的符號決定拋物線的開口方向 當 時 開口向上 當 時 開口向下 0 a0 a 相等 拋物線的開口大小 形狀相同 a 平行于 軸 或重合 的直線記作 特別地 軸記作直線 yhx y x 7 頂點決定拋物線的位置 幾個不同的二次函數 如果二次項系數 相同 那么拋物線的開口方向 開a 口大小完全相同 只是頂點的位置不同 8 求拋物線的頂點 對稱軸的方法 1 公式法 頂點abcxcbxy4222 是 對稱軸是直線 abc42 2 ax 2 配方法 運用配方的方法 將拋物線的解析式化為 的形式 得到頂點為 khxay 2 hk 對稱軸是直線 hx 3 運用拋物線的對稱性 由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形 所以對稱軸的連線的垂直平分 2 線是拋物線的對稱軸 對稱軸與拋物線的交點是頂點 用配方法求得的頂點 再用公式法或對稱性進行驗證 才能做到萬無一失 9 拋物線 中 的作用cbxay 2a 1 決定開口方向及開口大小 這與 中的 完全一樣 2axy 2 和 共同決定拋物線對稱軸的位置 由于拋物線 的對稱軸是直線cbxay 2 故 時 對稱軸為 軸 即 同號 時 對稱軸在 軸左側 abx 0 0 y 即 異號 時 對稱軸在 軸右側 0 y 3 的大小決定拋物線 與 軸交點的位置 ccbxay 2 當 時 拋物線 與 軸有且只有一個交點 0 xc 2yc 拋物線經過原點 與 軸交于正半軸 與 軸交于負半軸 0c0 c cy 以上三點中 當結論和條件互換時 仍成立 如拋物線的對稱軸在 軸右側 則 0 ab 10 幾種特殊的二次函數的圖像特征如下 函數解析式 開口方向 對稱軸 頂點坐標2axy 軸 0 xy 0 0 k 軸 0 k 2hxy hx 0 hka kcbxy 2 當 時0 a 開口向上 當 時 開口向下 a bx2 abc42 2 11 用待定系數法求二次函數的解析式 1 一般式 已知圖像上三點或三對 的值 通常選擇一般式 cbxay 2 xy 2 頂點式 已知圖像的頂點或對稱軸 通常選擇頂點式 kh 3 交點式 已知圖像與 軸的交點坐標 通常選用交點式 x1x2 21xay 12 直線與拋物線的交點 1 軸與拋物線 得交點為 0 ycbay 2c 3 2 與 軸平行的直線 與拋物線 有且只有一個交點 yhx cbxay 2 hcba 2 3 拋物線與 軸的交點 二次函數 的圖像與 軸的兩個交點的橫坐標 是對應一元二次方程cba 2 1x2 的兩個實數根 拋物線與 軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別02 cxx 式判定 有兩個交點 拋物線與 軸相交 有一個交點 頂點在 軸上 拋物線與 軸相切 x0 x 沒有交點 拋物線與 軸相離 0 4 平行于 軸的直線與拋物線的交點x 同 3 一樣可能有 0 個交點 1 個交點 2 個交點 當有 2 個交點時 兩交點的縱坐標相等 設 縱坐標為 則橫坐標是 的兩個實數根 kkcbxa 5 一次函數 的圖像 與二次函數 的圖像 的交點 由方 nxyl 02 acbxyG 程組 的解的數目來確定 方程組有兩組不同的解時 與 有兩個交點 cba k2 l 方程組只有一組解時 與 只有一個交點 方程組無解時 與 沒有交點 lGl 6 拋物線與 軸兩交點之間的距離 若拋物線 與 軸兩交點為 x cbxay 2 021 xBA 由于 是方程 的兩個根 故1202 cbxax 21 acbacbxxxAB 442221212121 二次函數的解析式有三種形式 1 一般式 0 2 acbaxy是 常 數 2 頂點式 kh是 常 數 3 當拋物線 與 x 軸有交點時 即對應二次好方程 有實根 和cxy2 02 cbxa1x 存在時 根據二次三項式的分解因式 二次函數2x 212 xacba 可轉化為兩根式 如果沒有交點 則不能這樣表示 cbay 21xy 4 考點三 二次函數的最值 10 分 如果自變量的取值范圍是全體實數 那么函數在頂點處取得最大 值 或最小值 即當 時 abx2 abcy42 最 值 如果自變量的取值范圍是 那么 首先要看 是否在自變量取值范圍 內 21x a21x 若在此范圍內 則當 x 時 若不在此范圍內 則需要考慮函數在ab2 abcy42 最 值 范圍內的增減性 如果在此范圍內 y 隨 x 的增大而增大 則當 時 21x 2x 當 時 如果在此范圍內 y 隨 x 的增大而減小 cba 最 大 1xcby 12最 小 則當 時 當 時 1xcbay 2最 大 2x cbxa 2最 小 考點四 二次函數的性質 6 14 分 1 二次函數的性質 函數 二次函數 0 2 cbxay是 常 數 a 0 a 0 圖像 y 0 x y 0 x 性質 1 拋物線開口向上 并向上無限延伸 2 對稱軸是 x 頂點坐標是 ab2 ab2 ac4 3 在對稱軸的左側 即當 x 時 y 隨 x 的增大而增大 簡記左減ab2 