吉林大學大一高數(shù)第四章第二節(jié)洛必塔公式.ppt

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,三、其他未定式,,二、,型未定式,一、,型未定式,,,第二節(jié),機動目錄上頁下頁返回結束,洛必達法則,第四章,微分中值定理,函數(shù)的性態(tài),,,導數(shù)的性態(tài),函數(shù)之商的極限,導數(shù)之商的極限,轉化,(或型),,,本節(jié)研究:,洛必達法則,洛必達目錄上頁下頁返回結束,一、,存在(或為),,定理1.,型未定式,(洛必達法則),機動目錄上頁下頁返回結束,(?在x,a之間),證:,無妨假設,在指出的鄰域內任取,則,在以x,a為端點的區(qū)間上滿足柯,故,,定理條件:,西定理條件,,機動目錄上頁下頁返回結束,存在(或為),推論1.,定理1中,換為,之一,,推論2.,若,理1條件,,則,條件2)作相應的修改,定理1仍然成立.,洛必達法則,定理1目錄上頁下頁返回結束,例1.求,解:,原式,注意:不是未定式不能用洛必達法則!,,機動目錄上頁下頁返回結束,例2.求,解:,原式,思考:如何求,(n為正整數(shù))?,機動目錄上頁下頁返回結束,二、,型未定式,存在(或為∞),,定理2.,證:,僅就極限,存在的情形加以證明.,(洛必達法則),機動目錄上頁下頁返回結束,1),的情形,從而,機動目錄上頁下頁返回結束,2),的情形.,取常數(shù),,可用1)中結論,機動目錄上頁下頁返回結束,3),時,結論仍然成立.(證明略),說明:定理中,換為,之一,,條件2)作相應的修改,定理仍然成立.,定理2目錄上頁下頁返回結束,例3.求,解:,原式,例4.求,解:(1)n為正整數(shù)的情形.,原式,機動目錄上頁下頁返回結束,例4.求,(2)n不為正整數(shù)的情形.,從而,由(1),用夾逼準則,存在正整數(shù)k,使當x>1時,,,機動目錄上頁下頁返回結束,例3.,例4.,說明:,1)例3,例4表明,時,,后者比前者趨于,更快.,,例如,,而,用洛必達法則,,,2)在滿足定理條件的某些情況下洛必達法則不能解決計算問題.,機動目錄上頁下頁返回結束,3)若,例如,,極限不存在,機動目錄上頁下頁返回結束,三、其他未定式:,解決方法:,通分,,,,取倒數(shù),,,取對數(shù),例5.求,解:原式,機動目錄上頁下頁返回結束,,解:原式,例6.求,,機動目錄上頁下頁返回結束,通分,,,,取倒數(shù),,,取對數(shù),,例7.求,解:,利用例5,,,例5目錄上頁下頁返回結束,通分,,,,取倒數(shù),,,取對數(shù),,例8.求,解:,注意到,～,原式,機動目錄上頁下頁返回結束,例9.求,分析:為用洛必達法則,必須改求,法1用洛必達法則,但對本題用此法計算很繁!,法2,原式,例3目錄上頁下頁返回結束,內容小結,洛必達法則,,,,機動目錄上頁下頁返回結束,思考與練習,1.設,是未定式極限,如果,不存在,是否,的極限也不存在?,舉例說明.,極限,,說明目錄上頁下頁返回結束,原式,分析:,分析:,,3.,,原式,,,,機動目錄上頁下頁返回結束,作業(yè),P141（A）1(6)，(7)，(9)，(12)，(16),4（B）1（2）（5）（6）.5。,第三節(jié)目錄上頁下頁返回結束,洛必達(1661–1704),法國數(shù)學家,,他著有《無窮小分析》,(1696),,并在該書中提出了求未定式極,限的方法,,后人將其命名為“洛必達法,的擺線難題,,以后又解出了伯努利提出的“最速降,線”問題,,在他去世后的1720年出版了他的關于圓,錐曲線的書.,則”.,他在15歲時就解決了帕斯卡提出,機動目錄上頁下頁返回結束,,求下列極限:,解:,備用題,機動目錄上頁下頁返回結束,令,則,原式=,解:,(用洛必達法則),(繼續(xù)用洛必達法則),機動目錄上頁下頁返回結束,解:,原式=,第三節(jié)目錄上頁下頁返回結束,則,4.求,解:令,原式,機動目錄上頁下頁返回結束,