第五章-定積分
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第五章 定積分 一、內(nèi)容精要 （一） 基本概念 定積分的概念是由求曲邊梯形面積，變力作功，已知變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度求路程，密度不均質(zhì)線(xiàn)段的質(zhì)量所產(chǎn)生。 定義3.3 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上有定義，在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)將分成 n個(gè)小區(qū)間，記，，作乘積（稱(chēng)為積分元），把這些乘積相加得到和式（稱(chēng)為積分和式）設(shè)，若極限存在唯一且該極限值與區(qū)是[a,b]的分法及分點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)，則稱(chēng)這個(gè)唯一的極限值為函數(shù)f(x)在上的定積分，記作，即. 否則稱(chēng)f(x)在上不可積. 注1由牛頓萊布尼茲公式知，計(jì)算定積分與原函數(shù)有關(guān)，故這里借助了不定積分的符號(hào)。 注2若存在，區(qū)間進(jìn)行特殊分割，分點(diǎn)進(jìn)行特殊的取法得到的和式極限存在且與定積分的值相等，但反之不成立，這種思想在考題中經(jīng)常出現(xiàn)，請(qǐng)讀者要真正理解。 注3定積分是否存在或者值是多少只與被積函數(shù)式和積分區(qū)間有關(guān)與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)，即 定積分的幾何意義: 若f(x)在上可積，且則表示曲線(xiàn)與直線(xiàn)所圍成的曲邊梯形的面積. 同樣，變力所作的功（其中f(x)是變力）變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程（是瞬時(shí)速度），密度不均質(zhì)直線(xiàn)段的質(zhì)量（其中是線(xiàn)密度）。 規(guī)定 廣義積分 定義3.4 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，稱(chēng)記號(hào) （1） 為函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分（或第一類(lèi)廣義積分）若（1）式右端極限存在，稱(chēng)廣義積分收斂，該極限值稱(chēng)為廣義積分的值，否則稱(chēng)廣義積分發(fā)散。 由在連續(xù)必有原函數(shù)，設(shè)的原函數(shù)為。于是 從而廣義積分可以按照正常定積分計(jì)算方式來(lái)計(jì)算，即 若（存在）=A，則收斂，且若不存在，則發(fā)散。 同理可得 若存在，則廣義積分收斂，否則發(fā)散。 若，都存在，則收斂，否則發(fā)散。 定義3.5 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，不存在（稱(chēng)a點(diǎn)為瑕點(diǎn)），且，稱(chēng)記號(hào) 與上面研究方式相同，可得 若存在，則廣義積分收斂，否則發(fā)散。 同理若在上連續(xù)，不存在（稱(chēng)b點(diǎn)為瑕點(diǎn)），有 若在上連續(xù)，不存在（稱(chēng)c點(diǎn)為瑕點(diǎn)），定義 當(dāng)且僅當(dāng)都收斂時(shí)，收斂，且值等于的值之和。 注 若在上連續(xù)，（常數(shù)），則可看成正常積分， 事實(shí)上，定義知在上連續(xù)，即存在，而，由于在上連續(xù)，知變下限函數(shù)在上連續(xù)，有，即故可看成正常積分。 若廣義積分收斂，也有線(xiàn)性運(yùn)算法則，不等式性質(zhì)，也有湊微分，變量替換，分部積分公式，換句話(huà)說(shuō)可以像正常的定積分一樣運(yùn)算。 第一p廣義積分（a>0，常數(shù)）. 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 知時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散 第二p廣義積分. 令，有 由第一p廣義積分知，當(dāng)，即時(shí)收斂，當(dāng)，即時(shí)發(fā)散。 （二）重要定理與公式 定理3.2 若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上可積，則f(x)在上有界，反之不成立。 例 . 事實(shí)上，因?yàn)椴徽摪裑0，1]分割得多么細(xì)，在每個(gè)小區(qū)間中，總能找到有理數(shù)，無(wú)理數(shù)，知 知不存在。 定理3.3 若f(x)在閉區(qū)間上連續(xù)，則f(x)在上可積，反之不成立. 定理3.4 若f(x)在閉區(qū)間上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)且有界，則f(x)在上可積，反之不成立. 定理3.5 若f(x)在閉區(qū)間上單調(diào)，則f(x)在上可積，反之不成立. 