多元正態(tài)分布參數(shù)估計(jì).ppt

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一、多元正態(tài)分布參數(shù)估計(jì),1.樣本,多元分析的任務(wù)∶根據(jù)樣本數(shù)據(jù)來分析各變量之間的關(guān)系，推斷總體的性質(zhì)。,多元樣本數(shù)據(jù),為一元樣本,2.樣本平均值,樣本平均值是n個(gè)點(diǎn)的重心,例題：,計(jì)算均值、離差陣、協(xié)方差和相關(guān)陣,3.樣本離差(平方乘積和)矩陣S,計(jì)算離差陣,(樣本協(xié)方差)(樣本方差),4.樣本協(xié)差陣,6.樣本相關(guān)矩陣R,R為非負(fù)定矩陣,----樣本相關(guān)系數(shù),變量的線性組合的樣本值,計(jì)算和均值方差與協(xié)方差,7.二組樣本的協(xié)方差矩陣,8.總體均值和協(xié)方差矩陣的最大似然估計(jì),設(shè),用最大似然法求出的均值和協(xié)方差的估計(jì)量分別為,9.基本性質(zhì),1）,是總體均值的無偏估計(jì),2）,是總體協(xié)方差的無偏估計(jì),分別是總體均值和協(xié)差陣的有效估計(jì),是總體均值和協(xié)差陣的一致估計(jì)估計(jì),3）,4）,和,和,和,10.定理設(shè),和S分別是正態(tài)總體,樣本均值和離差陣，則,和S相互獨(dú)立,1）,2）,3）,二、多元統(tǒng)計(jì)中常用的分布,在一元統(tǒng)計(jì)中，常用的分布有卡方分布、t分布和F分布。在多元統(tǒng)計(jì)中，他們分別發(fā)展為Wishart分布、T2分布和Wilks分布。,11分布和Wishart分布,定義1設(shè)為相互獨(dú)立且同服從于分布的隨機(jī)變量。則(1)所服從的分布叫做分布，稱為自由度且記為。,定理2.由(1)式定義的隨機(jī)變量的分布密度函數(shù)為,,,定理3.設(shè)，且與相互獨(dú)立，則,推論2設(shè)是抽自正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量,Wishart分布它是多元樣本離差平方和矩陣的分布,定義1設(shè)為相互獨(dú)立且同服從于分布，令則(1)所服從的分布叫做自由度為的p維維希特分布，記作,顯然，當(dāng)p=1時(shí)，有,Wishart分布像卡方分布一樣具有加法性質(zhì)，若相互獨(dú)立，則,設(shè)，且與相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量服從自由度為的分布，記為。將T平方，即,三分布與分布,在多元統(tǒng)計(jì)中分布是一元統(tǒng)計(jì)中t分布的推廣,定義：若，S與X相互獨(dú)立、稱隨機(jī)變量是自由度為（p，n）的分布可以轉(zhuǎn)化為F分布,Hotelling,四、分布與Wilks分布定義3設(shè)，，且與相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量服從自由度為的分布，記為。,F—分布事實(shí)上為從正態(tài)總體隨機(jī)抽取的兩個(gè)樣本方差的比，在方差分析和回歸分析中廣泛使用,描述的變異程度的統(tǒng)計(jì)參數(shù)稱為廣義方差，其定義有很多如,F—統(tǒng)計(jì)量的推廣是統(tǒng)計(jì)量,定義：若,相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量的分布是自由度為(p,n1,n2)的分布,第三章假設(shè)檢驗(yàn)1、Σ已知時(shí)單總體均值向量的檢驗(yàn),設(shè)從總體X～NP(μ,Σ)中隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為n的樣本，得到的無偏估計(jì)為檢驗(yàn)是否等于已知向量。即,,,,,,，,,,由于,由正態(tài)分布與卡方分布的關(guān)系得,,構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為,,具體步驟是：①作統(tǒng)計(jì)假設(shè)②計(jì)算樣本的均值③計(jì)算統(tǒng)計(jì)量T的具體值T0④按規(guī)定的小概率標(biāo)準(zhǔn)α，查卡方分布表Ta，得臨界值，并作出判斷當(dāng)T0≤Ta，接受H0，拒絕H1，即認(rèn)為與沒有顯著差異。當(dāng)T0＞Ta，接受H1，拒絕H0，即認(rèn)為與有顯著差異。,,,,2、Σ未知時(shí)均值向量的檢驗(yàn),在一元統(tǒng)計(jì)理論中，當(dāng)方差未知時(shí)，取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為,,,推廣到多元，考慮統(tǒng)計(jì)量,,,其中樣本均值,樣本離差陣,,,故由T2分布定義知,,,其中,,利用T2與F分布的關(guān)系，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取為,具體步驟是：①作統(tǒng)計(jì)假設(shè)：，②計(jì)算樣本均值和樣本協(xié)方差③由公式計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量具體值F0。④按規(guī)定的顯著水平α，查F分布臨界值，并作出判斷：當(dāng)接受H0，拒絕H1；當(dāng)拒絕H0，接受H1。,,,例1某小麥良種的四個(gè)主要經(jīng)濟(jì)性狀的理論值為現(xiàn)在從外地引入一新品種，在21個(gè)小區(qū)種值，取得數(shù)據(jù)如表：,,設(shè)新品種的四個(gè)性狀服從正態(tài)，試檢驗(yàn)假設(shè),,,,3．,,,查F表，得F0.05(4,17)=2.96，因?yàn)楣示芙^H。,,3、兩總體協(xié)差陣相等（但Σ未知）時(shí)均值向量的檢驗(yàn),當(dāng)P=1時(shí)，因且相互獨(dú)立，在H0成立條件下，有,,，,,,,推廣到P元總體，可以得到形式類似的統(tǒng)計(jì)量T2：,X～NP(μ1,Σ),,Y～NP(μ2,Σ),,,,其中,,具體步驟：①作統(tǒng)計(jì)假設(shè)：，②計(jì)算樣本均值和，樣本離差陣。③由公式計(jì)算統(tǒng)計(jì)量具體值F。④按規(guī)定的顯著水平α，查F分布臨界值當(dāng)接受H0，拒絕H1；當(dāng)拒絕H0，接受H1。,,,4、Σ已知時(shí)，均值μ的置信域,從一元統(tǒng)計(jì)中我們已經(jīng)了解到，均值假設(shè)檢驗(yàn)問題本質(zhì)上也等價(jià)于均值的置信區(qū)間,假設(shè)來自P元正態(tài)總體NP(μ,Σ)由前面討論知,,,,在任給置信度，查卡方分布臨界值表得滿足,則均值向量,的置信度為,的置信域?yàn)?該置信域是一個(gè)中心在,橢球。當(dāng)檢驗(yàn),時(shí)，若,落在該置信域內(nèi)，即,，則在顯著水平,下，接受H0；若,沒有落入該置信域內(nèi)，則否定H0。所以在多元統(tǒng)計(jì)中，也可以說均值向量的假設(shè)檢驗(yàn)問題本質(zhì)上也等價(jià)于求均值向量的置信域。,則均值向量的置信域?yàn)?,該置信域是一個(gè)中心在,置信域橢球的半軸長分別為,其中,。,5、Σ未知時(shí)，均值μ的置信域,的橢球。,