右增 1 拋物線開口向下 并向下無限延伸 2 對稱軸是 x 頂點坐標是ab2 c4 3 在對稱軸的左側 即當 x 時 y 隨 x 的增大而減小 簡ab2 記左增右減 5 4 拋物線有最低點 當 x 時 y 有最ab2 小值 cy4 最 小 值 4 拋物線有最高點 當 x 時 y 有最ab2 大值 cy4 最 大 值 2 二次函數 中 的含義 表示開口方向 0 2 abax是 常 數 b a 0 時 拋物線開口向上 0 時 圖像與 x 軸有兩個交點 當 0 時 圖像與 x 軸有一個交點 當 0 h0 k0 h0 h0 k0 k 0 k y a x h 2 ky a x h 2 y ax2 ky ax2 2 平移規(guī)律 在原有函數的基礎上 值正右移 負左移 值正上移 負下移 hk 概括成八個字 同左上加 異右下減 三 二次函數 與 的比較 2yaxk 2yaxbc 請將 利用配方的形式配成頂點式 請將 配成 245 2yaxbc 2yaxhk 總結 從解析式上看 與 是兩種不同的表達形式 后者通過配方可以得到 2yaxhk 2yaxbc 的符號a開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質0 向上 hk X h 時 隨 的增大而增大 時 xh yxxh 隨 的增大而減小 時 有最小 y 值 ka 向下 X h 時 隨 的增大而減小 時 隨 的增大而增大 時 有最大yxxh 值 8 前者 即 其中 224bacyax 242bacbhk 四 二次函數 圖象的畫法2yxbc 五點繪圖法 利用配方法將二次函數 化為頂點式 確定其開口方向 2yaxbc 2 yaxhk 對稱軸及頂點坐標 然后在對稱軸兩側 左右對稱地描點畫圖 一般我們選取的五點為 頂點 與 軸的交點 以及 關于對稱軸對稱的點 與 軸的交點 若y 0c 0c h 10 2x 與 軸沒有交點 則取兩組關于對稱軸對稱的點 x 畫草圖時應抓住以下幾點 開口方向 對稱軸 頂點 與 軸的交點 與 軸的交點 xy 五 二次函數 的性質2yaxbc 1 當 時 拋物線開口向上 對稱軸為 頂點坐標為 0 2bxa 24bac 當 時 隨 的增大而減小 當 時 隨 的增大而增大 當 時 有最2bxa yx yx2bxa y 小值 4c 2 當 時 拋物線開口向下 對稱軸為 頂點坐標為 當 時 0a 2bxa 24bac 2bxa 隨 的增大而增大 當 時 隨 的增大而減小 當 時 有最大值 yx2bxa y2x y4c 六 二次函數解析式的表示方法 1 一般式 為常數 2yaxbc bc0a 2 頂點式 為常數 hk ahk 3 兩根式 是拋物線與 軸兩交點的橫坐標 12x0 1x2x 注意 任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式 但并非所有的二次函數都可以寫成交點式 只有拋物線與 軸有交點 即 時 拋物線的解析式才可以用交點式表示 二次函數解4bc 析式的這三種形式可以互化 七 二次函數的圖象與各項系數之間的關系 9 1 二次項系數 a 二次函數 中 作為二次項系數 顯然 2yxbc a0a 當 時 拋物線開口向上 的值越大 開口越小 反之 的值越小 開口越大 0 當 時 拋物線開口向下 的值越小 開口越小 反之 的值越大 開口越大 a 總結起來 決定了拋物線開口的大小和方向 的正負決定開口方向 的大小決定開口的大aa 小 2 一次項系數 b 在二次項系數 確定的前提下 決定了拋物線的對稱軸 ab 在 的前提下 0 當 時 即拋物線的對稱軸在 軸左側 ab 同號同左上加02 y 當 時 即拋物線的對稱軸就是 軸 b a 當 時 即拋物線對稱軸在 軸的右側 a b 異號異右下減0 02 y 在 的前提下 結論剛好與上述相反 即a 當 時 即拋物線的對稱軸在 軸右側 a b 異號異右下減ba 當 時 即拋物線的對稱軸就是 軸 0 02b y 當 時 即拋物線對稱軸在 軸的左側 ab 同號同左上加b a 總結起來 在 確定的前提下 決定了拋物線對稱軸的位置 b 總結 同左上加 異右下減 3 常數項 c 當 時 拋物線與 軸的交點在 軸上方 即拋物線與 軸交點的縱坐標為正 0 yxy 當 時 拋物線與 軸的交點為坐標原點 即拋物線與 軸交點的縱坐標為 0 當 時 拋物線與 軸的交點在 軸下方 即拋物線與 軸交點的縱坐標為負 總結起來 決定了拋物線與 軸交點的位置 c 總之 只要 都確定 那么這條拋物線就是唯一確定的 ab 二次函數解析式的確定 根據已知條件確定二次函數解析式 通常利用待定系數法 用待定系數法求二次函數的解析式必須 根據題目的特點 選擇適當的形式 才能使解題簡便 一般來說 有如下幾種情況 1 已知拋物線上三點的坐標 一般選用一般式 2 已知拋物線頂點或對稱軸或最大 小 值 一般選用頂點式 3 已知拋物線與 軸的兩個交點的橫坐標 一般選用兩根式 x 4 已知拋物線上縱坐標相同的兩點 常選用頂點式