定積分的性質(zhì) 性質(zhì)1 性質(zhì)2 （線(xiàn)性運(yùn)算法則）設(shè)在上可積，對(duì)任何常數(shù)則 . 該性質(zhì)用于定積分的計(jì)算與定積分的證明. 性質(zhì)3 （區(qū)間的可加性），若f(x)在以a,b,c為端點(diǎn)構(gòu)成的最大區(qū)間上可積，則不論a,b,c順序如何，有 該性質(zhì)用于計(jì)算分段函數(shù)的定積分與定積分的證明. 性質(zhì)4 若f(x)在上可積且則. 性質(zhì)5 若f(x),g(x)在上可積且則 性質(zhì)6 若f(x)在上連續(xù)，且f(x) 0則 性質(zhì)7 若f(x),g(x)在上連續(xù)且但,則. 性質(zhì)8 若f(x)在上可積，則. 性質(zhì)9 若f(x)在上可積，在區(qū)間上，m≤f(x)≤M，m，M是常數(shù)，則 性質(zhì)4、5、6、7、8、9主要用于定積分不等式的證明及不通過(guò)定積分的計(jì)算，估計(jì)定積分值的范圍. 性質(zhì)10 （積分中值定理）若f(x)在閉區(qū)間上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，使 而稱(chēng)為f(x)在區(qū)間上的平均值，即閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)f(x)的平均值是 注：這里的與是不同的。 性質(zhì)131 變上限積分求導(dǎo)定理 設(shè)f(x)連續(xù)，可導(dǎo)，則 1．定積分計(jì)算的方法 （1）牛頓一萊布尼茲公式 若f(x)在上連續(xù),則 . （2）湊微分 （3）變量替換 （4）分部積分 設(shè)在上導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則 具體的用法是 如果能夠計(jì)算出就可以計(jì)算出 定積分的湊微分、變量替換、分部積分與不定積分中三種方法適合的被積函數(shù)相同，即不定積分用三種的哪一種方法，定積分也用三種方法的哪一種。 （5）設(shè)f(x)在上連續(xù)，則 事實(shí)上， 而 故得證 推論 證 由于 且為偶函數(shù)， 為奇函數(shù)，于是 （6）設(shè)f(x)為周期函數(shù)且連續(xù)，周期為T(mén)，則. 事實(shí)上 由于于是 （7）設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，則 事實(shí)上 移項(xiàng)兩邊同除以2得. 微元法 根據(jù)所給條件，畫(huà)圖，適當(dāng)建立坐標(biāo)系，在圖中把所需曲線(xiàn)的方程表示出來(lái)，確定要求量Q所分布的區(qū)間且區(qū)間上的總量Q具有等于各小區(qū)間上部分量之和的特點(diǎn). （1）取近似求微元.選取區(qū)間。寫(xiě)出部分量的近似值即 要求是的線(xiàn)性主部即計(jì)算的過(guò)程中，可以略的高階無(wú)窮小。 這一步是關(guān)鍵、本質(zhì)的一步，所以稱(chēng)為微元分析法或簡(jiǎn)稱(chēng)微元法. （2）得微分. （3）計(jì)算積分. 注：第一步一定要把表示成x的函數(shù)與的乘積形式. 由，于是又可寫(xiě)成下面的步驟： （1）選取求的線(xiàn)性主部，, （2） 二、考題類(lèi)型、解題策略及典型例題 類(lèi)型1.1涉及到定積分的方程根的存在性 解題策略利用積分中值理，定積分的13條性質(zhì)，尤其是變上限積分求導(dǎo)定理及微分中值定理，證明方法與技巧與第三章我們介紹的證明思想完全類(lèi)似。 例3.2.1設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且證明在（0。1）內(nèi)存在一點(diǎn)，使. 分析 由結(jié)論知對(duì)被積函數(shù)用羅爾定理. 證由積分中值定理知，在上存在一點(diǎn)c，使 且，由f(x)在(0，c)上連續(xù)，在[0，c]內(nèi)可導(dǎo)，f(0)=f(c)，由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)使 類(lèi)型1.2涉及到定積分的適合某種條件的等式. 解題策略利用積分中值理，定積分的13條性質(zhì)，尤其是變上限積分求導(dǎo)定理及微分中值定理，證明方法與技巧與第三章我們介紹的證明思想完全類(lèi)似。 例3.2.2 設(shè)在[0,1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且滿(mǎn)足 證明至少存在一點(diǎn),使 分析 由前面的例知原理相同，對(duì)被積函數(shù)用羅爾定理. 證 由及積分中值定理，知至少存在一點(diǎn)，使得 令由在[c,1]上連續(xù)，在（c,1）內(nèi)可導(dǎo)。由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)，使得，由 得 即 類(lèi)型1.3涉及到定積分的不等式. 解題策略利用積分中值理，定積分的13條性質(zhì)，尤其是變上限積分求導(dǎo)定理及微分中值定理，證明方法與技巧與第三章我們介紹的證明思想完全類(lèi)似。 例3.2.3 設(shè)上連續(xù)且遞減，證明當(dāng)0＜＜1時(shí)，。 分析 利用積分中值定理與函數(shù)的單調(diào)性. 證法一 其中0上遞減，知 0＜＜1，0＜1＜1，從而 ，即。 分析 利用函數(shù)的單調(diào)性與積分不等式性質(zhì). 證法二 ， 由0＜＜1，知 遞減，知得. 從而 . 分析 利用單調(diào)性定理與積分中值定理. 證法三 要證原不等式成立，只要證成立，令， 由 （1） 成立，由內(nèi)可導(dǎo)，且 其中知上遞減，又0＜＜1，有 即（1）式成立，由每一步可遞，故原等式成立。 類(lèi)型1.4 涉及到定積分的等式證明. 解題策略 用變量代換較多或利用周期函數(shù)的性質(zhì). 例3.2.4 證明. 證 類(lèi)型1.5 涉及到定積分變上下限函數(shù)的等式證明. 解題策略 用分變上下限函數(shù)的求導(dǎo)，注意要化成標(biāo)準(zhǔn)形式.以下兩題類(lèi)似. 例3.2.5 設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足 . 分析 要化成變上下限函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，然后等式兩邊對(duì)x求導(dǎo) 解 令，有 從而得到 ，令x=1有 例3.2. 6 求連續(xù)函數(shù)f(x)，使?jié)M足 分析 通過(guò)變量代換把左邊的積分化成變上限函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，然后等式兩邊對(duì)x求導(dǎo) 解 代入等式并化簡(jiǎn)有 ， 等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)有 ， 得. 于是 . 分析 通過(guò)變量代換把左邊的積分化成變上限函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，然后等式兩邊對(duì)x求導(dǎo) 類(lèi)型1.6 涉及到f(x)與其定積分的等式，求f(x) 解題策略 令該積分為k,求出k，從而求出f(x) 例3.2.7 設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x) 滿(mǎn)足. 解 設(shè)由于 得. 例3.2.8 已知f(x)滿(mǎn)足方程 分析如果令又有一個(gè)等式中就會(huì)有兩個(gè)未知數(shù)，解不出來(lái)，因此把等式兩邊平方后再積分. 解 設(shè) 得兩邊平方后再積分有 整理得 ，解得，所以 類(lèi)型1.7 上連續(xù)f(x)定積分的計(jì)算. 解題策略利用區(qū)間的對(duì)稱(chēng)性與被積函數(shù)的奇偶性 例3.2.9 計(jì)算. 分析 利用區(qū)間的對(duì)稱(chēng)性與被積函數(shù)的奇偶性. 解 原式 （利用定積分幾何意義）. 類(lèi)型1.8定積分的計(jì)算. 解題策略利用定積分的線(xiàn)性運(yùn)算法則、湊微分、變量代換、分部積分 例3.2.10 計(jì)算. 解 原式 。 例3.2.11 計(jì)算. 解法一 原式 . 解法二 令則于是 原式 例3.2.12 計(jì)算. 分析 被積函數(shù)含有根式不能湊微分，用變量代換. 解 設(shè)則于是 原式 類(lèi)型1.9求平面圖形的面積 解題策略（i）曲線(xiàn)圍成的曲邊梯形面積是 . 事實(shí)上，由所求平面圖形面積S分布 在區(qū)間[a,b]上. （1）選取， . （2）. 注：計(jì)算時(shí)，需去絕對(duì)值進(jìn)行定積分計(jì)算. （ii）特別地圍成的平面圖形面積S為 . （iii）同理 所圍成的平面圖形面積S為 . （iv）特別地所圍成的平面圖形面積S為 . 如果所求平面圖形是屬于上述情形之一，就不需畫(huà)圖，直接用上述公式，否則就需畫(huà)圖選用相應(yīng)公式. 求平面圖形的步驟： （1）求出邊界曲線(xiàn)交點(diǎn)，畫(huà)出經(jīng)過(guò)交點(diǎn)的邊界曲線(xiàn)，得所求平面圖形（若邊界曲線(xiàn)簡(jiǎn)，可在畫(huà)圖的過(guò)程中求交點(diǎn)）。 2．根據(jù)具體情形選擇x或y作為自變量，選擇上述相應(yīng)的公式計(jì)算或把所求平面形分成幾塊，每一塊可選用上述相應(yīng)公式計(jì)算，然后大塊面積等于小塊面積之和。 例3.2.13 計(jì)算由拋物線(xiàn)及直線(xiàn)所圍成的平面圖形的面積。 解 由 即交點(diǎn)為（2，-2），（8，4）. 故所求的曲邊形是由直 線(xiàn)，曲線(xiàn)及直線(xiàn)所 圍成（圖3-3），其面積 . 注：本題如用公式（4.3）來(lái)計(jì)算，就需要將整個(gè)面積分成兩部分S1及S2，分別計(jì)算S1，S2，相加才得讀者可以計(jì)算一下，這樣做就復(fù)雜多了。 例3.2.14 計(jì)算曲線(xiàn)及直線(xiàn)所圍成的平面圖形面積。 解 曲邊形如圖3-4所示，故有 注：曲線(xiàn)較簡(jiǎn)單時(shí)，可在畫(huà)曲線(xiàn)的過(guò)程中求交點(diǎn)。 圖3-4 圖5-9 類(lèi)型1.10求立體的體積 解題策略（a）設(shè)Ω為一空間立體，它夾在垂直于Ox軸的兩平面x=a與x=b之間（a下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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